合肥168中学2011年自主招生数学试题(含答案).doc
答案一、选择题3、已知：y=1/2(x的平方-100x+196+|x的平方-100x+196|),当x=1，2，到100，求这100个自然数的和的函数值解法一：对于函数x2-100x+196，它可因式分解为(x-2)(x-98)，所以当x=2 x=98时，这个函数为0当2<x<98时，这个函数的x轴的下面，而对于|x的平方-100x+196|，它在x轴的上面，且两者离x轴的距离都相等。所以当x=2、3、4、98时，y都为0当x=0时，y=1/2*(196+196)=196该函数的抛物线为x=50，所以x=1和x=99的值相等，当x=1时，y=12-100+196=97所以这100个自然数的值为 196+97*2=390解法二：当2x98时，因为 x2-100x+196=(x-2)*(x-98)0， 所以恒有 y=x2-100x+196-(x2-100x+196)/2=0, 当x=1,99,100时，y=x2-100x+196+(x2-100x+196)/2=x2-100x+196。 y(1)=y(99)=97，y(100)=196。 所以：y(1)+y(2)+y(3)+y(4)+y(97)+y(98)+y(99)+y(100) =97+0+0+0+0+0+97+196=390。5、设 a平方+1=3a，b平方+1=3b,且a不等于b，则代数式1/a平方+1/b平方的值是解：a²1=3a，b²1=3b，则：a、b是方程x²1=3x即x²3x1=0的两个根，则：ab=3且ab=11/a²1/b²=a²b²/(ab)²=(ab)²2ab/(ab)²=76、如图，一个等边三角形的边长及它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）解：小球周长和三角形边长相等，因此在每条边转动了360°（即转1圈）三条边一共 3圈。每经过一个顶点，需要转120°： 180-60=120°三个顶点一共多转了120*3=360°，即1圈因此，一共转了4圈，(或者1440°)7、如图，等边ABC的边长为10cm,以AB为直径的O分别于,CA,CB于DE两点，则图中阴影部分的面积为解：解：ABC为等边三角形， A=B=60° 又AB是O的直径， AO=AD=DO=BO=BE=EO=1/2AB=5 DOE=60° SADO+SBEO=2×(1/2)×5×(5/2)3=(25/2)3 S扇形ODE=（60°/360°)××5²=（25/6) 又SABC=（1/2）×10×53=253 阴影部分的面积为：SABCSADOSBEOS扇形ODE =253-（25/2)3（25/6) =（25/2)3（25/6)8、如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D点的任一点，且NMB=MBC,求tanABM的值解：过点N作直线NO平行于MB，交BC于点ONMB=MBC, NOMB四边形BMNO为等腰梯形 BO = MNN是DC的中点BO²=MN²=DM²+DN²=(AB-AM)²+(AB/2)²NOMB, ADBCAMB=MBC=NOCAMBCONOC/CN=AM/AB=(AB-BO)/(AB/2)BO=AB-AM/2得到方程式(AB-AM)²+(AB/2)²=(AB-AM/2)²解方程得：AB²-2*AB*AM+ AM²+AB²/4=AB²-AB*AM+AM²/4AB²/4- AB*AM+3/4 * AM²=0(AB/2-3/2*AM)(AB/2-AM/2)=0AB=AM或AB=3AMAB=AM时M重合于D，不合题意。AB=3AMtanABM=AM/AB=1/3二、填空题10. 若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围解不等式1得x<21解不等式2得x>2-3a结合两解得2-3a<x<21而x有四个整数解，观察上式可知，这四个整数解为20、19、18、17，所以16<=2-3a<17-5<a<=-14/311.在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=5，P是三角形ABC内一点，且PA=根号5，PC=5，则PB=？作PHAC，BGAC，垂足H，G，PIBG，垂足I，ABC是等腰RT，AC=2AB=52，在PAC中，根据勾股定理，PA2-AH2=PC2-CH2=PH25-AH2=52-(52-AH）2,AH=32/2，AG=AC/2=52/2，HG=AG-AH=2，PH=（PA2-AH2)=2/2，BG=AC/2=52/2，四边形PHIG是矩形，IG=PH=2/2，PI=HG=2，BI=BG-IG=BG-PH=22，在RTBPI中，根据勾股定理，PB2=BI2+PI2=8+2=10，PB=10。12、已知圆环的内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套环地连成锁链如图1,单位;cm,那么这条锁链拉直的长度是多少厘米?50个内径共50acm，外加两边两个外径(b-a)cm，共50a+b-a=49a+b(cm)。13.下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出（）个“树枝”。答案60 解：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，图形从第2个开始后一个及前一个的差依次是：2，22，2n-1第5个树枝为15+24=31，第6个树枝为：31+25=63，第（6）个图比第（2）个图多63-3=60个故答案为：60如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）请问能不能用n来表示这个规律A(n+1)比A(n)多2n树枝A(n)树枝总数为2n-1A6比A2多26-22=6014. 已知对于任意正整数n都有a1+a2+.+an=n3,则(1/a2-1)+(1/a3-1)+.+(1/a100-1)=_a1+a2+.+a(n-1)+an=n³ (1)a1+a2+.+a(n-1)=(n-1)³ (2)(1)-(2)an=n³-(n-1)³=n-(n-1)n²+n(n-1)+(n-1)²=3n²-3n+11/(an -1)=1/(3n²-3n+1-1)=1/(3n²-3n)=(1/3)×1/(n²-n)=(1/3)×1/n(n-1)=(1/3)1/(n-1)-1/n1/(a2-1)+1/(a3-1)+.+1/(a100 -1)=(1/3)1/1 -1/2+1/2-1/3+.+1/(99)-1/100=(1/3)(1 -1/100)=(1/3)(99)/100=33/100已知对于任意正整数n，都有a1+a2+an=n3,则如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A 为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设AB=x。 （1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面积？答案（找作业答案->>上魔方格）解：（1）在ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x，解得1<x<2；（2）若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解；若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=，满足1<x<2；若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=，满足1<x<2，x=或x=；（3）在ABC中，作CDAB于D，设CD=h，ABC的面积为S，则S=xh，如图甲所示，若点D在线段AB上，则，（3-x）2-h2=x2-2x+1-h2，即x=3x-4，x2（1-h2）=9x2-24x+16，即x2h2=-8x2+24x-16，S2=x2h2=-2x2+6x-4=-2，当x=时（满足x<2），S2取最大值，从而S取最大值，如图乙所示，若点D在线段MA上，则，同理可得，S2=-2x2+6x-4=-2（x-）2+，易知此时S<，综合得，ABC的最大面积为。17、如图所示,AB是圆O的直径,AB=d,过A作圆O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连接OC交圆O于点D,BD的延长线交AC于E，求AE的长3218、（2008杭州）在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）（t，b均为非零常数）平移二次函数y=-tx2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；及x轴相交于B，C两点（|OB|OC|）连接AB（1）是否存在这样的抛物线F，使得|OA|2=|OB|OC|？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且tanABO= ，求抛物线F对应的二次函数的解析式考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）平移二次函数y=-tx2的图象，得到的抛物线F，则抛物线的二次项系数不变，顶点为Q，则函数的解析式就可以直接写出是y=-t（x-t）2+b|OB|OC|就是一元二次方程-t（x-t）2+b=0的两根的积得绝对值，因而可以用根据韦达定理，利用t表示出来而OA=t，根据|OA|2=|OB|OC|就可以得到一个关于t的方程从而把问题转化为判断方程的解得问题（2）AQBC即Q得纵坐标是b=t，得到抛物线F是：y=-t（x-t）2+t就可以求出B，C的坐标已知tanABO= 32，就是已知OA及OB得比值，即t的关系就可以转化为方程问题解决解答：解：（1）存在这样的抛物线F，使得|OA|2=|OB|OC|第 7 页
