2022年初中经典几何证明练习题,推荐文档 2.pdf

第1页共9页初中几何证明题经典题（一）1 已知：如图，0是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD丄AB,EF丄AB,EG丄CO.求证：CD=GF.证明：过点G作GH丄AB于H，连接OE?/EG 丄CO,EF 丄AB?/EGO=90。，/EFO=90?/EGO+/EFO=180?E、G、O、F四点共圆?/GEO=/HFG?/EGO=/FHG=90?EGOs FHG EO GO FG=HG?/GH 丄AB,CD 丄AB?GH/CD?GO CO HG CD?EO CO FG CD?/EO=CO?CD=GF 2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，/求证：PBC是正三角形.（初二）证明：作正三角形ADM，连接MP?/MAD=60。，/PAD=15?/MAP=/MAD+/PAD=75?/BAD=90。，/PAD=15?/BAP=/BAD-/PAD=90 -15 =75?/BAP=/MAP?/MA=BA,AP=AP?MAP BAP?/BPA=/MPA,MP=BP 同理/CPD=/MPD,MP=CP?/PAD=Z PDA=15?PA=PD，/BAP=/CDP=75-BA=CD.BAP CDP?Z BPA=Z CPD-Z BPA=Z MPA,Z CPD=Z MPD PAD=Z PDA=15。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 12 页 -第2页共9页?Z MPA=Z MPD=75?Z BPC=360-75 X 4=60-MP=BP,MP=CP?BP=CP BPC 是正三角形名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 12 页 -第3页共9页3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN 于E、F.求证：/DEN=Z F.证明：连接AC,取AC的中点G,连接NG、MG?/CN=DN,CG=DG 1?GN/AD,GN=AD 2?/DEN=/GNM?/AM=BM,AG=CG 1?GM/BC,GM=BC 2?/F=/GMN?AD=BC?GN=GM 经典题（二）1、已知：ABC中，H为垂心（各边高线的交点）（1）求证：AH=2OM;,O为外心，且OM丄BC于M.（2）若/BAC=600,求证：AH=AO.（初二）证明：（1）延长AD交圆于F,连接BF，过点0作0G丄AD于G?/0G 丄AF?AG=FG T AB=AB?/F=/ACB 又AD丄BC,BE丄AC?/BHD+/DBH=90/ACB+/DBH=90?/ACB=/BHD?/F=/BHD?BH=BF 又AD 丄BC-t?DH=DF?AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH)=2GD 又AD 丄BC,OM 丄BC,OG 丄AD?四边形OMDG是矩形?OM=GD?AH=2OM(2)连接OB、OC?/BAC=60 BOC=120?/OB=OC,OM 丄BC 1?/BOM=/BOC=60 OBM=3 2?BO=2OM 由(1)知AH=2OM?AH=BO=AO 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 12 页 -第4页共9页2、设MN是圆0外一条直线，过0作0A丄MN于A，自A引圆的两条割线交圆0于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.求证：AP=AQ.证明：作点E关于AG的对称点F,连接AF、CF、QF?/AG 丄PQ PAG=/QAG=90 又/GAE=/GAF PAG+/GAE=/QAG+/即/PAE=/QAF?E、F、C、D四点共圆/AEF+/FCQ=180 EF 丄AG,PQ 丄AG EF/PQ/AEF=/PAF/PAF+/QAF=180 在厶AEP和厶AFQ中/AFQ=/AEP?/AFQ=/ACQ 又/AEP=/ACQ?/AFQ=/AEP:AF=AE、/QAF=/PAE?AEP AFQ?AP=AQ3、设MN是圆0的弦，过MN的中点A任作两弦BC、求证：AP=AQ.（初二）证明：作0F丄CD于F,0G丄BE于G,连接0P、0Q、?C、D、B、E四点共圆?/B=/D，/E=/C?ABE ADC?AB BE 2BG BG AD DC 2FD DF?ABG ADF?/AGB=/AFD?/AGE=/AFC?/AM=AN,?0A 丄MN 又0G丄BE,?/0AQ+/0GQ=180?0、A、Q、E四点共圆?/A0Q=/AGE 同理/A0P=/AFC?/A0Q=/A0P 又/0AQ=/0AP=90 ,0A=0A?0AQ 也厶0AP?AP=AQ/PAF=/AFE AF=AE/AFE=/AEF/FCQ=/QAF F、C、A、Q四点共圆DE，设CD、EB分别交MN于P、Q 0A、AF、AG、GAF Q名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 12 页 -第5页共9页4、如图，分别以 ABC的AB和AC为一边，在 ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点0是DF 的中点，0P丄BC求证：BC=20P（初二）证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N?/OF=OD,DN/OP/FL?PN=PL?OP是梯形DFLN的中位线?DN+FL=2OP T ABFG是正方形?/ABM+/FBL=90 又/BFL+/FBL=90?/ABM=/BFL 又/FLB=/BMA=90 ,BF=AB?BFL ABM?FL=BM 同理 AMC CND?CM=DN?BM+CN=FL+DN?BC=FL+DN=2OP 经典题（二）1 如图，四边形ABCD为正方形，DE/AC,AE=AC,AE与CD相交于F.求证：CE=CF.（初二）证明：连接BD交AC于O。过点E作EG丄AC于G/ABCD是正方形?BD丄AC又EG丄AC?BD/EG 又DE/AC?ODEG是平行四边形又/COD=90?ODEG是矩形1 1 1?EG=OD=BD=AC=AE 2 2 2?/EAG=30?/AC=AE?/ACE=/AEC=75 又/AFD=90 -15 =75?/CFE=/AFD=75 =/AEC 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 12 页 -第6页共9页?CE=CF名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 12 页 -第7页共9页2、如图，四边形ABCD为正方形，DE/AC,且CE=CA，直线EC交DA延长线于F.求证：AE=AF.(初二)/证明：连接BD，过点E作EG丄AC于G/ABCD是正方形?BD 丄AC,又EG 丄AC?BD/EG 又DE/AC?ODEG是平行四边形又/COD=90?ODEG是矩形1 1 1?EG=OD=BD=AC=CE 2 2 2?/GCE=30?/AC=EC-/FAC-/ACF 在厶AFC 中/F=180 X.jf1oX*1?/CAE=/CEA=/GCE=15 2=180=180-/FAC-/GCE-135 -30=15?/F=Z CEA?AE=AF求证：PA=PF.（初二）.4D证明：过点F作FG丄CE于G,FH丄CD于H -?CD丄CG?HCGF是矩形、fl.丿?/HCF=/GCF?FH=FG?HCGF是正方形?CG=GF/;?/AP 丄FP 设AB=x,BP=y,CG=z?/APB+/FPG=90 z：y=(x-y+z):x p7 GE?/APB+/BAP=90 化简得(x-y)?y=(x-y)?z?/FPG=/BAP?/x-yz 0 又/FGP=/PBA?y=z?FGPs PBA 即BP=FG?FG：PB=PG:AB?ABP 也厶PGF 3、设P是正方形ABCD 一边BC上的任一点，PF丄AP,CF平分/DCE.4、如图，PC切圆O于C,AC为圆的直径，PEF为圆的割线,求证：AB=DC,BC=AD.（初三）证明：过点E作EK/BD，分别交AC、AF于M、K,连接OH、MH、EC?/EH=FH.?OH 丄EF,?/PHO=90 又PC丄OC,?/POC=90?P、C、H、O四点共圆?/HCO=/HPO 又EK/BD，?/HPO=/HEK?/HCM=/HEM?H、C、E、M四点共圆?/ECM=/EHM?EM=KM?/EK/BD OB AO OD KM 又/ECM=/EFA?/EHM=/EFA EM AM?OB=OD 又AO=CO?四边形ABCD 线互相平分?ABCD是平行四边形?AB=DC,BC=AD AE、AF与直线PO相交于B、D.取EF的中点H,R的对角?HM/AC?/EH=FH 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 12 页 -第8页共9页经典题（四）1已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3,求/APB的度数.(初二)解：将 ABP绕点B顺时针方向旋转60得厶BCQ，连接PQ 则厶BPQ是正三角形?/BQP=60 ,PQ=PB=3 在厶PQC 中，PQ=4,CQ=AP=3,PC=5?PQC是直角三角形?/PQC=90?/BQC=/BQP+/PQC=60 +90 =150 B?/APB=/BQC=150 2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且/PBA=Z PDA.求证：/PAB=Z PCB.（初二）证明：过点P作AD的平行线，过点两平行线相交于点E,连接BE?/PE/AD,AE/PD?ADPE是平行四边形?PE=AD,又ABCD是平行四边形?AD=BC?PE=BC 又PE/AD,AD/BC；?PE/BC?BCPE是平行四边形；?/BEP=/PCB?ADPE是平行四边形；?/ADP=/AEPI+得AB?CD+AD?BC=DE?AC+BE?AC=(DE+BE)?AC=BD?AC3、设证明：AB?CD+AD?BC=AC?点E,使/BCE=/ACD ABCD为圆内接凸四边形，求证:在BD上去?/CD=CD?/CAD=/CBD?BEC ADC BE BC AD AC?AD?BC=BE?AC BCE=/ACD BCE+/ACE=/ACD+/ACE 即/BCA=/ECD AB AC DE?AB?CD CD=DE?AC 又/ADP=/ABP?/AEP=/ABP?A、E、B、P四点共圆?/BEP=/PAB?/PAB=/PCB?BC=BC，?/BAC=/BDC BAC EDC C 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 12 页 -第9页共9页4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P,且AE=CF.求证：/DPA=Z DPC.(初二)证明：过点D作DG丄AE于G,作DH丄FC于H,1 1?SA ADE=2 AE?DG,S FDC=2 FC?DH 1 又ADE=FDC=SABCD 2?AE?DG=FC?DH 又AE=CF?DG=DH?点D在/APC的角平分线上?/DPA=Z DPC 经典题（五）1、设P是边长为1的正 ABC内任一点，L=PA+PB+PC,求证：.3 Z AGP?/APD Z ADP B fl?AD PA.又BD+PD PB.CG+PG PC.+得AD+BD+CG+PD+PG PA+PB+PC?AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC PA+PB+PC=L?/AB=AC=1?L V 2 由(1)(2)可知：,3 w LV 2.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 12 页 -第10页共9页2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值.解：将ABCP绕点B顺时针旋转60得厶BEF，连接PE,则厶BPE是正三角形?PE=PBPA+PB+PC=PA+PE+EF?要使PA+PB+PC最小，贝U PA、PE、EF应该在一条直线上(如图)此时AF=PA+PE+EF 过点F作FG丄AB的延长线于G则/GBF=180 -Z ABF=180 -150 =30 BG=?PA+PB+PC的最小值是2.33、P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,证明：将厶ABP绕点B顺时针旋转90得厶BCQ，连接PQ 则厶BPQ是等腰直角三角形，?PQ=.2 PB=,2 x 2a=2,2 a 又QC=AP=a?QP2+QC2=(2.2 a)2+a2=9a2=PC2?PQC是直角三角形?Z BQC=135?BC2=BQ2+CQ2-2BQ?CQ?cosZ BQC=PB2+PA2-2PB?PAcos135 解得BC=.5 22a?正方形的边长为5 2、?2a?AF=.,GF2AG2=4a2+a2-2 x 2ax axE 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 12 页 -4第11页共9页4、如图，ABC 中，/ABC=Z ACB=80,D、E 分别是AB、AC 上的点，/DCA=30,/EBA=20，求/BED的度数.解：在AB上取一点F,使/BCF=60,CF交BE于G,连接EF、DG?/ABC=80，/ABE=20 ,A/EBC=60，又/BCG=60?BCG是正三角形?BG=BC?/ACB=80，/BCG=60?/FCA=20?/EBA=/FCA 又?/A=/A,AB=AC ABE 也ACF?AE=AF 1?/AFE=/AEF=2(180-/A)=80 又?/ABC=80 =/AFE?EF/BC EFG=/BCG=60?EFG 是等边三角形?EF=EG,/FEG=/EGF=/EFG=60?/ACB=80，/DCA=30?/BCD=50?/BDC=180 -/BCD-/ABC=180 -50 -80=50?/BCD=/BDC?BC=BD 前已证BG=BC?BD=BG 1/BGD=/BDG=2(180 -/ABE)=80?/FGD=180 -/BGD-/EGF=180 -80-60=40又/DFG=180 -/AFE-/EFG=180 -80-60 =40?/FGD=/DFG?DF=DG 又EF=EG,DE=DE EFD EGD 1 1?/BED=/FED=2/FEG=2 X 60=30又AE 丄CD,/ACD=45?CE=AE=AC?cos/CAE=6 X 2=3.2 2?CD=CE+DE=3、2+4.2=7、2?/PDA=/PCD,/P=/P PDA PCD 7 5 7 5?-PC=PD,PA=PD?/PC=PA+AC?PD=PD+6 5、如图，ABC内接于O O,线PD交CA的延长线于点P,求线段PD的长。且AB为O O的直径，/ACB的平分线交O O于点D，过点D作O O的切 过点A作AE丄CD于点E,过点B作BF丄CD于点F，若AC=6,BC=8,解：?/ACD=/BCD?AD=BD?AD=BD?/AB 为O O 的直径?/ADB=90?ABD是等腰直角三角形?/ACB=90 ,AC=6,BC=8?AB=10?AD=AB?cos/DAB=10 X鼻=5.2 2 心ADE 中,DE2=AD 2-AE2?DE2=(52)2-(3V2)232?DE=4-2?ACE是等腰直角三角形PD PA AD 5 2 5 PC PD CD 72 7 解得PD=A B C 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 12 页 -4第12页共9页5 7 5 7 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 12 页 -