2022年《导学教程》高三数学二轮复习教案专题四空间中的平行与垂直 .pdf

第 2 讲空间中的平行与垂直自主学习导引真题感悟1(2012 浙江)设 l 是直线，、是两个不同的平面A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若 ，l，则 lD若 ，l，则 l解析利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法设 a，若直线 la，且 l?，l?，则 l，l，因此 不一定平行于，故 A 错误；由于 l，故在 内存在直线 l l，又因为 l，所以 l，故 ，所以 B 正确；若 ，在 内作交线的垂线l，则 l，此时 l 在平面 内，因此 C 错误；已知 ，若 a，la，且 l 不在平面 ，内，则 l 且 l，因此 D 错误答案B 2(2012 江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D、E 分别是棱 BC、CC1上的点(点 D 不同于点 C)，且 ADDE，F 为 B1C1的中点求证：(1)平面 ADE平面 BCC1B1；(2)直线 A1F平面 ADE.证明(1)因为 ABC A1B1C1是直三棱柱，所以 C C1平面 ABC.又 AD?平面 ABC，所以 C C1AD.又因为 ADDE，C C1，DE?平面 BC C1 B1，C C1DEE，所以 AD平面 BC C1 B1.又 AD?平面 ADE，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -所以平面 ADE平面 BC C1 B1.(2)因为 A1 B1A1 C1，F 为 B1 C1的中点，所以 A1FB1 C1.因为 C C1平面 A1 B1 C1，且 A1F?平面 A1 B1 C1，所以 C C1A1F.又因为 C C1，B1 C1?平面 BC C1 B1，C C1B1 C1C1，所以 A1F平面 BC C1 B1.由(1)知 AD平面 BC C1 B1，所以 A1FAD.又 AD?平面 ADE，A1F?平面 ADE，所以 A1F平面 ADE考题分析空间线面位置关系的判定与证明是高考的必考考点，多以选择题与解答题的形式出现，难度中等，解答高考题时，推理过程不完整是失分的重要原因，需引起特别注意网络构建名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -高频考点突破考点一：线线、线面的平行与垂直【例 1】如图，在平行四边形ABCD 中，CD1，BCD60，且 BDCD，正方形 ADEF所在平面与平面 ABCD 垂直，G、H 分别是 DF、BE 的中点(1)求证：BD平面 CDE；(2)求证：GH平面 CDE；(3)求三棱锥 DCEF 的体积审题导引(1)先证 BDED，BDCD，可证 BD平面 CDE；(2)由 GHCD 可证 GH平面 CDE；(3)变换顶点，求 VCDEF.规范解答(1)证明四边形 ADEF 是正方形，EDAD，又平面 ADEF平面 ABCD，平面 ADEF 平面 ABCDAD.ED平面 ABCD，EDBD.又 BDCD，且 ED DCD，BD平面 CDE.(2)证明G 是 DF 的中点，又易知H 是 FC 的中点，在FCD 中，GHCD，又CD?平面 CDE，GH?平面 CDE，GH平面 CDE.(3)设 RtBCD 中，BC 边上的高为 h，CD1，BCD60，BDCD，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -BC2，BD3，12 2 h12 1 3，h32，即点 C 到平面 DEF 的距离是32，VDCEFVCDEF1312 2 23233.【规律总结】线线、线面位置关系证法归纳(1)证线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证线面平行常用的两种方法：一是利用线面平行的判定定理，把证线面平行转化为证线线平行；二是利用面面平行的性质，把证线面平行转化为证面面平行(3)证线面垂直常用的方法：一是利用线面垂直的判定定理，把证线面垂直转化为证线线垂直；二是利用面面垂直的性质定理，把证面面垂直转化为证线面垂直；另外还要注意利用教材中的一些结论，如：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等【变式训练】1(2012 山东实验中学一诊)如图，在几何体 ABCDEP 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PA平面 ABCD，PAEB，且 PA2BE4 2.(1)证明：BD平面 PEC；(2)若 G 为 BC 上的动点，求证：AEPG.证明(1)连接 AC 交 BD 于点 O，取 PC 的中点 F，连接 OF，EF，EBPA，且 EB12PA，又 OFPA，且 OF12PA，EBOF，且 EBOF，四边形 EBOF 为平行四边形，EFBD.又EF?平面 PEC，BD?平面 PEC，BD平面 PEC.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -(2)连接 BP，EBABBAPA12，EBABAP90，EBABAP，PBABEA，PBABAEBEABAE90，PBAE.PA平面 ABCD，PA?平面 APEB，平面 ABCD平面 APEB，BCAB，平面 ABCD 平面 APEBAB，BC平面 APEB，BCAE，AE平面 PBC，G 为 BC 上的动点，PG?平面 PBC，AEPG.考点二：面面平行与垂直【例 2】如图所示，已知在三棱锥ABPC 中，APPC，ACBC，M 为 AB 的中点，D 为PB 的中点，且 PMB 为正三角形(1)求证：DM平面 APC；(2)求证：平面 ABC平面 APC；(3)若 BC4，AB20，求三棱锥 DBCM 的体积审题导引(1)只要证明 MDAP 即可，根据三角形中位线定理可证；(2)证明 APBC；(3)根据锥体体积公式进行计算规范解答(1)证明由已知，得 MD 是ABP 的中位线，所以 MDAP.又 MD?平面 APC，AP?平面 APC，故 MD平面 APC.(2)证明因为PMB 为正三角形，D 为 PB的中点，所以 MDPB.所以 APPB.又 APPC，PBPCP，所以 AP平面 PBC.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -因为 BC?平面 PBC，所以 APBC.又 BCAC，AC APA，所以 BC平面 APC.因为 BC?平面 ABC，所以平面 ABC平面 APC.(3)由题意，可知 MD平面 PBC，所以 MD 是三棱锥 DBCM 的一条高，所以 VMDBC13SBCDMD132 215 310 7.【规律总结】面面平行与垂直的证明技巧在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直【变式训练】2如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABAD，BAD60，E、F 分别是 AP、AD 的中点求证：(1)直线 EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD.证明(1)在PAD 中，因为 E，F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EFPD.又因为 EF?平面 PCD，PD?平面 PCD，所以直线 EF平面 PCD.(2)如图，连接 BD.因为 ABAD，BAD60，所以 ABD 为正三角形因为 F 是 AD 的中点，所以 BFAD.因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BF?平面 ABCD，所以 BF平面 PAD.又因为 BF?平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -考点三：平面图形的折叠问题【例 3】(2012 南京模拟)在ABC 中，BAC90，B60，AB1，D 为线段 BC 的中点，E、F 为线段 AC 的三等分点(如图 1)将ABD 沿着 AD 折起到 AB D 的位置，连接 B C(如图 2)图 1图 2(1)若平面 AB D平面 ADC，求三棱锥 B ADC 的体积；(2)记线段 B C 的中点为 H，平面 B ED 与平面 HFD 的交线为 l，求证 HFl；(3)求证：ADBE.审题导引(1)解题的关键是根据折叠前后的线面位置关系求得B 到平面 ADC 的距离，可利用线面垂直求得；(2)线面平行?线线平行；(3)线面垂直?线线垂直规范解答(1)在直角 ABC 中，D 为 BC 的中点，所以 ADBDCD.又B60，所以 ABD 是等边三角形取 AD 中点 O，连接 B O，所以 B OAD.因为平面 AB D平面 ADC，平面 AB D 平面 ADCAD，B O?平面 AB D，所以 B O平面 ADC.在ABC 中，BAC90，B60，AB1，D 为 BC 的中点，所以 AC3，B O32.所以 SADC12121334.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -所以三棱锥 B ADC 的体积为 V13SADCB O18.(2)证明因为 H 为 B C 的中点，F 为 CE 的中点，所以 HFB E.又 HF?平面 B ED，BE?平面 B ED，所以 HF平面 BED.因为 HF?平面 HFD，平面 B ED平面 HFDl，所以 HFl.(3)证明由(1)知，BOAD.因为 AE33，AO12，DAC30，所以 EOAE2AO22AE AOcos 30 36.所以 AO2EO2AE2.所以 ADEO.又 B O?平面 B EO，EO?平面 B EO，B OEOO，所以 AD平面 BEO.又 B E?平面 B EO，所以 ADB E.【规律总结】解决翻折问题的注意事项(1)解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中去解决【变式训练】3如图 1，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，E、F 分别为 AD 和 BC 上的点，且EFAB，AD2AE2AB4FC4.将四边形 EFCD 沿 EF 折起成如图 2 的形状，使 ADAE.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -(1)求证：BC平面 DAE；(2)求四棱锥 DAEFB 的体积解析(1)证明BFAE，CFDE，BFCFF，AEDEE，平面 CBF平面 DAE.又 BC?平面 CBF，BC平面 DAE.(2)取 AE 的中点 H，连接 DH.EFDE，EFEA，EF平面 DAE.又 DH?平面 DAE，EFDH.AEDEAD2，DHAE，DH3.DH平面 AEFB.则四棱锥 DAEFB 的体积 V133224 33.名师押题高考【押题 1】已知直线 a、b 与平面 、，且 b，则下列命题中正确的是若 a，则 ab；若 ab，则 a；若 b，则 ；若 ，则 b.ABCD解析命题，若 a，过直线 a 作一平面 ，使得 c，则由线面平行的性质定理可得ac，又因为 b，c?，所以 bc，故有 ab，所以该命题为真；命题，若 ab，b，则直线 与平面 的位置关系有两种：a?或 a，故该命题为假；命题，若 b，则过直线 b 作一平面，使得d，则由线面平行的性质定理可得bd，又 b，所以 d，因为 d?，所以由面面垂直的判定定理可得 ，故该命题为真；命题，若 ，b，则直线 b 与平面 的位置关系有两种：b?或 b，故该命题为假综上，为真命题，故选 A.答案A 押题依据 线面的平行与垂直，是立体几何的主体内容，在高考试题中通常会有一道解答题和一道选择题或填空题，主要考查线面位置关系的判定与性质，一般难度不大【押题 2】如图，在三棱锥 ABOC 中，AO平面 COB，OABOAC6，ABAC2，BC2，D、E 分别为 AB、OB 的中点(1)求证：CO平面 AOB.(2)在线段 CB 上是否存在一点F，使得平面 DEF平面 AOC？若存在，试确定 F 的位置；若不存在，请说明理由名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -解析(1)证明因为 AO平面 COB，所以 AOCO，AOBO，即AOC 与AOB 为直角三角形又因为 OABOAC6，ABAC2，所以 OBOC1.由 OB2OC2112BC2，可知 BOC 为直角三角形所以 COBO，又因为 AOBOO，所以 CO平面 AOB.(2)在线段 CB 上存在一点 F，使得平面 DEF平面 AOC，此时 F 为线段 CB 的中点如图，连接 DF，EF，因为 D、E 分别为 AB、OB 的中点，所以 DEOA.又 DE?平面 AOC，所以 DE平面 AOC.因为 E、F 分别为 OB、BC 的中点，所以 EFOC.又 EF?平面 AOC，所以 EF平面 AOC，又 EFDEE，EF?平面 DEF，DE?平面 DEF，所以平面 DEF平面 AOC.押题依据 线面的平行与垂直是立体几何的必考内容，通常要考一个解答题，本题不仅突出考查了线面的平行与垂直，而且以立体几何为背景考查了探索性问题，题目新颖灵活、重点突出、难度适中，故押此题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -