18年高考真题与模拟题—理科数学5：立体几何.doc

2018高考真题及模拟题分类汇编：立体几何 一高考真题1.【2018全国III卷 3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头。若如图摆放的木构件及某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）2.【2018浙江 3】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）（A）2（B）4（C）6（D）83.【2018全国I卷 7】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ） （A） （B） （C）3 （D）24.【2018浙江 8】已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设及所成的角为，及平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） （A） （B） （C） （D）5.【2018全国II卷 9】在长方体中，则异面直线及所成角的余弦值为（ ） （A） （B） （C） （D）6.【2018全国III卷 10】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）（A） （B） （C） （D）7.【2018全国I卷 12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线及平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）（A） （B） （C） （D）8.【2018江苏 10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_。9.【2018天津 11】已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点(如图)，则四棱锥的体积为_。10.【2018全国II卷 16】已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，及圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_。11.【2018江苏 15】在平行六面体中，。求证：平面；平面平面。12.【2018北京 16】如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，。求证：平面；求二面角的余弦值；证明：直线及平面相交。13.【2018天津 17】如图，且，且，且，平面，。若为的中点，为的中点，求证：平面；求二面角的正弦值；若点在线段上，且直线及平面所成的角为，求线段的长。14.【2018全国I卷 18】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且。证明：平面平面；求及平面所成角的正弦值。15.【2018全国III卷 19】如图，边长为2的正方形所在的平面及半圆弧所在平面垂直，是上异于的点。证明：平面平面；当三棱锥体积最大时，求面及面所成二面角的正弦值。16. 【2018浙江 19】如图，已知多面体，均垂直于平面，。证明：平面；求直线及平面所成的角的正弦值。17.【2018全国II卷 20】如图，在三棱锥中，为的中点。证明：平面；若点在棱上，且二面角为，求及平面所成角的正弦值。18.【2018江苏 22】如图，在正三棱柱中，点分别为的中点。求异面直线及所成角的余弦值；求直线及平面所成角的正弦值。 二各地模拟题19【安徽省宿州市2018届三模】如图所示，垂直于所在的平面，是的直径，是上的一点，分别是点在上的投影，当三棱锥的体积最大时，及底面所成角的余弦值是（ ） （A） （B） （C） （D）20【辽宁省葫芦岛市2018届二模】在长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱。为矩形内部（含边界）一点，为中点，为空间任一点，且，三棱锥的体积的最大值记为，则关于函数，下列结论确的是（ ）（A）为奇函数 （B）在上不单调 （C） （D）21【河南省洛阳市2018届三模】在三棱锥中，平面，是边上的一动点，且直线及平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） （A） （B） （C） （D）22【四川省2018届冲刺演练一】某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）（A） （B）（C） （D）23【山东省济南2018届二模】已知点均在表面积为的球面上，其中平面，则三棱锥的体积的最大值为（ ）（A） （B） （C） （D）8124【安徽省示范高中（皖江八校）2018届第八联考】某棱锥的三视图如下图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）（A） （B）（C） （D）25【福建省厦门市2018届二模】已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）（A） （B）2 （C）4 （D）626【山东省威海市2018届二模】已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为_。27【山东省烟台市2018届适应性练习二】如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，为上的点，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使重合得到一个四棱锥，则该四棱锥的体积的最大值为_。28【湖南省益阳市5月统考】如图，在三棱锥中，两两垂直，平面平面，且及棱分别交于三点。过作直线，使得，请写出作法并加以证明；若将三棱锥分成体积之比为的两部分，求直线及平面所成角的正弦值。29【江西省南昌市2018届三模】如图，多面体中，为正方形，二面角的余弦值为，且。证明：平面平面；求平面及平面所成锐二面角的余弦值。30【河南省郑州市2018届三模】如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点。证明：；若点为棱上一点，且，求二面角的余弦值。31【河北省唐山市2018届三模】如图，四棱锥的底面是平行四边形，。求证：平面平面；（2）若，为的中点，为棱上的点，平面，求二面角的余弦值。附答案：ACBDC BA 8；9；10。11证明：在平行六面体中，。因为平面，平面，所以平面； 在平行六面体中，四边形为平行四边形。又因为，所以四边形为菱形，因此。又因为，所以。又，平面，平面，故平面。因为平面，所以平面平面。12解：在三棱柱中，因平面，故四边形为矩形。又分别为的中点，故。因，故，所以平面；由知，。又平面，故平面。因平面，故。如图建立空间直角坐称系，由题得，。故，。设为平面的法向量，则，即，取得。又是平面的法向量，故。由图可知二面角为钝角，故其余弦值为；因，故。因，且，故平面的法向量及不垂直，从而及平面不平行且不在平面内，所以及平面相交。13解：依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得，。由题，。设是平面的法向量，则，即，取得。又，故。又因为直线平面，所以平面； 由题，。设是平面的法向量，则，即，取得。设是平面的法向量，则，即，取得。故，从而，所以二面角的正弦值为；设线段的长为，则，故。易知，为平面的一个法向量，故。由题意得，解得。所以线段的长为。14证明：由题，又，故平面。又平面，所以平面平面；作，垂足为。由得，平面。以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图空间直角坐标系。由知，又，故。又，故。可得，。则，且为平面的法向量。设及平面所成角为，则为所求。15解：由题知，平面平面，交线为。因，平面，故平面，因此。因为上异于的点，且为直径，故。又，所以平面。而平面，故平面平面；以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。当三棱锥体积最大时，为的中点。由题，。设是平面的法向量，则，即，可取。是平面的法向量，因此，所以面及面所成二面角的正弦值为。16解：由题知，。又，故，所以，因此。由，及，得。由，得。由，得，所以，故。因此平面；如图，过点作，交直线于点，连结。因平面，故平面平面。因，故平面。所以是及平面所成的角。由，得，故，所以 。因此，直线及平面所成的角的正弦值是。17解：因，为的中点，故，且。连，因，故为等腰直角三角形，且，。故，因此。又，故平面；如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系。由题知，。取平面的法向量，设，则。设平面的法向量为，则，即，可取，所以。由题得，解得（舍）或，故。又，故，所以及平面所成角的正弦值为。18解：如图，在正三棱柱中，设的中点分别为，则，。以为基底，建立空间直角坐标系。因，故，。因为的中点，故，从而，所以，即异面直线及所成角的余弦值为；因为的中点，故，因此，。设为平面的法向量，则，即，取得。，设直线及平面所成角为，则，所以直线及平面所成角的正弦值为。1927：DD BBAAD 26；27。28解：作法：取的中点，连接，则直线即为要求作的直线。证明如下：因，且，故平面。又平面平面，且平面，平面平面，故，所以平面，因此。又，为的中点，故，从而直线即为要求作的直线；因将三棱锥分成体积之比为的两部分，故四面体的体积及三棱锥的体积之比为。又平面平面，故。以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，。设是平面的法向量，则，即，取得。故，所以直线及平面所成角的正弦值为。29解：因，故，因此。又正方形中，且，故平面。又平面，所以平面平面；由知是二面角的平面角，作于，则，且由平面平面，平面平面，平面，所以，平面。取中点，连结，则。如图建立空间直角坐标系，则，故，。因，故是的一个方向向量。设是平面的法向量，则，即，取得。又是平面的一个法向量，且。设平面及平面所成锐二面角为，则，因此平面及平面所成锐二面角的余弦值为。30解：因底面，故，。又，故两两垂直。以为原点，为正交基底，建立空间直角坐标系。则由题意得，故，所以；由知，。因点为棱上，故可设，则。因，故，解得，故。设是平面的法向量，则，即，取得。由题知是平面的法向量，故。由图知二面角是锐角，故二面角的余弦值为。31解：因，故。又，故平面，因此。又，故平面。因平面，所以平面平面；连接交于点，连接，因为的中点，故。因平面，平面，平面平面，故，因此，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，故，。设是平面的法向量，则，即，取得。设是平面的法向量，则，即，取得。因，且二面角为钝角，故二面角的余弦值为。第 - 10 - 页