完全平方数初中数学竞赛教案.doc
课 题：完 全 平 方 数一、本课知识点和能力目标1知识点：个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力。完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全平方数的性质解决一些数学问题。2能力目标：本讲采用举例的办法，介绍以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性及灵活性。二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想。三、本次授课节次及内容安排第1课时：个位数的判定。第2课时：完全平方数第3课时：典型例题剖析第4课时：课堂反馈.四课外延伸、思维拓展第一课时知识要点 个位数知识：1.整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）。 2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。 3.正整数的幂的个位数有一定的规律。 (a)n次幂后，0，1，5，6的个位数保持不变。(b)个位数为4，9的数，n次幂后的个位数以2为周期变化。(c) 个位数为2，3，7，8的数，n次幂后的个位数以4为周期变化。【经典例题】答案：3。答案：（1）0；（2）3。答案：9答案：1尝试练习：答案：（1）3； （2）1； （3）8； （4）2； （5）2； （6）7第二课时知识要点如果n是一个整数，则n2就叫完全平方数。性质：（1） 平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9.（2） 平方数被3除的余数只能是0和1。（3） 奇数的平方数为4m+1,偶数的平方数是4m.（4） 平方数的个位数是奇数1，5，9时，十位数字一定是偶数。（5） 平方数之积是平方数。（6） 平方数的正约数个数为奇数。根据平方数的定义和性质，有如下非平方数的判定方法：（1） 两相邻平方数再没有平方数。（2） 个位数是2，3，7，8的正整数不是平方数。（3） 正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数。（4） 个位数字及十位数字都是奇数的数不是平方数。（5） 若存在质数p|a,而 p2a,则a不是平方数。【经典例题】例1. 试证：形如3n+2的数不是完全平方数。证明：整数被3除，余数分别为0，1，2。易得：被3整除的数的平方数仍被3整除，被3除余1的数的平方(3k+1)2=9k2+6k+1余数仍为1.被3除余2的数的平方(3k+2)2=9k2+12k+4余数仍为1故任何形如3n+2的数都不是完全平方数。例2. 求证：奇数的平方数被8除余1，偶数的平方数一定是4的倍数。证明：奇数(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1,n、n+1为连续整数，必有一个偶数. 偶数（2n）2=4n2,为4的倍数。故得证。例3. 使得（）为完全平方数的自然数n的个数是多少？分析：若n2-19n+91处于两个连续的整数平方数中，就不可能是完全平方数。例4. 一个自然数减去45后是一个平方数，这个自然数加上44，仍是平方数，试求这个平方数。尝试练习：1.判断11、111、1111、，这串数中是否有完全平方数。答：没有完全平方数。（由性质4可得）解：由题意得：所以A=2，B=-1。当为奇数时，A+B的n次方根为1。当为偶数时，A+B的n次方根为±1。4.已知1176a是一个完全平方数，求a的最小值。解：a的最小值为6.5.一个四位正数，加上400后就成为一个自然数的完全平方数，这样的四位数的个数有几个？第三课时【典型例题剖析】例1. 已知四位数是11的倍数，且有b+c=a，是完全平方数，求此四位数。例2. 设有四个正整数2，5，13和d,求证：在这四个数中存在两个数a、b，使得（ab-1）不是完全平方数。例3. 一个四位数是一个平方数，且适合x=y+z，x+z=10t,求这四个数。【尝试练习】1. 求证：四个连续整数的积加1是一个完全平方数。证明：连续自然数n,n+1,n+2,n+3.则 n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.命题得证。2. 试证：完全平方数个位数字是奇数时，其十位数上的数字必为偶数。第四课时【课堂反馈】 姓名 得分 4. 下列四个数：921438，76186，750235，2660161中，只有_是完全平方数。5. 能被252整除的最小完全平方数是1764.提示：252=22*32*7，6. 在下列括号中填入适当的正整数，从以上填空中，你发现了什么规律？请用等式表示出来。2k+1=(k+1)2-(k)27.五个连续自然数的平方和不是平方数。8.一个正整数若加上50得一个完全平方数，若减去31又得一个完全平方数，求这个正整数。简解：类似于第二课时例4.解得：正整数为1631或175或319.试证：a(a+1)+1(a是自然数)不能是某个整数的平方。10设n 是整数，如果n2的十位数字是7，那么n2的个位数字是多少？四课外延伸、思维拓展1.若n是正整数，3n+1是一个完全平方数，试证：n+1是3个完全平方数的和。2.证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差。3.正整数n不同的约数的个数记为N（n），如24的约数是：1，2，3，4，6，8，12，24共8个，记N（24）=8。那么N（1）+N（2）+N(1994）是奇数还是偶数？为什么？简证：根据性质（6），平方数的正约数的个数为奇数个，非平方数的正约数的个数为偶数个。而442<1994<452,因此，在1，2，3，1994中有44个平方数，1950个非平方数。即在N(1),N(2),N(1994)中，有44个奇数，1950个偶数。全部的和为偶数。第 3 页
