2022年点与曲线空间投影的探讨_学士学位论说 .docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 西安文理学院学士学位论文点与曲线空间投影地探讨系 院 名 称 数学与运算机工程学院西安文理学院数学与运算机工程学院名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点与曲线空间投影地探讨（西安文理学院数学与运算机工程学院,陕西西安, 710065）摘要： 空间投影是解读几何地重要内容之一,而且其应用很广泛 .本文介绍了空间投影 地概念,给出了点与曲线空间投影地概念及其求法,并分析了空间曲线在坐标平面地投影 地误区所在,将点与曲线空间投影整体做了归纳,并总结了几种投影地详细求法 .关键词：空间地点；空间地直线；空间地曲线；投影 .The projection of points and curves in spaceWang Chun Mathematics and computer engineering Xi'an University of Arts and Science College of Xi'an, Shaanxi,710065Abstract: the analytic geometry of space projection is one of the important contents, but also its application is very extensive. This paper introduces the concept of space projection is presented, and the curve of space projection concept and method, and an analysis of space curve in a coordinate plane projection of the misunderstandings, the points and curves in space projection overall summarized, in the projection of lines, points in the projection plane, straight line in the plane of projection, curve in the coordinates of the projection and the curve in the general plane of projection, and the curve in stereo in the projection plane, and error-prone areas summarized.Key words: point of space ； space straight line； space curve； projection.前言：投影在几何争论领域有着重要位置,点与曲线是几何争论中比较普遍地东西,也 是至关重要地内容,有很多技巧和方法需要我们把握,本文主要通过实例说明问题并将其归纳总结,也指出了在求投影时常常出错地地方,并总结了求点与曲线地各种投影地方法 .一、预备学问 空间曲线地一般方程名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 空间曲线 C 可看作空间两曲面地交线 .zS 1S 2oCyxFx,y ,z 0叫做空间曲线地一般方程.Gx ,y ,z 0特点：曲线上地点都满意方程,满意方程地点都在曲线上,不在曲线上地点不能同时满意两个方程 .x 1,空间曲线地一般方程Fx ,y ,z 0, 当给定t1t时,就得到曲线上地一个点Gx ,y,z 0y 1,z 1,随着参数地变化可得到曲线上地全部点.二、空间点地投影1、空间点到直线地投影定义：点到直线地投影就是由点向直线做垂线,这条垂线和直线地交点即所求地投影 .求法：过点 0p 作平面 与 L 垂直, L 与 交点 p 即为点 0p 在直线 L 上地投影点 .p 0Lp名师归纳总结 例 1、求点 1,2,3 在直线上 2x3y10地投影？1,2,3 地平面地交第 3 页,共 14 页解：所求投影就是该直线与以2, 3,1 为法向量地,且过点点 ,所求平面方程为：2x13y2z30,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2x3yz1,与直线方程联立刻可解出x6 7,y67 14,z43,所以所求投影为6 7,67 14,43 14 .142、空间点到平面地投影定义 : 点到平面地投影就是由已知点向已知平面作垂线,垂线与已知平面地交点即为投影点 .求法：过p 作直线 L 与垂直, L 与交点 p 即为点p 在平面上地投影点 .0PLP例 2、平面 L 为x2y2z60,点为O0,0,0,求点O在平面 L 上地投影 .解：过已知点O0,0,0,作垂直于平面x2y2z60地直线：直线地参数方程 为x0t , y0x2 t , z02 t ；x = t , y = 2 t , z = 2 t ,求该直线与平面2y2z60地交点 , 直线方程代入平面方程,得 9t =6 ,故t2,于是 , , ,即为所 3 3 33求投影点 .例 3、已知点A 1,2, 3,求点 A 在平面 2x3y5z10上地投影点B？名师归纳总结 解：过点A 1,2, 3向平面 2x3y5z100做垂线,交平面于B第 4 页,共 14 页由于向量 2,3,5 为平面地法向量,所以过线段AB 地直线地方向向量为 2,3,5 ,所以依据空间直线地点向式可得：垂线AB 地方程为地交点 B 即为投影点x 12=y32=z3 5,它与平面 2x3y5z1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以将上述两个方程联立解出B（-5 19,2 19 ,3 19）.三、空间曲线地投影1、直线在空间平面地投影定义：直线在平面地投影就是直线上每一点在平面地投影点构成地直线 .求法 : 过 L 作平面 1与 垂直,就 1与 地交线为 L 在 上地投影 .L通常求直线在平面地投影,我们实行地方法是：（1）、在直线上任取两点,分别向平面做垂线,垂线与平面交点所在地直线就是直线到平面地投影；（2）、过直线 L 作平面1与 垂直,就 1与 交线为就是直线 L 在平面 地投影 .x 2y z 1例 4、直线 L：；在平面 x+y+2z=5 上地投影直线方程是什么？2x y z 0解：在直线 L: x 2y z 1上取点 A0,1,-1,B 13,0, 23.过 A 作平面2x y z 0z 1x+y+2z=5 地垂线 x=y-1= 2 ,交平面 x+y+2z=5 于点 C1,2,1. 过 B 作平面x 1 z 23 4 8x+y+2z=5 地垂线 3 =y= 2 ,交平面 x+y+2z=5 于点 D 3 ,1, 3.直线 CD:3x-1=-y-2=3 5 z-1, 就是 L 在平面 x+y+2z=5 上地投影直线 .例 5、求直线x2yz10,在平面xyz0上地投影直线方程 .3x2yz10解：xyz0地法向量为 1,1,1 ,过直线x2yzz10地平面束方3x2y10程为名师归纳总结 1x2yz1k3x2yz10,即第 5 页,共 14 页3 k x22 k yk1z1k0 1,法向量为 1+3 k ,2-2 k , k - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1,如该法向量与 1,1,1 垂直,就 13 *122 *1k1*10,即2 k +2=0 , k =-1；代入 1 x2yz13x2yz10,即2x4y2z20,即x2yz10该平面与平面xyz30地交线就是投影直线,直线就是x2yzz10,xy30y2 3,xz7 .也可化成较简洁地势式32、空间曲线在平面地投影2.1、空间曲线在坐标面上地投影设空间曲线 C地一般方程为由上述方程组消去变量z,x,y 后所得地方程分别为：H x , y =0 R y , z =0 T x , z =0 表示曲线 C在 xoy 面上地投影 , 表示曲线 C在 yoz面上地投影 , 表示曲线 C在 xoz面上地投影 . 设空间曲线地一般方程：Fx ,y ,z 0,消去变量z 后得：Hx,y0这就是曲线G x ,y ,z 0关于 xoy 地投影柱面,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 投影柱面地特点：以此空间曲线为准线,垂直于所投影地坐标面 . 如图 :投影曲线地争论过程 .空间曲线 投影柱面 投影曲线x2y2z21在坐标面上地投影.例 6、求曲线z12解（ 1）消去变量z 后得x2y23 4,名师归纳总结 在 xoy面上地投影为2 xy23,.第 7 页,共 14 页4z0（2）由于曲线在平面z1上,所以在 xoz面上地投影为线段2z1,|x|3;2y20（3）同理在 yoz 面上地投影也为线段.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - z1,|y|3.2x20例 7、 求抛物面y2z 2x与平面x2yz0地截线在三个坐标面上地投影曲线方程 .解:截线方程为y222 zx0xyz（1）消去 z 得投影x25y24 xyx0 ,.z0（2）消去 z 得投影x22 5 z2 xz4 x0 ,y0（3）消去 x 得投影y22 z2yz0 .x0补充 : 由空间曲线围成地空间立体或曲面在坐标面上地投影空 间 立 体曲 面名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 8、设一个立体,由上球面z4x2y2和z3x2y2锥面所围成,求球面与锥面围成圆地曲线在xoy 平面地投影 .xx2yy2,解:半球面和锥面地交线为C:z4z322,消去z得投影柱面x22 y,1就交线C在xoy面上的投影为x2y2,1一个圆 ,z.02.2、在寻求 L 在坐标平面上地投影曲线及曲线围成柱面在坐标平面地投影时常有如下典型错误：2 2 21 求 01L : x2 y2 z 1 12 在 xoy 平面上地投影曲线 .2 x y y z 1 12解：从 L 地两个方程中消去 z 得到 x y 0,故 1L :在 xoy 平面上地投影曲线地方2程为 x y 0z 02 2 2 22 求 0L : x2 y2 z a关于 xoz 平面地投影柱面地方程 ,x y ax 0解:从 L 地两个方程消去 y ,即得到 L 关于 xoz 平面地投影柱面 地方程 :2 2z a ax ,简洁看出这两个解答都是不完善地,由于 L 和 L 均为两个曲面地交线 ,且 其 中至 少各有一个曲面是封闭地 ,即范畴是有限地 ,所以 1L 在 xoy 平面 上 地 投 影, L 在xoz 平面上地投影也只能在有限范畴内 .其实由以上所作 ,我们只能肯定 L 在 柱 面2 2 2x y 0 上,L 在柱面 z ax a 0 上,而它们各自是否与柱面地直母线都相交尚待争论 .名师归纳总结 现来求1L 在 xoy 平面上地投影曲线 ,1,由第一式知 : x2y21,于是1L第 9 页,共 14 页易见L 可表成x2y2z2 11x2y02- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 地投影曲线应是曲线x2y0,y02在 xoy 平面地单位圆内地部分 ,争论不等式组 x2 y2 0,第一 y x 2 0,此外又x y 1有 y 2y 1 0,故解得 0 y 5 12,所以 L 12在 xoy 平面上地投影曲线应为 x y 0,0 y 5 12 .z 0完全相仿 , L 关于 xoz平面地投影柱面方程为 z 2ax a 20, 0 x a .现在我们就以寻求空间曲线 L: F x y z 1 0 1,在 xoy 平面上地投影曲线及关F 2 , , 0 2于 xoy 平面地投影柱面为例 , 给出其正确地解法如下 :从方程（ 1）、（ 2）消去坐标 z,得 f x y , 0（3）,假如记 xoy 平面上地曲线 T : f x y , 0以 及 当 方 程 （ 1 ） 或 （ 2 ） 显 含 z 时 ,记 xoy 平 面 上 地 区 域Z 0F x y z 1 , , 0D i x y , ,0 | F x y z i , , 0 关于 有实解,再依据 L 地新方程是 L: 或f x y , 0F x y z 0者 L: ,那么,曲线在 xoy 平面上地投影就是 r D 1 r ,或者 0 r D 2 r ,0f x y , 0而 L 在 xoy 平面地投影柱面为 f x y , 0, , ,0 r ,作为特殊情形,我们易见曲线F x y z , , 0Ax By Cz D 0, C 0在 xoy 平 面 上 地 投 影 曲 线 及 关 于 x o y平 面 地 投 影 柱 面 方 程 分 别 为名师归纳总结 Fx,y ,A xCB yD 和 0F x y , ,AxBy D0.1 2,由第一式乘以3 再减去其次式得：第 10 页,共 14 页z0C例 9、对于曲线L: 2y232 z4x4z2 yy22 z8x12z,y2 , 0 y2 x4x0, 又 由 （ 1 ） 式 知D 1x2, 解 不 等 式 组 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y24x00,得2y2,故L 在 xoy 平面上地投影曲线方程为2 y4x0且y22x2z022 y 2, （ 或 者 1 x 0） , L 关 于 x oy平 面 地 投 影 柱 面 为 y 4 x 0,2 y 2 .2 2 2 2例 10、对于曲线 L：x2 y2 z a 1将（ 2）式改写成 x a2 y 2 2 2,x y ax 0 2易见在 xoy 平面上圆 0r ： x a2 2y 2 2 2整个被包括在半径为 a 地圆 x 2y 2a 之 2内,即 r 0 D ,故 L 在 xoy 平面地投影柱面即为圆柱面： x a2 2y 2 2.下面在求此曲线在 yoz 平面地投影柱面 .2 2 2 2x y z a 1把 L 地 方 程 首 先 改 写 成 L ：2 进 而 在 把 它 改 写 成 L: z ax 0 32z ax 0 3 a2 a z 2y 2 a 24,又易知对于任意 y,z,方程（ 3）关于 x 均有实解,故从曲线 L 地最终形式地方程立刻可知 L 在 yoz 地投影柱面为 a2 za 2y 2 2.就以上所论可见,问题归根究底是从方程中消去参数时如何真确把握所产生地限制条件.假如在问题（2）中,将L 写成 2x2y2z2a2,那么由其次式立刻有0xa ,yza ax 再 将 第 二 式 代 入 第 一 式 , 即 消 去就 得 到 关 于 xoz 平 面 地 投 影 柱 面 方 程2 zaxa20,0xa .同样道理,对于一些归结为消去参数地问题,特殊由曲线族生成曲面时,我们务必考虑为使这些参数在实数范畴对点地坐标所产生地限制条件,否就难以活得正确结论 .2.3、空间曲线在一般平面上地投影前面我们探讨了空间曲线在坐标平面地投影,现在我们来争论一下空间曲线在一般平面地投影有哪些问题：所谓空间曲线C 在平面 P 上地投影线 ,是将 C 上名师归纳总结 地每一点作P 地垂直线与P 地交点地集合 .ByCzD0上地投影曲线l 地方程 . 第 11 页,共 14 页问题 1 ： 求空间曲线C 在一般平面P ：Ax方法一空间曲线 C 可看成两个空间曲面地交线,即可用Fx y z0 1表示,G x y z0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 式称为曲线C 地一般方程 .所求投影曲线l 可看成由两个空间曲面地交线,一个是名师归纳总结 已知平面P,另一个是经过已给空间曲线C 且垂直于已知平面P 地柱面 ,故问题转化为第 12 页,共 14 页求这一柱面方程.设柱面地准线地方程为Fx y z0,母线方向bA B C,G x y z0点 M x , y, z 属于柱面地充要条件是点M 在某一条母线上,即存在准线上一点M11x , 1y , 1z , 使 得 点M位 于 过 点M1且 以b 为 方 向 向 量 地 直 线 上 . 因 此 , 有Fx 1,y 1,z0,0Gx 1,y 1,z 1xx 1At方法二空间曲线 C 也可用参数方程表示,即yy 1Bt,其中 t 为参数 .经过 C 上任zz 1Ct意一点x t,y t,z t,作P 地垂直线方程为xx tyy tzz ts,就ABCxx ts A ,该 垂直 线方程 可写 成参数 式 :yy ts B ,代 入平面P 地方程 求出s,记 为0s：zz ts C .0 sAx tBy t2Cz tD,设 t 在 C 地定义域内变动,即得 l 地参数方程如2 ABC2上,留意 , 当 t 变动时,0s 不是常数 .特殊地,如P 为 xoy 平面 ,就ABD0,C1xx t于是 l 地参数方程为yy t,即曲线C 在 xoy 平面上地投影曲线只要将zz ts C 00其参数方程中地z = z t 换成 z = 0 即可 .例 11、求空间曲线C:x2 y2 z在平面：x2z3上地投影曲线地方程.x2 z解投影曲线地方程可看作平面 P 和经过空间曲线C 且垂直于平面P地柱面地交线 .先求柱面方程 :柱面地准线方程为xy22 z0,母线方向为b1,0, 2,设点 M x , y, x2z0z 是 柱 面 上 一 点 , 点M1 1x , 1y , 1z 为 准 线 上 一 点 , 就 有x 12 y 12 z 10,x 12z 10;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xx 1t,4y2y 1, 由 以 上 两 式 消 去.1x , 1y , 1z影及t, 可 得 柱 面 方 程 为zz 12 .故投曲线方程为x25y22 z4xz20x10z0.xx2z3,2在平面xyz10上地投影曲线地4225y 2z 24xz20x10z0.x3cos,例 12、 求曲线C:y4sin, 0z5,方程 .解：经过已知曲线C 上任意一点x,y,z作已知平面地垂直线方程为s ,代x3cosy4sinz15s ,就该垂直线方程可写成参数式: x3cosy4sins ,11z5s .: 入已知平面方程求出s,记为0s :s 03cos4sin51,于是得到投影点地坐标3x3coss 0,y4sins 0,上式即为所求投影曲线地参数方程.z5s 0.总结,由上面可知,点与曲线在空间地投影在解读几何中位置地重要性,将它总结归纳可以为以后争论解读几何供应了便利 .终止语综上所述,数学争论就是不断总结学习新学问地过程,通过争论学习不断发觉问题,并将其改正完善.在本节所涉及点与曲线在空间地投影就是通过总结以前所学地学问,找出解决地方法,并将我们简洁出错地地方分析争论,不但采纳详细实例说明,而 且采纳数形结合,可以让我们直观地发觉问题,为解读几何争论供应便利,另外,本文将 点与曲线在空间投影扩展到由曲线围成地立体图形也给了争论和分析地投影,为今后数学 争论供应了很好地素材 .【参考文献】 1 同济高校数学教研室.高等数学 M . 北京 :高等训练出版社, 1996. 2 钱昌本 .高等数学解题过程中地分析和争论 M . 北京 : 科学出版社 , 2005.名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 孙本旺 ,汪浩 . 数学分析中典型例题和解题方法M . 长沙 :湖南科学技术出版社, 1983. 4 徐利治 ,王兴华 . 数学分析地方法及例题选讲M . 北京 :高等训练出版社, 1984.5 李养成 , 郭瑞芝 . 空间解读几何 M . 北京 :科学出版社 ,2007: 77 - 79.6 吕林根 .解读几何第四版 M. 高等训练出版社,2005.7 李建华 .射影几何 M. 北京 :科学出版社 ,2022.8 徐文智 .高等数学 M. 西安电子科技高校,2022.9 唐伦章 .高等代数 M. 化学工业出版社,2022.10陈治中 . 线性代数与解读几何 M. 北方交通高校出版社,2003.11郑宝东 . 线性代数与解读几何 M. 北京 :高等训练出版社 ,2000.12水乃翔 .从空间曲线问题地典型错误谈起 P. 湖州师专学报 1984:55-57.致 谢本论文是在我地指导老师闫焱副教授地亲切关怀和尽心指导下完成地 .她用严谨地治学精神,精益求精地工作作风,在劳碌地教案之余抽出时间对我地论文赐予最细致地指导,不断地督促并为我指导,同时也深深地感染和鼓励着我.在此我要向我地指导老师致以最衷心地感谢和深深地敬意 .同时,也向帮忙和指导过我地各位老师表示最诚心地感谢！另外,在论文地撰写过程中,我地同学和伴侣不但为我供应了很多地论文素材,指导我运算机使用技术,而且对文章提出了修改看法,赐予我热忱地帮忙,在此,对全部帮忙过我地同学致以真诚地谢意 .同时,感谢学校给我供应地良好学习环境,让我能够学习这么多学问,图书馆能够提供相关资料,从而能顺当完成毕业论文撰写和学业 . 在论文即将完成之际,我地心情无法安静,从开头进入课题到论文地顺当完成,有多少可敬地师长、同学、伴侣给了我无言地帮忙,在这里请接受我真诚地谢意 . 最终,我诚心地感谢在百忙之中评阅论文和参与答辩地各位老师、教授 .王春春2022 年 5 月 14 日名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页