2022年高一必修一指数函数知识点及习题 .pdf

读教材 填要点 1指数函数的定义函数 yax(a0 且 a 1)叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R2指数函数yax(a0，a1，xR)的图像和性质(1)指数函数yax(a 0，a 1)的图像和性质，如下表所示.yaxa10a1 图像性质定义域R值域(0，)定点恒过(0，1)点，即 x0 时，y1 函数值的变化x0 时，y 1；x0 时，0y1 x0时，0y1；x0 时，y1 单调性是 R 上的增函数是 R 上的减函数(2)函数 yax与函数 y(1a)x(a0 且 a 1)图像关于 y 轴对称小问题 大思维 1对于指数函数yax，为什么要规定底数a0 且 a1?提示：如果 a0，当x0，ax恒等于 0；当x 0时，ax无意义.如果 a0，如 y(4)x，当 x14、12等时，在实数范围内函数值不存在如果a1，y1x 1，是一个常量，对它就没有研究的必要为了避免上述各种情况，所以规定a0 且a 1.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -2在同一直角坐标系中画出y3x，y2x，y(13)x，y(12)x的图像，指出它们的相对位置与底数大小有何关系？提示：借助图像可得如下结论：(1)在 y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小(2)在 y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小(3)无论在 y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大3函数y3x的图像关于y 轴对称图像对应的函数是什么？与偶函数图像对称有什么区别？提示：是 y3x(13)x；这是两个函数图像关于y 轴对称，而偶函数是一个函数的图像的两部分关于y 轴对称研一题 例 1画出函数 y(12)|x|的图像，并根据图像写出函数的值域及单调区间自主解答 y(12)|x|（12）x，x 0，2x，x0，在平面直角坐标系内画出函数y(12)x(x 0)及 y2x(x0)的图像这两段图像合起来就是所求函数的图像，如图由图像可知所求函数的值域是(0，1，递增区间是(，0，递减区间是 0，)悟一法 与指数函数有关的指数型函数的图像，一般是根据其解析式的结构特征，利用函数图像的平移、对称或翻折变换得其图像，然后利用图像直观地研究其性质通一类 1已知函数y(13)|x1|(1)试利用指数函数的图像作出该函数的图像；(2)由图像指出该函数的单调区间；(3)由图像指出当x 取何值时，函数有最值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -解：(1)y(13)|x1|（13）x1，x 1，3x1，x 1.其图像由两部分组成：y(13)x(x 0)向左平移1个单位y(13)x1(x 1)；y3x(x0)向左平移 1个单位y3x1(x 1)图像如图：(2)由图像知函数在(，1上是增函数，在(1，)上是减函数(3)由图像知当x 1 时，函数有最大值1，无最小值.研一题 例 2试比较下列各组数的大小：(1)1.12.5与 1.13；(2)0.80.1与 0.80.2(3)a0.3与 a0.4(a0 且 a 1)；(4)0.80.3与 4.90.1.自主解答(1)考查指数函数y1.1x，由于底数1.11，所以函数y1.1x在 R 上是增函数2.53，1.12.51.13；(2)考查函数y0.8x，由于底数0.81，所以函数 y0.8x在 R 上是减函数 0.1 0.2，0.80.10.80.2；(3)当 a1 时，函数yax在 R 上是增函数0.30.4，a0.3a0.4.当 0a1 时，函数yax在 R 上是减函数，a0.3a0.4；(4)0.80.30.801，4.90.14.901，0.80.3 4.90.1.悟一法 对于指数幂的大小比较，一般规律为：(1)同底数指数幂大小的比较：构造指数函数，利用单调性比较大小(2)同指数不同底数的指数幂：在同一坐标中作出不同底数的函数的图像，利用图像比名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -较大小(3)既不同底数，又不同指数指数幂：利用中间量法，常借助中间量0 或 1 进行比较，如本例(4)通一类 2比较下列各组数的大小(1)0.80.5与(54)0.4；(2)40.9，80.48，(12)1.5；(3)0.62与(43)32；(4)0.30.4与 0.40.3.解：(1)(54)0.4(45)0.40.80.4，函数 y0.8x在定义域 R 上是减函数，又0.50.4，0.80.50.80.4，即 0.80.521.521.44，即 40.9(12)1.580.48；(3)0.620.601，(43)23(43)32；(4)当指数相同且大于0 时，底数越大图像越高，0.30.30.40.3，又 0.30.40.30.3，0.30.40，且 a1)的图像可能是()名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -解析：法一(图像变换法)当 0a0 且 a1)必过点(1,0)，故只有C 项符合答案：C 3已知(1)a(1)b，则 a、b 的大小关系是()A1ab0BabCabD 1ba0 解析：考查指数函数y(1)x，底数11，y(1)x在 R 上是减函数(1)a(1)b，ab.答案：B 4函数 y ax在0，1上的最大值与最小值之和为3，则 a_.解析：指数函数是单调函数，函数 yax在区间 0，1端点上取得最值a0a3，得 a2.答案：2 5若 a0，则函数y(1a)x1 的图像必过点 _解析：a0，a0，1a 1，y(1a)x为指数函数，过点(0，1)，将 y(1a)x的图像向下平移1 个单位，得到函数 y(1a)x1 的图像，过定点(0，0)答案：(0，0)6设 a0，f(x)exaaex在 R 上满足 f(x)f(x)，(1)求 a 的值；(2)证明：f(x)在(0，)上是增函数解：依题意，对一切xR 有 f(x)f(x)，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -即exaaex1aexaex.所以(a1a)(ex1ex)0 对一切 xR 成立由此可得 a1a0，即 a21.又因为 a0，所以 a1；(2)证明：设0 x1 x2，则 f(x1)f(x2)ex1ex21ex11ex2(ex2 ex1)(1ex1x21)ex1(ex2x11)1ex2 x1ex2x1.由 x10，x20，x2 x1 0，得 x1x20，ex2x110，1ex2x10，f(x1)f(x2)0，即 f(x)在(0，)上是增函数一、选择题1下列函数中，值域是(0，)的函数是()Ay15x1By(13)1xCy（12）x1 D y12x解析：由 y(13)1x，知：xR，1xR，y(13)1x0.答案：B 2指数函数yb ax在b，2上的最大值与最小值的和为6，则 a()A2 B 3 C2 或 3 D.12解析：y b ax为指数函数，b1，则 b，21，2由于 yax为单调函数，函数在区间 1，2的端点处取得最值，aa26，解得 a2 或 a 3(舍去)答案：A 3已知 f(x)f（x2），x0，2x，x0，则 f(8)等于()A4 B0 C.14D 2 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -解析：f(8)f(6)f(4)f(2)f(0)f(2)2214.答案：C 4定义运算a ba（a b），b（ab），则函数 f(x)1 2x的图像是()解析：当 x0 时，2x1，f(x)2x；当 x 0 时，2x 1，f(x)1.答案：A 二、填空题5函数 y82x的定义域是 _解析：82x 0，即 2x 23，又 y2x在 R 上为增函数 x 3 的定义域为(，3答案：(，3 6已知a0.30.2，b0.20.2，c0.20.3，d12 1.5，则 a，b，c，d 由小到大排列的顺序是 _解析：0.30.20.301，同理：0.20.21，0.20.31，121.51，考查幂函数yx0.2，可知该函数在(0，)上是增函数 0.30.20.20.2；考查指数函数y0.2x，可知该函数在R上是减函数，0.20.2 0.20.3，综上，0.20.30.20.20.30.2(12)1.5，即 cbad.答案：cbad7函数 f(x)x3 3a，x 0，ax，x0(a0，a1)是(，)上的减函数，则a 的取值范围是 _解析：当 x0 时，函数f(x)x33a 是减函数；当 x 0 时，函数f(x)ax是减函数，则0 a1；且满足033a a0，解得 a23，所以 a 的取值范围是(0，23答案：(0，23 8若 0a1，b 1，则函数 f(x)axb 的图像一定不经过第_象限解析：函数 f(x)axb 的图像可由函数yax的图像向上(b0 时)或向下(b0)时，平移|b|个单位得到，0a1，b 1，结合图像可知，f(x)axb 的图像一定不经过第一象限答案：一名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -三、解答题9已知函数ya2x2ax1(0 a1)在区间 1，1上的最大值是14，试求 a 的值解：由 ya2x2ax1(0a1)，令 tax，x1，1a t1a，yt22t1(t 1)22.对称轴为 t 1.0a11a1，当 t1a，即 x 1 时，y 取最大值ymax1a22a114，解得 a13，a15.0a1，a13.10已知函数f(x)(12x112)x3.(1)求 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的奇偶性；(3)证明 f(x)0.解：(1)由题意，2x10，即 x0，定义域为(，0)(0，)；(2)对任意 x(，0)(0，)，f(x)(12x112)(x)32x12（2x1）(x)312x2（12x）(x)3(12x112)x3f(x)，f(x)为定义域上的偶函数；(3)当 x0 时，2x1，2x10.又x3 0，f(x)0.由偶函数的图像关于y 轴对称，知x0 时，f(x)0 也成立故对于x(，0)(0，)，恒有 f(x)0.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -