2022年2022年解线性方程组的迭代法 .pdf
一、实验项目：解线性方程组的迭代法雅可比迭代、高斯赛德尔迭代、超松弛迭代法二、实验环境：处理器Intel(R)Core(TM)2 Duo CPU T65002.10GHz 2.10GHz 安装内存4.00GB 系统类型Windows 7 旗舰版 64 位操作系统语言平台Microsoft Visual C+6.0 三、理论依据：迭代法的基本概念：考虑线性方程组Ax=b,由于工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（A 的阶数 n 很大，但零元素较多），利用迭代法求解线性方程组是合适的，在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可利用A 中有大量零元素的特点。雅可比迭代：将线性方程组 Ax=b 中的系数矩阵()nxnijAaR分成三部分1121221,11,212,10000nnnnnnnnaaaAaaaaaa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 16 页 -121,112,121,0000nnnnnnaaaaaDLUa设01,2,iiain，选取 M 为 A 的对角元素部分，即选取 M=D（对角矩阵），A=DN，由一阶定常迭代法得到解Ax=b 的雅可比迭代法01,0,1,kkxxB xfk初 始 向 量其中111,BIDADLUJfDb称 J为解 Ax=b 的雅可比迭代法的迭代矩阵。下面给出雅可比迭代法的分量计算公式，记1,inTkkkkxxxx由雅可比迭代公式有1kkD xLUxb或1111iiiijjijjiinkkkjjia xa xa xb于是，解 Ax=b 的雅可比迭代法的计算公式为12000011,/1,2,;0,1,niiijiiTnkkjjjixxxxxba xain k表 示 迭 代 次 数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 16 页 -高斯-赛德尔迭代法：选取分裂矩阵M 为 A 的下三角部分，即选取 M=DL（下三角矩阵），A=M N，于是由一阶定常迭代法得到解 Ax=b 的高斯-赛德尔迭代法01x,x,0,1,kkBxfk初 始 向 量其中111,BIDLADLUGfDLb，称1GDLU为解 Ax=b 的高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵。下面给出高斯-赛德尔迭代法的分量计算公式。记1,inTkkkkxxxx由此有1kkDLxU xb或11kkkD xL xU xb即11111,1,2,iiiiijjinkkkijjjjia xba xaxin于是解 Ax=b 的高斯-赛德尔迭代法计算公式为000111111,/1,2,;0,1,Tninkkkiiijjijjiijjixxxxba xa xain k初 始 向 量或00011111,/1,2,;0,1,Tnkkiiiinkkiiijjijjiijjixxxxxxxba xa xain k名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 16 页 -超松弛迭代法：逐次超松弛迭代法选取分裂矩阵M 为带参数的下三角矩阵1MDL其中0为可选择的松弛因子。于是，由一阶定常迭代法可构造一个迭代法，其迭代矩阵为111LIDLADLDU从而得到解 Ax=b 的逐次超松弛松弛迭代法解 Ax=b 的 SOR 方法为01,0,1,kkxxLxfk初 始 向 量其中111,LDLDUfDLb下面给出解 Ax=b 的 SOR 迭代法的分量计算公式。记1,inTkkkkxxxx得11+kkDLxDUxb或11kkkkkD xD xbL xU xD x由此，得到解Ax=b 的 SOR 方法的计算公式00011111,/1,2,0,1,Tninkkkkiiiijjijjiijjixxxxxba xa xain k为 松 弛 因 子名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 16 页 -或00011111,/1,2,0,1,Tnkkiiiinkkiiijjijiiijjixxxxxxxbaxaxain k为 松 弛 因 子四、流程图：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 16 页 -五、案例：1.雅可比迭代法案例设线性方程组1231231235212422023103xxxxxxxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 16 页 -2.高斯-赛德尔迭代法案例求解线性方程组123123123832204+1133631236xxxxxxxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 16 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 16 页 -3.超松弛迭代法案例用 SOR 方法解线性方程组123441111141111141111141xxxx，取=1.3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 16 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 16 页 -六、附件：程序#include iostream.h#include#include#include void main()int q;printf(n);printf(n);printf(n);printf(n);printf(n);printf(n);printf(n);printf(n);printf(n);printf(n);printf(n);printf(n);printf(n);printf(_n);printf(多方法解线性方程组n);printf(设计者：吴鑫邹本超侯沅成n);printf(_n);for(;)printf(_n);printf(n 请选择:1 or 2 or 3 or 4 or 0 n);printf(n 1 为雅克比法n);printf(n 2 为高斯赛德尔法n);printf(n 3 为超松弛法n);printf(n 0 为退出程序n);printf(_n);printf(nn);scanf(%d,&q);printf(n);if(q=1)int i,j,k=0,n;float x100,a100100,b100,dx1000,s,s1,d=0,e=0,w;printf(请输入线性方程的组数:n n=);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 16 页 -scanf(%d,&n);cout 请输入方程组的系数矩阵:endl;printf(若方程为8 X1+-3 X2+2X3=20 n);printf(若方程为4 X1+11 X2+-1X3=33 n);printf(若方程为6 X1+3 X2+12X3=36 n);printf(表示为:8-3 2 n);printf(表示为:4 11-1 n);printf(表示为:6 3 12 n);printf(nn);for(i=1;i=n;i+)for(j=1;jaij;cout 请输入右端常数项（两数中间用空格）:endl;for(i=1;ibi;coutendl;cout 你的方程组是:n;for(i=1;i=n;i+)for(j=1;j=n;j+)if(j=n)coutaijXj=biendl;else coutaijXj+;coutendl;printf(请输入精度如1e-5 n);scanf(%f,&w);printf(请输入初始向量的值:n);for(i=0;i n;i+)scanf(%f,&xi);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 16 页 -do for(i=1;i=n;i+)/雅克比迭代 d=0;e=0;s=0;for(j=1;jfabs(s)s=s1;xi=dxi+xi;/雅克比迭代 k+;while(fabs(s)w);for(i=1;i=n;i+)printf(%.8ft,xi);printf(迭代次数为：%dn,k);if(q=2)int i,j,k=0,n;float y100,a100100,b100,dx1000,s,s1,d=0,e=0,w;printf(请输入线性方程的组数:n n=);scanf(%d,&n);cout 请输入方程组的系数矩阵:endl;printf(若方程为8 X1+-3 X2+2X3=20 n);printf(若方程为4 X1+11 X2+-1X3=33 n);printf(若方程为6 X1+3 X2+12X3=36 n);printf(表示为:8-3 2 n);printf(表示为:4 11-1 n);printf(表示为:6 3 12 n);printf(nn);for(i=1;i=n;i+)for(j=1;jaij;cout 请输入右端常数项（两数中间用空格）:endl;for(i=1;ibi;coutendl;cout 你的方程组是:n;for(i=1;i=n;i+)for(j=1;j=n;j+)if(j=n)coutaijXj=biendl;else coutaijXj+;coutendl;printf(请输入精度如1e-5 n);scanf(%f,&w);printf(请输入初始向量的值:n);for(i=0;i n;i+)scanf(%f,&yi);do for(i=1;i=n;i+)/高斯赛德尔迭代 d=0;e=0;s=0;for(j=1;ji;j+)d+=aij*yj;for(j=i;jfabs(s)s=s1;yi=dxi+yi;/高斯赛德尔迭代 k+;while(fabs(s)w);for(i=1;i=n;i+)printf(%.8ft,yi);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 16 页 -printf(迭代次数为：%dn,k);if(q=3)int i,j,k=0,n;float a100100,b100,z100,d=0,e=0,dx1000,f,s1,s,w;printf(请输入线性方程的组数:n n=);scanf(%d,&n);cout 请输入方程组的系数矩阵:endl;printf(若方程为8 X1+-3 X2+2X3=20 n);printf(若方程为4 X1+11 X2+-1X3=33 n);printf(若方程为6 X1+3 X2+12X3=36 n);printf(表示为:8-3 2 n);printf(表示为:4 11-1 n);printf(表示为:6 3 12 n);printf(nn);for(i=1;i=n;i+)for(j=1;jaij;cout 请输入右端常数项（两数中间用空格）:endl;for(i=1;ibi;coutendl;cout 你的方程组是:n;for(i=1;i=n;i+)for(j=1;j=n;j+)if(j=n)coutaijXj=biendl;else coutaijXj+;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 16 页 -coutendl;printf(请输入精度如1e-5 n);scanf(%f,&w);printf(请输入初始向量的值:n);for(i=0;i n;i+)scanf(%f,&zi);printf(请输入松弛因子的值：n);scanf(%f,&f);do for(i=1;i=n;i+)/超松弛迭代 s=0;d=0;e=0;for(j=1;ji;j+)d+=aij*zj;for(j=i;jfabs(s)s=s1;zi=s1+zi;/超松弛迭代 k+;while(fabs(s)w);for(i=1;i=n;i+)printf(%.8ft,zi);printf(迭代次数为：%dn,k);if(q=0)system(cls);break;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 16 页 -
