高中数学复习 极坐标与参数方程师版.pdf

1 坐标系坐标系与参数方程与参数方程 【知识要点】【知识要点】 1 1、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ： x x(0)， y y(0) 的作用下，点 P(x，y)对应 到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 2 2、极坐标系的概念极坐标系的概念 (1)极坐标系的定义 取极点：平面内取一个定点 O； 作极轴：自极点 O 引一条射线 Ox； 定单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向) (2)点的极坐标 定义：有序数对(，)叫做点 M 的极坐标，记为 M(，)； 意义：|OM|，即极点 O 与点 M 的距离(0)xOM，即以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 一般地，没有特殊说明时，我们认为 0， 可取任意实数 (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(，)与，2kkZ表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为(0，)(R)，和 直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定 0，02，那么除极点外，平面内 的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的 (4)极坐标与直角坐标的互化 点 P 的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)，则互相转化公式为 xcos ， ysin 2x2y2， tan y xx0 3 3、圆的极坐圆的极坐标方程标方程 圆心位置 极坐标方程 图形 圆心在极点(0,0) r(0<2) 圆心在点(r,0) 2rcos 2< 2 圆心在点 r， 2 2rsin(0<) 圆心在点(r，) 2rcos 2< 3 2 圆心在点 r，3 2 2rsin(<0) 圆心在点 M(0，0),半径为 r 220cos(0)20r20. 2 4 4、直线的极坐标方程、直线的极坐标方程(R)(R) 直线位置 极坐标方程 图形 过极点，倾斜角为 (1)(R)或 (R) (2)(0)和 (0) 过点(a,0)，且与极轴垂直 cosa 2<< 2 过点 a， 2 ，且与极轴平行 sina(0<<) 经过点 M(0，0) sin()0sin(0). 5 5、参数方程参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数： xft， ygt， 并且对于 t 的每一个允许值， 由方程组 xft， ygt 所确定的点 M(x， y)都在这条曲线上， 那么方程 xft， ygt 就叫做这条曲线的参数方程参数方程，变数 t 叫做参变数参变数，简称参数参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关 系的方程叫做普通方程普通方程 6 6、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程 (1)圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为 xarcos， ybrsin ( 为参数). (2)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的参数方程为 xacos， ybsin ( 为参数). (3)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的参数方程为 x a cos， ybtan ( 为参数). (4)抛物线 y22px(p0)的参数方程为 x2pt2， y2pt (t 为参数) 7 7、直线的参数方程直线的参数方程 过点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 xx0tcos， yy0tsin (t 为参数)，其中 t 表示直线上以 定点 M0为起点，任意一点 M(x，y)为终点的有向线段M0M 的数量。 由 为直线的倾斜角知，当 0<0. 参数 t 的几何意义：参数 t 的绝对值表示 t 对应的点 M 到 M0的距离 当 M0M 与 e(直线的单位方向向量)同向时，t 取正数； 当 M0M 与 e 反向时，t 取负数，当 M 与 M 0重合时，t0. 重要公式： 设 A， B 是直线上任意两点， 它们对应的参数分别为 tA， tB， 则|AB|tBtA|tBtA24tA tB. 3 【典例讲解】【典例讲解】 1 1、平面直角坐标系下图形的变换平面直角坐标系下图形的变换 【例【例 1 1】(1)在同一平面直角坐标系中，直线 2xy4 变成 xy2 的伸缩变换是( C ) A xx， y2y B x1 2x， yy C xx， y1 2y D x1 2x， y4y (2)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 ： x3x， 2yy. 点 A 1 3，2 经过 变换所得的点 A的坐标 是 (3)若函数 yf(x)的图象在伸缩变换 ： x2x， y3y 的作用下得到曲线的方程为 y3sin x 6 ，则函数 yf(x)的最小正周期为 解析 (1)设其伸缩变换为 ： xx (0)， yy (0)， 则 xy2，2x2y4，于是 22， 21， 解得 1， 1 2. 所以 ： xx， y1 2y. 故选 C 解析 (2)设 A(x，y)，由伸缩变换 ： x3x， 2yy， 得到 x3x， y1 2y， 由于点 A 的坐标为 1 3，2 ， 于是 x3 1 31，y 1 2 (2)1，A(1，1)为所求 解析(3)由题意，把变换公式代入曲线 y3sin x 6 得 3y3sin 2x 6 ， 整理得 ysin 2x 6 ，故 f(x)sin 2x 6 .所以 yf(x)的最小正周期为2 2 . 【名师点拨】【名师点拨】 伸缩变换公式应用时的两个注意点伸缩变换公式应用时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点 P 的坐的坐 标标(x，y)与变换后的点与变换后的点 P的坐标的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式，再利用伸缩变换公式 Xax a0 ， Yby b0 建立联系建立联系 (2)已知变换后的曲线方程已知变换后的曲线方程 f(x，y)0，一般都要改写为方程，一般都要改写为方程 f(X，Y)0，再利用换元法确定伸缩变换公式，再利用换元法确定伸缩变换公式 【练习】【练习】(1)直线 l：y6x 经过 ： x3x， 2yy， 变换后所得到的直线 l的方程为 (2)已知平面直角坐标系中点 A(2，4)经过 变换后得 A的坐标为 1 2，2 ，则伸缩变换 为_ 解析 (1)设直线 l上任意一点 P(x，y)，由上述可知，将 x1 3x， y2y 代入 y6x 得 2y6 1 3x ， yx，即 yx 为所求 4 解析：(2)设伸缩变换 ： xx0， yy0， 则有 1 22， 24， 解得 1 4， 1 2. ： x1 4x， y1 2y. 答案： x1 4x， y1 2y 2 2、极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化 【例【例 2 2.1.1】将直角坐标方程与极坐标方程互化 (1)y24x； (2)y2x22x10； (3) 3(R); (4)cos 2 21； (5)2cos24; (6) 1 2cos. 【解析】 (1)将 xcos，ysin 代入 y24x，得(sin)24cos. 化简得 sin24cos. (2)将 xcos，ysin 代入 y2x22x10，得(sin)2(cos)22cos10， 化简得 22cos10. (3)当 x0 时，由于 tany x，故 tan 3 y x 3， 化简得 y 3x(x0)； 当 x0 时，y0.显然(0，0)在 y 3x 上，故 3(R)的直角坐标方程为 y 3x. (4)因为 cos2 21，所以 1cos 2 1，而 cos2，所以 x2y2x2. 化简得 y24(x1) (5)因为 2cos24，所以 2cos22sin24，即 x2y24. (6)因为 1 2cos，所以 2cos1，因此 2 x 2y2x1， 化简得 3x24y22x10. 【例【例 2 2.2.2】圆心 C 的极坐标为(2， 4)，且圆 C 经过极点 (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)求过圆心 C 和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程 【解析】 (1)圆心 C 的直角坐标为( 2， 2)，则设圆 C 的直角坐标方程为(x 2)2(y 2)2r2， 依题意可知 r2(0 2)2(0 2)24， 故圆 C 的直角坐标方程为(x 2)2(y 2)24.即 x2y22 2(xy)0， 化为极坐标方程为 22 2(sincos)0，即 2 2(sincos) (2)在圆 C 的直角坐标方程 x2y22 2(xy)0 中， 令 y0，得 x22 2x0，解得 x0 或 2 2.于是得到圆 C 与 x 轴的交点坐标(0，0)，(2 2，0)， 由于直线过圆心 C( 2， 2)和点(2 2，0)，则该直线的直角坐标方程为 y0 20 22 2(x2 2)， 即 xy2 20.化为极坐标方程得 cossin2 20. 【答案】 (1)2 2(sincos) (2)cossin2 20 5 【练习练习】(2017 邯郸一中模拟)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos 3 1(02)，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点 (1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 【解析】 (1)由 cos( 3 )1，得 (1 2cos 3 2 sin)1. 从而 C 的直角坐标方程为1 2x 3 2 y1，即 x 3y20. 当 0 时，2，所以 M(2，0)； 当 2 时，2 3 3 ，所以 N(2 3 3 ， 2 ) (2)M 点的直角坐标为(2，0)N 点的直角坐标为(0，2 3 3 ) 所以 P 点的直角坐标为(1， 3 3 )则 P 点的极坐标为(2 3 3 ， 6 )， 所以直线 OP 的极坐标方程为 6 (R) 【答案】 (1)x 3y20，M(2，0)，N(2 3 3 ， 2 ) (2) 6 (R) 3 3、简单曲线的极坐标方程及应用简单曲线的极坐标方程及应用 【例例 3 3. .1 1】(2019 银川模拟)已知曲线 C 的参数方程为 x2 5cos， y1 5sin ( 为参数)，以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)设 l1： 6，l2： 3，若 l1，l2 与曲线 C 相交于异于原点的两点 A，B，求AOB 的面积 解析 (1)曲线 C 的参数方程为 x2 5cos， y1 5sin ( 为参数)， 曲线 C 的普通方程为(x2)2(y1)25. 将 xcos， ysin 代入并化简得 4cos2sin，曲线 C 的极坐标方程为 4cos2sin. (2)在极坐标系中，曲线 C：4cos2sin， 由 6， 4cos2sin， 得|OA|2 31. 同理可得|OB|2 3. 又AOB 6， SAOB1 2|OA| |OB|sinAOB 85 3 4 . AOB 的面积为85 3 4 . 6 【例例 3 3. .2 2】(2019 济南市模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x 3cos， y1 3sin ( 为参数)， 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 6 2 3. (1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)射线 OP 的极坐标方程为 6(0)，若射线 OP 与曲线 C 的交点为 A，与直线 l 的交点为 B，求线 段 AB 的长. 解 (1)由 x 3cos， y1 3sin， 可得 x 3cos， y1 3sin， 所以 x2(y1)23cos23sin23， 所以曲线 C 的普通方程为 x2(y1)23。 由 sin 6 2 3，可得 3 2 sin1 2cos 2 3，所以 3 2 sin1 2cos2 30， 所以直线 l 的直角坐标方程为 x 3y4 30。 (2)解法一：曲线 C 的方程可化为 x2y22y20，所以曲线 C 的极坐标方程为 22sin20。 由题意设 A 1， 6 ，B 2， 6 ， 将 6代入 22sin20，可得 220，所以 2 或 1(舍去)，即 12， 将 6代入 sin 6 2 3，可得 4，即 24，所以|AB|12|2。 解法二：因为射线 OP 的极坐标方程为 6(0)，所以射线 OP 的直角坐标方程为 y 3 3 x(x0)， 由 x2y123， y 3 3 xx0， 解得 A( 3，1)， 由 x 3y4 30， y 3 3 xx0， 解得 B(2 3，2)， 所以|AB|2 3 322122。 【例【例 3.3】(2018 广东深圳一模)已知曲线 C1的直角坐标方程为x 2 4 y21，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系P 是曲线 C1上一点，xOP(0)，将点 P 绕点 O 逆时针旋转角 后得到 点 Q，OM 2OQ ，点 M 的轨迹是曲线 C2. (1)求曲线 C2的极坐标方程； (2)求|OM|的取值范围 【解析】 (1)曲线 C1的极坐标方程为 2cos2 4 2sin21，即cos 2 4 sin2 1 2. 在极坐标系中，设 M(，)，P(1，)，则由题意知，1 2， 2. 因为点 P 在曲线 C1上，所以cos 2 4 sin2 1 12. 7 由得曲线 C2的极坐标方程为 1 2 cos2 2 16 sin2 2 4 . (2)由(1)得 1 |OM|2 1 2 1 16(13sin 2 2)，因为 1 |OM|2的取值范围是 1 16， 1 4，所以|OM|的取值范围是2，4 【答案】 (1) 1 2 cos2 2 16 sin2 2 4 (2)2，4 【例【例 3.4】在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 M 的参数方程为 x1cos， y1sin ( 为参数)，l1，l2为过点 O 的两条直线，l1交 M 于 A，B 两点，l2交 M 于 C，D 两点，且 l1的倾斜角为 ，AOC 6. (1)求 l1和 M 的极坐标方程； (2)当 (0， 6时，求点 O 到 A，B，C，D 四点的距离之和的最大值 解析 (1)依题意，直线 l1的极坐标方程为 (R) 由 x1cos， y1sin 消去 ，得(x1)2(y1)21. 将 xcos，ysin 代入上式，得 22cos2sin10. 故 M 的极坐标方程为 22cos2sin10. (2)依题意可设 A(1，)，B(2，)，C(3， 6)，D(4， 6)，且 1，2，3，4均为正数 将 代入 22cos2sin10，得 22(cossin)10， 所以 122(cossin)， 同理可得，342cos( 6)sin( 6)， 所以点 O 到 A，B，C，D 四点的距离之和为 12342(cossin)2cos( 6)sin( 6) (1 3)sin(3 3)cos2(1 3)sin( 3) 因为 (0， 6，所以当 sin( 3)1，即 6时，1234 取得最大值 22 3. 所以点 O 到 A，B，C，D 四点距离之和的最大值为 22 3. 【练习【练习 1 1】 (2019 启东模拟)在直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： x2cos， y2sin ( 为参数)，点 P 在直线 l：xy40 上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 (1)求圆 C 和直线 l 的极坐标方程； (2)射线 OP 交圆 C 于点 R，点 Q 在射线 OP 上，且满足|OP|2|OR| |OQ|，求点 Q 的轨迹的极坐标方程 解析 (1)圆 C： x2cos， y2sin ( 为参数)的直角坐标方程为 x2y24， 圆 C 的极坐标方程为 2，直线 l 的极坐标方程 4 sincos. (2)设点 P，Q，R 的极坐标分别为(1，)，(，)，(2，)， 8 1 4 sincos，22， 又|OP|2|OR| |OQ|，即 21 2， 2 1 2 16 sincos2 1 2， 8 1sin2.点 Q 的轨迹的极坐标方程为 8 1sin2. 【练习【练习 2 2】(2019 成都市第二次诊断性检测)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 xtcos， ytsin (t 为参数， 为倾斜角)，曲线 C 的参数方程为 x42cos， y2sin ( 为参数，0，)。以坐标原点 O 为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的极坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 恰有一个公共点 P，求点 P 的极坐标. 解 (1)由曲线 C 的参数方程 x42cos， y2sin， 得(x4)2y24。 因为 0，所以曲线 C 的普通方程为(x4)2y24(y0)。 因为直线 l 的参数方程为 xtcos， ytsin (t 为参数， 为倾斜角)， 所以直线 l 的倾斜角为 ，且过原点 O(极点)。所以直线 l 的极坐标方程为 ，R。 (2)由(1)可知，曲线 C 为半圆弧。 若直线 l 与曲线 C 恰有一个公共点 P，则直线 l 与半圆弧相切。 设 P(，)(0)。由题意，得 sin2 4 1 2，故 6。 而 22242，所以 2 3。所以点 P 的极坐标为 2 3， 6 。 【练习【练习 3 3】(2019 安徽示范高中)在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1：x0 和圆 C：(x1)2(y1 2)21， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求直线 l1和圆 C 的极坐标方程； (2)若直线 l2的极坐标方程为 4(R)， 设直线 l1， l2 与圆 C 的公共点分别为 A， B， 求OAB 的面积 解 (1)xcos ，ysin ， 直线 l1的极坐标方程为 cos 0，即 2(R)， 圆 C 的极坐标方程为 22cos 2(1 2)sin 32 20. (2)设 A 2，1 ，B 4，2 ，将 2代入(1)中圆 C 的极坐标方程， 得 22(1 2)32 20，解得 11 2. 将 4代入(1)中圆 C 的极坐标方程，得 22(1 2)32 20，解得 21 2. 故OAB 的面积为1 2(1 2) 2sin 41 3 2 4 . 9 增分方略 极坐标方程与普通方程的互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘以 或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有 cos ，sin ，2的形式， 然后利用公式代入化简得到普通方程 (2)巧借两角和差公式，转化 sin( )或 cos( )的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程 (3)将直角坐标方程中的 x 转化为 cos ，将 y 换成 sin ，即可得到其极坐标方程 4 4、参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化 【例例 4 4.1.1】将下列参数方程化为普通方程 (1) x 3k 1k2， y 6k2 1k2 (k 为参数)； (2) x1sin 2， ysin cos ( 为参数) 解析 (1)两式相除，得 k y 2x，将其代入 x 3k 1k2，得 x 3 y 2x 1 y 2x 2， 化简得所求的普通方程是 4x2y26y0(y6) (2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)， 得 y22x.又 x1sin 20,2， 故所求的普通方程为 y22x，x0,2 【例例 4 4.2.2】(2019 宁夏模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x 5cos1 y 5sin2 ( 为参数)，以坐标 原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos( 4) 3 2 2 . (1)求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程； (2)设 M 为曲线 C 上的动点，求点 M 到直线 l 的距离的最大值 解析 (1)曲线 C 的普通方程为(x1)2(y2)25. 因为 cos( 4) 3 2 2 .所以 2 2 (cossin)3 2 2 ， 所以直线 l 的直角坐标方程为 xy30. (2)设 M( 5cos1， 5sin2)，则点 M 到直线 l 的距离 d| 5cos 5sin6| 2 | 10cos 46| 2 . 所以 dmax3 2 5. 【名师点拨名师点拨】 将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程的方法 (1)(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法 有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式 消参如消参如 sinsin 2 2 coscos 2 2 1 1 等等 (2)(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解 【练习练习 1 1】把下列参数方程化为普通方程 10 (1) x t， y2 1t (t 为参数)； (2) xsin， ycos2 ( 为参数，0，2) 【解析】 (1)x2t，y 2 4 1t1x2，x2y 2 4 1，而 t0，01t1，得 0y2. (2)sin2cos21，x2y1，即 y1x2. 又|sin|1， 其普通方程为 y1x2(|x|1) 【答案】 (1)x2y 2 4 1(0 x1，0y2) (2)y1x2(|x|1) 【练习【练习 2 2】(2017 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x3cos， ysin ( 为参数)，直线 l 的 参数方程为 xa4t， y1t (t 为参数) (1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. 解析 (1)曲线 C 的普通方程为x 2 9y 21. 当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30. 由 x4y30， x2 9y 21， 解得 x3， y0 或 x21 25， y24 25. 从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)，(21 25， 24 25) (2)直线 l 的普通方程为 x4ya40， 故 C 上的点(3cos， sin)到 l 的距离为 d|3cos4sina4| 17 . 当 a4 时，d 的最大值为a9 17 .由题设得a9 17 17，所以 a8； 当 a<4 时，d 的最大值为a1 17 .由题设得a1 17 17，所以 a16. 综上，a8 或 a16. 【练习【练习 3】 已知曲线 C：4x 2 9 y 2 161，直线 l： x3t， y52t (t 为参数)。 (1)写出曲线 C 的参数方程和直线 l 的普通方程； (2)设曲线 C 上任意一点 P 到直线 l 的距离为 d，求 d 的最大值与最小值。 解 (1)曲线 C 的参数方程为 x3 2cos， y4sin ( 为参数)，直线 l 的普通方程为 2xy110。 (2)可设点 P 3 2cos，4sin ，则点 P 到直线 l 的距离 d 5 5 |3cos4sin11| 5 5 |5sin()11|，其 中 为锐角，且 tan3 4。 则当 sin()1 时，d 取得最大值，最大值为16 5 5 ； 当 sin()1 时，d 取得最小值，最小值为6 5 5 。 11 5 5、参数方程的应用参数方程的应用 【例【例 5.15.1】(2019 湖南五市十校联考)在直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 x3tcos ， ytsin (t 为参数)，直线 l 与曲线 C： x 1 cos ， ytan ( 为参数)相交于不同的两点 A，B. (1)若 3，求线段 AB 的中点的直角坐标； (2)若直线 l 的斜率为 2，且过已知点 P(3,0)，求|PA| |PB|的值 解析 (1)由曲线 C： x 1 cos ， ytan ( 为参数)，可得曲线 C 的普通方程是 x2y21. 当 3时，直线 l 的参数方程为 x31 2t， y 3 2 t (t 为参数)，代入曲线 C 的普通方程，得 t26t160， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，可得 t1t26，所以线段 AB 的中点对应的 tt1t2 2 3， 故线段 AB 的中点的直角坐标为 9 2， 3 3 2 . (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，化简得(cos2sin2)t26tcos 80， 则|PA| |PB|t1t2| 8 cos2sin2 81tan2 1tan2 ，由已知得 tan 2，故|PA| |PB|40 3 . 增分方略增分方略 1直线的参数方程的应用直线的参数方程的应用 直线的标准参数方程主要用来解决过直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题它可以避免求定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题它可以避免求 交点时解方程组的繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义交点时解方程组的繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义 2结论要记结论要记 根据直线的参数方程的标准式中根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论：的几何意义，有如下常用结论： 过定点过定点 M0的直线与圆锥曲线相交，交点为的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对应的参数分别为，所对应的参数分别为 t1，t2. (1)弦长弦长 l|t1t2|； (2)弦弦 M1M2的中点的中点t1t20； (3)|M0M1|M0M2|t1t2|. 12 【例例 5.25.2】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x2 3 5t， y24 5t (t 为参数)，它与曲线 C：(y2)2x21 交于 A，B 两点 (1)求|AB|的长； (2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为(2 2，3 4 )，求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 【解析】 (1)将直线 l 的参数方程 x2 3 5t， y24 5t (t 为参数)，代入(y2)2x21，得 7 25t 212 5 t50. t1t260 7 ，t1t2125 7 .|AB|t1t2|（t1t2）24t1t210 7 71. (2)P 点直角坐标为(2，2)， 线段 AB 中点对应的参数值为t1t2 2 ， 点 P 到线段 AB 中点 M 的距离为|t1t2 2 |30 7 . 【答案】 (1)10 71 7 (2)30 7 状元笔记状元笔记 直线的参数方程在交点问题中的应用直线的参数方程在交点问题中的应用 已知直线已知直线 l 经过点经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为倾斜角为 ，点点 M(x，y)为为 l 上任意一点上任意一点，则直线则直线 l 的参数方程的参数方程 xx0tcos， yy0tsin (t 为参数为参数) (1)若若 M1，M2是直线是直线 l 上的两个点上的两个点，对应的参数分别为对应的参数分别为 t1，t2， 则则|M0M1 |M0M2 |t1t2|，|M1M2 |t2t1| （t2t1）24t1t2. (2)若线段若线段 M1M2的中点为的中点为 M3，点点 M1，M2，M3对应的参数分别为对应的参数分别为 t1，t2，t3，则则 t3t1 t2 2 . (3)若直线若直线 l 上的线段上的线段 M1M2的中点为的中点为 M0(x0，y0)，则则 t1t20，t1t20，得 2 34<a0， 设方程 t2cos24tsin40 的两个根为 t1，t2，则 t1t24sin cos2，t1t2 4 cos2， |AB|t1t2|t1t224t1t2 4 cos24，当且仅当 0 时，取等号 故当 0 时，|AB|取得最小值 4. 【练习【练习 2】(1)已知直线 l 过点 P(3，2)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点求|PA| |PB|的值为最 小时的直线 l 的方程 (2)(2018 福建八校模拟)已知在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程是 x1t， y2t (t 为参数)， 又曲线 C 方程为 x2y24x4y0， 设点 P 的直角坐标为(1， 2)， 直线 l 与曲线 C 的交点为 A， B， 试求|AB|及|PA| |PB| 的值 【解析】(1)设直线的倾斜角为 ，显然 90<<180，则它的方程为 x3tcos， y2tsin (t 为参数) 由 A，B 是坐标轴上的点知 yA0，xB0， 02tsin，即|PA|t| 2 sin，03tcos，即|PB|t| 3 cos. 故|PA| |PB| 2 sin ( 3 cos) 12 sin2. 90<<180，当 2270 ，即 135 时，|PA| |PB|有最小值 直线方程为 x3 2 2 t， y2 2 2 t (t 为参数)，化为普通方程即 xy50. 【答案】 xy50 14 【解析】(2)直线 l 的参数方程可化为 x1 2 2 t， y2 2 2 t (t是参数)， 把直线 l 的参数方程代入 x2y24x4y0 得，t2 2t70. 设 A，B 对应的参数分别为 t1t2 2，t1t27， 点 P(1，2)显然在直线 l 上，故|AB|t1t2|（t1t2）24t1t2 30， 故|PA| |PB|t1t2|7. 【答案】 30 7 6 6、极坐标方程与参数方程的综合极坐标方程与参数方程的综合 【例【例 6 6.1.1】 (2019 安徽模拟)已知直线 l 的参数方程为 x4 2 2 t， y 2 2 t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴 的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4cos，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点 (1)求圆 C 的直角坐标方程及弦 AB 的长； (2)动点 P 在圆 C 上(不与 A，B 重合)，试求ABP 的面积的最大值 解析 (1)由 4cos 得 24cos， 所以 x2y24x0，所以圆 C 的直角坐标方程为(x2)2y24. 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2. 将直线 l 的参数方程代入圆 C：(x2)2y24，并整理得 t22 2t0， 解得 t10，t22 2. 所以直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 的长为|t1t2|2 2. (2)由题意得，直线 l 的普通方程为 xy40. 圆 C 的参数方程为 x22cos， y2sin ( 为参数)， 可设圆 C 上的动点 P(22cos，2sin)，则点 P 到直线 l 的距离 d|22cos2sin4| 2 2cos 4 2 ， 当 cos( 4)1 时，d 取得了最大值，且 d 的最大值为 2 2. 所以 SABP1 22 2(2 2)22 2， 即ABP 的面积的最大值为 22 2. 名师点拨名师点拨 极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略 (1)(1)求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标方程，然后求解求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标方程，然后求解 (2)(2)判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断 (3)(3)求参数方程求参数方程与极坐标综合的问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问与极坐标综合的问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问 题题 15 【例例 6 6.2.2】(2019 安庆二模)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且 在两坐标系中长度单位相同 已知曲线C： sin22acos (a0)， 过点 P(1,2 3)的直线 l： x11 2t， y2 3 3 2 t (t 为参数)与曲线 C 相交于 M，N 两点 (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数 a 的值 解 (1)把 xcos ， ysin 代入 sin2 2acos (a0)得 y22ax(a0) 由 x11 2t， y2 3 3 2 t (t 为参数)，消去 t 得 3xy 30. 所以曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是 y22ax(a0)和 3xy 30. (2)将 x11 2t， y2 3 3 2 t (t 为参数)代入 y22ax(a0)，整理得 3t2(244a)t488a0. 由题意知 0.设 t1，t2是该方程的两根，则 t1t2244a 3 ，t1t2488a 3 . 不妨设|PM|t1|，则|PN|t2|，|MN|t1t2|. 因为|MN|2|PM| |PN|，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t2|t1t2|. 即244a 2 9 10244a 3 ，解得 a3 2. 增分方略