2006年全国初中数学竞赛试题及答案.doc

2006年全国初中数学竞赛试题考试时间 2006年4月2日上午 9301130 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）1在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）（A）36 （B）37 （C）55 （D）902已知，且=8，则a的值等于（ ） （A）5 （B）5 （C）9 （D）9 3RtABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴若斜边上的高为h，则（ ）（A）h<1 （B）h=1 （C）1<h<2 （D）h>24一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007（第5题图）ABCDOQP5如图，正方形ABCD内接于O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q若QP=QO，则的值为（ ）（A）（B） （C）（D）二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）（第7题图）ABCDGFE6已知a，b，c为整数，且ab=2006，ca=2005若a<b，则abc的最大值为 7如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于 8正五边形广场ABCDE的周长为2000米甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿ABCDEA方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上9已知0<a<1，且满足，则的值等于 (表示不超过x的最大整数)10小明家 号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的 号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的 号码小明发现，他家两次升位后的 号码的八位数，恰是原来 号码的六位数的81倍，则小明家原来的 号码是 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11已知，为互质的正整数（即，是正整数，且它们的最大公约数为1），且8，（1） 试写出一个满足条件的x；（2） 求所有满足条件的x12设，为互不相等的实数，且满足关系式求a的取值范围（第13题）ABCOPEK13如图，点P为O外一点，过点P作O的两条切线，切点分别为A，B过点A作PB的平行线，交O于点C连结PC，交O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K求证：PE·AC=CE·KB1410个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中求n的最小值2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）1在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）（A）36 （B）37 （C）55 （D）90答：C解：因为4和9的最小公倍数为36，1936=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处故选C2已知，且=8，则a的值等于（ ） （A）5 （B）5 （C）9 （D）9 答：C解：由已知可得，又=8，所以 解得a=9故选C3RtABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴若斜边上的高为h，则（ ）（A）h<1 （B）h=1 （C）1<h<2 （D）h>2答：B解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|<|a|），则点B的坐标为（a，a2），由勾股定理，得，所以 由于，所以a2c2=1，故斜边AB上高h= a2c2=1故选B4一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007答：B解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°于是，剪过k次后，可得(k1)个多边形，这些多边形的内角和为(k1)×360°因为这(k1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(622)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k1)34= k33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k33) ×180°所以(k1)×360°34×60×180°(k33)×180°，解得k2005当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形于是共剪了583333×58=2005（刀）故选B（第5题图）ABCDOQP5如图，正方形ABCD内接于O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q若QP=QO，则的值为（ ）（A）（B） （C）（D）答：D（第5题图）ABCDOQP解：如图，设O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=rm，QA=rm在O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD即 (rm)(rm)=m·QD ，所以 QD=连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2QO2，即 ， 解得所以， 故选D二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6已知a，b，c为整数，且ab=2006，ca=2005若a<b，则abc的最大值为 答：5013解：由，得 因为，a<b，a为整数，所以，a的最大值为1002（第7题图）ABCDGFE于是，abc的最大值为50137如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于 答：解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则，由ADGABC，可得， 解得于是 ，由题意，所以8正五边形广场ABCDE的周长为2000米甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿ABCDEA方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上答：104解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了46×=368x米于是368(x1)800400(x1)>400，所以，12.5x<13.5 故x=13，此时9已知0<a<1，且满足，则的值等于 (表示不超过x的最大整数)答：6解：因为0<，所以，等于0或1由题设知，其中有18个等于1，所以=0，=1，所以 ，12故1830a19，于是610 a，所以=610小明家 号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的 号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的 号码小明发现，他家两次升位后的 号码的八位数，恰是原来 号码的六位数的81倍，则小明家原来的 号码是 答：282500解：设原来 号码的六位数为，则经过两次升位后 号码的八位数为根据题意，有81×= 记，于是解得x=1250×(20871a) 因为0x，所以01250×(20871a)，故 因为a为整数，所以a=2于是x=1250×(20871×2)=82500所以，小明家原来的 号码为282500三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11已知，为互质的正整数（即，是正整数，且它们的最大公约数为1），且8，（1）试写出一个满足条件的x；（2）求所有满足条件的x解：（1）满足条件 5分（2）因为，为互质的正整数，且8，所以， 即 当a=1时，这样的正整数不存在当a=2时，故=1，此时当a=3时，故=2，此时当a=4时，及互质的正整数不存在当a=5时，故=3，此时当a=6时，及互质的正整数不存在当a=7时，故=3，4，5此时，当a=8时，故=5，此时所以，满足条件的所有分数为，15分12设，为互不相等的实数，且满足关系式求a的取值范围 解法一：由2×得，所以a>1当a>1时， =10分又当时，由，得 ， 将两边平方，结合得化简得 ， 故 ，解得，或 所以，a的取值范围为a>1且，15分解法二：因为，所以所以 又，所以，为一元二次方程 的两个不相等实数根，故，所以a>1当a>1时， =10分 另外，当时，由式有 ，即 或 ，解得，或当时，同理可得或所以，a的取值范围为a>1且，15分（第13题）ABCOPEK13如图，点P为O外一点，过点P作O的两条切线，切点分别为A，B过点A作PB的平行线，交O于点C连结PC，交O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K求证：PE·AC=CE·KB证明：因为ACPB，所以KPE=ACE又PA是O的切线，所以KAP=ACE，故KPE=KAP，于是 KPEKAP，所以 ， 即 由切割线定理得 所以 10分因为ACPB，KPEACE，于是 故 ，即 PE·AC=CE·KB 15分1410个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中求n的最小值解：设10个学生为，n个课外小组，首先，每个学生至少参加两个课外小组否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都及他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾 5分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们及没有同过组，矛盾所以，每一个学生至少参加三个课外小组于是n个课外小组，的人数之和不小于3×10=30另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组，的人数不超过5n， 故 5n30， 所以n6 10分下面构造一个例子说明n=6是可以的容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件所以，n的最小值为6 15分第 10 页