2002年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案.doc

2002年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1函数的定义域为 .2若椭圆的两个焦点坐标为,，长轴的长为10，则椭圆的方程为 .3若全集I=R,f(x)、g(x)均为x的二次函数，,，则不等式组的解集可用P、Q表示为 .4设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x0时，则 .5若在的展开式中，第4项是常数项，则n= .6已知，若，则可化简为 .7六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是 .8设曲线C1和C2的方程分别为和，则点的一个充分条件为 .9.若在区间上的最大值是，则w= .10.右图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方形中相互异面的有 对。11如右图所示，客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发，以速度v沿直线匀速航行，将货物送达客轮。已知ABBC50海里，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C点 海里。（结果精确到小数点后1位）12如图，若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2及点N1、N2，则三角形面积之比，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上，分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13若为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是 （ ）（A） （B）（C） （D）14在ABC中，若，则ABC的形状一定是 （ ）（A）等腰直角三角形 （B）直角三角形 （C）等腰三角形 （D）等边三角形15设,函数的反函数和的反函数的图象关于 （ ）（A）x轴对称 （B）y轴对称 （C）y=x对称 （D）原点对称16设是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6,S6=S7>S8，则下列结论错误的是 （ ）（A）d0 （B）a7=0 （C）S9>S8 （D）S6及S7均为Sn的最大值三解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17(本题满分12分)已知z、为复数，为纯虚数，且，求。18(本题满分12分)已知F1、F2为双曲线(a>0,b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F2=30°，求双曲线的渐近线方程。19(本题满分14分)如图，三棱柱OABO1A1B1，平面OBB1O1平面OAB，且，求:（1）二面角O1ABO的大小；（2）异面直线A1B及AO1所成角的大小。（上述结果用反三角函数值表示）20(本题满分14分)已知函数 （1）证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数；（2）用反证法证明f(x)=0没有负数根。21(本题满分16分)某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。设ak(1kn)为第k位职工所得奖金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak；（不必证明）证明：，并解释此不等式关于分配原则的实际意义发展基金及n和b有关，记为Pn(b)，对常数b，当n变化时，求22(本题满分18分)对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数（1）当a=1,b=2时，求函数f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线对称，求b的最小值。2002年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准填空题（4×1248）1(-3.1) 2 3 41518 6 7 8或或等9 103 1140.8 12填空题（4×416）13D 14C 15B 16C解答题(12+12+14+14+16+18=86)171819（1）；（2）20略21（1）（2）ak-ak+1>0此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则。（3）22（1）当a=1,b=-2时，f(x)的两个不动点为1、3；（2）（0，1）；（3）第 3 页