2022年全等几何模型讲解 .pdf

1/13常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。1.绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 13 页 -2/13例题讲解：1.如图所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB=32，PC=4，求 ABC的边长。CABP2.如图，O 是等边三角形ABC内一点，已知：AOB=115，BOC=125，则以线段 OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？3.如图，P是正方形 ABCD 内一点，且满足PA：PD：PC=1：2：3，则 APD=.4.如图（2-1）：P 是正方形 ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A、B、C 的距离分别为 PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 面积。ABCO名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 13 页 -3/13（2）共旋转（典型的手拉手模型）模型变形：等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 13 页 -4/13例题讲解：1.已知 ABC 为等边三角形，点D 为直线 BC 上的一动点（点D 不与 B,C 重合），以 AD为边作菱形ADEF(按 A,D,E,F 逆时针排列），使 DAF=60 ,连接 CF.(1)如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF?AC=CF+CD.(2)如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。2.（13 北京中考）在 ABC中，AB=AC，BAC=（600），将线段 BC绕点 B 逆时针旋转60得到线段 BD。（1）如图 1，直接写出 ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图 2，BCE=150，ABE=60，判断 ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若 DEC=45，求的值。2.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 13 页 -5/13例题：1.在等腰直角 ABCD的斜边上取两点M,N,使得45 MCN,记 AM=m,MN=x,BN=n，求证以 m，x，n 为边长的三角形为直角三角形。mxnBCAMN2.如图，正方形ABCD 的边长为 1，AB,AD上各存在一点P、Q，若 APQ的周长为2，求PCQ的度数。DACBQP3.E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF，AHEF，H为垂足，求证：AHAB4.已知，正方形ABCD 中，MAN=45 ，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH MN 于点 HCHFEDBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 13 页 -6/13（1）如图，当MAN 点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关系：AH=AB；（2）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时，（1）中发现的AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45 ，AH MN 于点 H，且 MH=2，NH=3，求 AH 的长（可利用（2）得到的结论）5.已知：正方形ABCD 中，MAN=45 ，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点 M，N当 MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时(如图 1)，易证 BM+DN=MN(1)当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时(如图 2)，线段 BM，DN 和 MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明(2)当 MAN 绕点 A 旋转到如图3 的位置时，线段BM，DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想6.(14 房山 2 模).边长为 2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH 的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图 2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图 3，设MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 13 页 -7/137.(2011 石景山一模)已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD 为对角线，将BAC绕顶点 A逆时针旋转（0 45），旋转后角的两边分别交BD 于点 P、点 Q，交 BC，CD于点 E、点 F，连接 EF，EQ（1）在 BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究 APQ 与AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明8已知在ABC中，90ACB，26CBCA，ABCD于D，点E在直线CD上，CDDE21，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点.（1）如图 1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：_，_；（2）在（1）的条件下，当点F在线段AD上，且2AFFD时，求证：45CNE；（3）当 点E在 线 段CD的 延 长 线 上 时，在 线 段AB上 是 否 存 在 点F，使 得45CNE若存在，请直接写出AF的长度；若不存在，请说明理由名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 13 页 -8/13MABCDEFMNDCBA9.(2014平谷一模24)（1）如图 1，点 E、F分别是正方形ABCD的边 BC、CD上的点，EAF=45，连接 EF，则 EF、BE、FD 之间的数量关系是：EF=BE+FD连结 BD，交 AE、AF于点 M、N，且 MN、BM、DN 满足222DNBMMN，请证明这个等量关系；（2）在 ABC中，AB=AC，点 D、E分别为 BC边上的两点如图 2，当 BAC=60，DAE=30 时，BD、DE、EC应满足的等量关系是如图 3，当 BAC=，(090)，DAE=21时，BD、DE、EC应满足的等量关系是 _【参考：1cossin22】注意：2222AMBMDMABCDEF图1BCDE图2ABCDE图3AMN(1)在正方形 ABCD中，AB=AD，BAD=90，ABM=ADN=45把 ABM 绕点 A 逆时针旋转90 得到MAD连结MN则，AMAMBMMD,45ABMMAD，BAMMDA EAF=45，BAM+DAN=45,DAM+DAF=45,45MANANMNAM AMN NM=MN在NDM 中，90ADMADNDNM,222DMDNNM222BMDNMN（2）222ECECBDBDDE；222cos2ECECBDBDDENMFEDCBA图 1 备用图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 13 页 -9/133.空翻模型例题：1.如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?NEBMADGNEBMAD【解析】猜测DMMN.过点M作MGBD交AD于点G，AGAM，GDMB又120ADMDMA，120DMANMBADMNMB，而120DGMMBN，DGMMBN，DMMN2.如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？NCDEBMANCDEBMA【解析】猜测DMMN.在AD上截取AGAM，DGMB，45AGM135DGMMBN，ADMNMB，DGMMBN，DMMN3.【探究发现】如图，ABC是等边三角形，60AEF，EF 交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F当点 E 是 BC 的中点时，有AE=EF 成立；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 13 页 -10/13【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E 是直线 BC 上（B,C 除外）任意一点时(其它条件不变)，结论AE=EF 仍然成立假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点 E 是线段 BC 上的任 意一点”；“点是线段 BC 延长线上的任意一点”；“点是线段 BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1 中画出图形，并进行证明【拓展应用】当点 E 在线段 BC 的延长线上时，若CE=BC，在备用图2 中画出图形，并运用上述结论求出:ABCAEFSS的值4.弦图模型外弦图内弦图总统图例题：1.两个全等的30，60三角板 ADE,BAC,如右下图所示摆放，E、A、C在一条直线上，连接BD,取 BD的 中点M，连 接 ME，MC（1）求 证：EDM CAM；（2）求 证：EMC为 等 腰 直 角 三 角 形 2.如图 ABC 中，已知 A=90，AB=AC,CABCABFCABE名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 13 页 -11/13(1)D 为 AC 中点，AEBD 于 E,延长 AE 交 BC 于 F,求证：ADB=CDF(2)若 D，M 为 AC 上的三等分点，如图 2，连 BD，过 A 作 AEBD 于点 E，交 BC 于点 F，连 MF，判断 ADB 与 CMF 的大小关系并证明3.(14 朝阳二模)已知 ABC=90，D 是直线 AB上的点，AD=BC（1）如图 1，过点 A 作 AFAB，并截取 AF=BD，连接 DC、DF、CF，判断 CDF的形状并证明；（2）如图 2，E是直线 BC上的一点，直线 AE、CD相交于点 P，且 APD=45，求证 BD=CE二、对称全等模型下图依次是450、300、22.50、150及有一个角是300直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。GFECBDAGFECBDAP3P2P1ACBPPECABD图 2 FCABD图 1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 13 页 -12/13EDABCFEDBAC例题：1.如图 1，在 ABC 中，已知 BAC=45，ADBC 于 D，BD=2，DC=3，求AD 的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1她分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD 的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长 EB、FC相交于 G点，得到四边形 AEGF是正方形设AD=x，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图 2，在ABC中，BAC=30，AD BC于 D，AD=4 请你按照小萍的方法画图，得到四边形 AEGF，求 BGC的周长（画图所用字母与图1 中的字母对应）2.问题：已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究DBC与ABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当BAC=90时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC的数量关系为_；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为 _；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 13 页 -13/13可得到DBC与ABC度数的比值为 _.（2）当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.A B C 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 13 页 -