2022年初中平方根知识讲解复习进程 .pdf

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流平方根（基础）【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2xa,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0 的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a0，a0.2.平方根的定义如果2xa，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a(a0)的平方根的符号表达为(0)a a，其中a是a的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a和a2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0 的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质20|000aaaaaaa20aaa知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250，62525，6.252.5，0.06250.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流1、下列说法错误的是（）A.5 是 25 的算术平方根 B.l是 l 的一个平方根C.24的平方根是 4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项A.因为255，所以本说法正确；B.因为1 1，所以 l 是 l 的一个平方根说法正确；C.因为2416 4，所以本说法错误；D.因为00，00，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9没有平方根（）（2）164（）（3）21()10的平方根是110（）（4）25是425的算术平方根（）【答案】；，提示：（2）164；（4）25是425的算术平方根2、填空：（1）4是的负平方根（2）116表示的算术平方根，116（3）181的算术平方根为（4）若3x，则x，若23x，则x【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根19，此题求的是19的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13(4)9；3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流举一反三：【变式 1】下列说法中正确的有（）：3 是 9 的平方根 9 的平方根是3 4 是 8 的正的平方根8是 64 的负的平方根A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B；提示：是正确的.【变式 2】求下列各式的值：（1）325（2）8136（3）0.040.25（4）40.36121【答案】（1）15；（2）15；（3）0.3；（4）6553、使代数式1x有意义的x的取值范围是 _【答案】x1；【解析】x10，解得x1.【总结升华】当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a0，a0.举一反三：【变式】代数式y3x有意义，则x的取值范围是【答案】3x.类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的x.（1）23610;x（2）21289x；（3）29 32640 x【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法（2）小题将1x看作一个整体，（3）小题将32x看作一个整体，求出它们的解后，再求x.【答案与解析】解：（1）23610 x2361x36119x（2）21289x1289xx1 17 x16 或x 18.（3）29 32640 x264329x8323x21499xx或【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3 倍，面积是1323 平方米求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为 3x，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流由题意得，x3x1323 32x1323 21xx 21(舍去)答：长为63 米，宽为 21 米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.（提高）【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若 2m4 与 3m1 是同一个正数的两个平方根，求m的值【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m4（3m1），解方程即可求解【答案与解析】解：依题意得 2m4（3m1），解得m1；m的值为 1【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数举一反三：【变式】已知2a1 与a2 是m的平方根，求m的值.【答案】2a 1 与a2 是m的平方根，所以2a1 与a2 相等或互为相反数.解：当2a1a2 时，a1，所以m22212 1 11a当 2a1（a2）0 时，a 1，所以222212(1)139a2、x为何值时，下列各式有意义？(1)2x；(2)4x；(3)11xx；(4)13xx【答案与解析】解：(1)因为20 x，所以当x取任何值时，2x都有意义(2)由题意可知：40 x，所以4x时，4x有意义(3)由题意可知：1010 xx解得：11x所以11x时11xx有意义(4)由题意可知：1030 xx，解得1x且3x所以当1x且3x时，13xx有意义【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流非负数时，式子才有意义(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义举一反三：【变式】已知4 322 232baa，求11ab的算术平方根【答案】解：根据题意，得320,230.aa则23a，所以b2，1131222ab，11ab的算术平方根为112ab类型二、平方根的运算3、求下列各式的值(1)2222252434g；(2)111200.36900435【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434g49257535g；(2)1118111200.369000.63043543590.261.72【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)aa a来解类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x.（1）23610;x（2）21289x；（3）29 32640 x【答案与解析】解：（1）23610 x2361x36119x（2）21289x1289xx1 17 x16 或x 18.（3）29 32640 x264329x8323x21499xx或【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x：（1）若21.21x，则x_；（2）2169x，则x_；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（3）若29,4x则x_；（4）若222x，则x_【答案】（1）1.1；（2）13；（3）32；（4）2.类型四、平方根的综合应用5、已知a、b是实数，且26|2|0ab，解关于x的方程2(2)1axba【答案与解析】解：a、b是实数，26|2|0ab，260a，|2|0b，260a，20ba3，2b把a3，2b代入2(2)1axba，得x2 4，x6【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a、b的值，再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可举一反三：【变式】若2110 xy，求20112012xy的值【答案】解：由2110 xy，得210 x，10y，即1x，1y当x1，y1 时，20112012201120121(1)2xy当x 1，y1 时，2011201220112012(1)(1)0 xy6、小丽想用一块面积为4002cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x(x0)cm，则宽为 2x cm，依题意得32300 xx.26300 x.250 x.x0，50 x.长方形纸片的长为3 50 cm.50 49,507.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 3 5021,即长方形纸片的长大于20cm.由正方形纸片的面积为400 2cm,可知其边长为20cm,长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答:小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -