2022年理论力学习题解 .docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习理论力学作业解答1-3 已知曲柄 OAr , 以匀角速度,绕定点 O 转动 ,此曲柄借连杆AB 使滑动 B 沿直线 Ox运动 .设 ACCBa,AOBABO.求连杆上 C 点的轨道方程及速度. 解: 设 C 点的坐标为,x y ,就xrcosacosyrsinasinyasin联立上面三式消去,得xa1y2/a224y2r2整理得轨道方程4x2a2y2x23y2a2r22设 C 点的速度为 v ,即vx22 yr222 sin2 arsinsina22AB 上滑动 ,图中的 d 为考虑 A 点的速度yArcos2acos得rcosrcos2 cos2 cosC 在固定的钢丝所以vr2 cos4sincossin2cos1-4 细杆 OL 绕 O 点以匀角速度转动 ,并推动小环一已知常数 .试求小环的速度v 及加速度 a 个人收集整理勿做商业用途解: 小环 C 的位置由 x 坐标确定xdtand2 secd2dx22xd2dx2vxdax222 sectan2解法二 : 设 v 为小环相对于AB 的速度 , 1v 为小环相对于OL 的速度 ,v 为小环相绕O 点转动的速度 ,就vv 1v 2又设 OL 从竖直位置转过了角,就1 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - sinx2xd2, cos个人收集整理仅供参考学习d2 xd2vv 2x2d2x2d22k 倍.如 .个人收集整理coscosdv 1v 2tantanx2d2xx2d2d所以 ,小环相对于AB 的速度为vx2d2,方向沿 AB 向右 . d1-10 一质点沿着抛物线y22px 运动 .其切向加速度的量值为法向加速度量值的此质点从正焦玄p p 的一端以速度 2u 动身 ,试求其达到正焦玄另一端时的速率勿做商业用途解: 设条件为anv2, advdv ddsv dvaka , dtdds dtd上面三式联立得dv 2 kdv两边积分u vd dv0 0 2 k d , v ue 2k由 y 22 px 可得 dy pdx y在正焦玄两端点 A p , p 和 B p , p 处, y A 1 , y B 1 .可看出 ,两点处抛物线得切线斜2 2率互为倒数 ,即 ,代入得2kv ue1-15 当一轮船在雨中航行时 ,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后 2m 的甲板 ,蓬高 4m .但当轮船停航时 ,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前 3m,假如雨点的速率为 8 m s,求轮船的速率 .个人收集整理 勿做商业用途解: 设相对于岸的速度为 0v ,雨相对于岸的速度为 v ,雨相对于船的速度为 rv 就rv v v 0速度三角形与三角形 ABC 相像 ,得vv 0 BCAB 4 22 33 2 12 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以v 0v8m s个人收集整理仅供参考学习方程y332 p yz22 p h0的解3 zp622 p h02 p hR1/3,13i 就解: 作变换yp2,原方程变为zz3设Rp6B4 2p h ,A2 p hR1/3,BRp3A22实根y 1Ap h 2R1/3p h 2 1/3两个虚根 : y2A2B ,y32AB对于该题 ,只取实根 . 1-38 已知作用在质点上的力为Fxa xa ya z ,Fya xa22ya z , ya z dzF za xa32ya z 其中ai j , , i j1,2,3都是常数 ,问这些a,i j应满意什么条件才有势能存在 .假如这些条件满意,试求其势能 . 解: 由F0得: a i jaj i , , i j1,2,3dVF dxF dyF dza xa ya z dxa xa ya z dya xa32Vxa xdxya xa y dyza xa ya z dz0001 22 a xa y22 a z2a xy2 a yz2 a zx c1-39 一质点受一与距离3/2 次方成反比得引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远到达 a 时的速度1v 和自 a 静止动身到达a/ 4时的速率v 相同 .个人收集整理勿做商业用途解: 依题意有mdvmvdv1,两边积分dtdx3/ 2 xv 1mvdvax1dx, 12 mv 1203/ 22a再积分v 2mvdva1dx,12 mv 1240x3/ 2a2a可知v 1v 21-43 假如质点受有心力作用而作双纽线r2a2 cos2的运动时,就3 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - F4 23ma h个人收集整理仅供参考学习r7试证明之；解：比耐公式2 h u22 d uuF md2而u21a21代入得rcos22 d u4 3 a u5ud2F4 23ma hr71-44 质点所受的有心力假如为2Fmr2r32 h ,就其轨道方程可写成r1ak；试证式中,及都是常数,并且e cos明之；式中k2h22,a2 k h2,e2 Ak h2（ A 为积分常数） ；h22解：比耐公式2 h u22 d uuF m将 F 代入得d22 d u2 k uh2,式中k2h2d22h22其解为uAcoskk002 k h2eak02 2k h012r12 Ak h2cos kkcos k2式中a2 k h2,e2 Ak h2220 得将基准线转动一角度,可使4 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - r1ak个人收集整理仅供参考学习e cosa 的球上,用一与球心相距为b 的平面,切出一球形帽,求此球形2-2 如自半径为为帽的质心；解：方法一球形帽可看作由很多圆薄片沿Z 轴叠成,其质心坐标x cyc0z crrcos r2sin2dzcos3 cos cos brr22 sindz2 1 cos cos b r12 cos14 coscos13 rb2 24cosb rcos1cos 3cos14 2 rb3cosb r方法二取任一垂直于OZ 轴的两平面来截球冠,截得一微圆球台近似地等于圆柱；dmdVsdzr2z2dzzcrzdmrr2z2zdz12 r z211 44 zr3 rrb2brbr2bdmr2z2dz2 r zr4 2b3 zbbb32-3 重为 W 的人,手里拿着一个重为 跳去；当他达到最高点时,将物体以相对速度距离增加了多少？个人收集整理勿做商业用途w 的物体；此人用与地平线成 角的速度向前u 水平向后抛出；问：由于物体的抛出,跳的解：选人与重物组成一个系统,此系统在水平方向无外力作用,水平方向动量应守恒；人在抛出重物以前,水平速度为 v 0cos,在最高点抛出重物之后,其水平速度变为 v ,就个人收集整理 勿做商业用途W w W wv v 0 cos u v 0 cosg g g g人抛出重物后,做以v 为初速的平抛运动,比不抛重物落地点要远,增加的距离xvv 0sinxv 0cosv 0singg两式联立得w uv 0sinWg争论：如抛出物体时速度是相对人后来的速度即v,就上面第一个方程变为5 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - WvwvuW个人收集整理仅供参考学习wv0cosgggg结果是xWwwuv 0sin此时g一个例子：人重60 公斤,物重2 公斤,起跳速度5 m s ,抛物速度 10 m s ,就x0.12 m2-13 长为 l 的匀称细链条伸直地平放在水平光滑桌面上,其方向与桌边沿垂直,链条的一半从桌上下垂；起始时,整个链条是静止的；试用两种不同的方法,求此链条的末端滑到桌子的边沿时,链条的速度；个人收集整理勿做商业用途解：【方法一】重力为设链条的线密度为,就 t 时刻下落的链条质量为glmly ,此时链条所受的2mgly g ,依据牛顿其次定律有2ldvly gdt2作变换vdy,tdv代入上式dtyvdvly gdy2两边积分vvdvlly gdy ,v130022【方法二】设链条的线密度为,当链条往下移y ,重力做的功为求雨滴速度与时间的Wyygdygy y0Wlgydymg3ll8212 mvWmg3 l,v13 gl282216 雨滴下落时, 其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例,关系；解：变质量动力学方程dmv dmumgu0,代入上式得dtdt设水蒸气凝聚在雨滴上之前在空气中的速度mdvvdmmgdtdt6 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设雨滴半径 r 的增长率为个人收集整理仅供参考学习t0时雨滴的半径, 雨滴的质量, rat ,式中 a 为m4r3,式中为t密度t4c3dv3vgadtatt3 g其解va4设t0时,v0的cga44vgataa4345.1 半径为 r 的光滑半球形碗,固定在水平面上,一均质棒斜靠在碗缘,一端在碗内,一端就在碗外,在碗内的长度为c ,试证棒的全长为4c2c2r2； 个人收集整理勿做商业用途解：如图示,主动力mg ,由虚功原理得mgy0而y2 cosl 2sinmg 2 cos2lcos 02l4 cos 24c2c2 r2cos争论：对直角坐标,由虚功原理有WF xxF yymg y0似乎不能选 y 做广义坐标；实际上,如选y 做广义坐标,就广义力不是F ,而是0QyFxdxFydy平稳条件是QyFxdxFy0而不是Fydy此题中,平稳方程是奇点方程dx,即dy0,解之得dydxl4c2c2 r27 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 广义坐标的定义域A ,dx dy个人收集整理仅供参考学习的定义域 B,平稳位置在A 内,但不再 B 内,即平稳方程是奇点方程dx；dyP359【例题 5.3】轴为竖直而顶点在下的抛物线形金属丝,以匀角速度 绕轴转动；一质量为 m 的小环,套在此金属丝上,并可沿着金属丝滑动；试用正就方程求小环在在 x 方向的运动微分方程并求解方程；已知抛物线的方程为 x 24 ay ,式中 a 为一常数；个人收集整理 勿做商业用途解：体系动能T1m x 2y 22x 22mgx2x22体系势能Vm g y而yx2,所以yxx4a2 a所以T1m x21x22x2T 2T 024a2Vmgx24a拉氏函数LTV1m x21x22x24 a24a哈密顿函数HT 2T 0V1m x21x22x2mg24 a24apxLmx1x22,xm 1p xx4ax24 a2H1 2 m1p2 xm2x2mgx2x224 a4 a2代入正就方程得m 1x2xmx2x2xm2xmgx0,2g4a24 a2a初始条件：t0,xx 0,0,令12 4a2 a8 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方程变为1x2xxx2个人收集整理仅供参考学习x0当0时C 1x2C 1Arth1x22tC212 x 01x2其中C 12 x ,2C21C 1x2x2C 12 x 0C 1Arth0C 12 x 0当0时C 1x2C 1Arth1x22tC212 x 01x2C 1x21x2C 1x2C 1其中C 12 x ,2C200ArthC 1x209 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页
