2022年小升初行程问题的分类解析 .pdf

小升初 行程问题的分类解析行程的分类解析行程问题从运动形式上分可以分为五大类：五大题型、四大方法相互交织，就构成了整个小学行程问题的知识架构。这其中的交织与综合不仅仅是题型与方法之间的交织，也有题型之间的重叠，比如环形问题就可以有环形路线上的流水行船，而火车问题也可以有多辆火车之间的错车问题至于解题方法的重叠那更是比比皆是，一道稍有分量的行程问题就需要运用至少两种解题方法诸如此类的综合，既是行程问题变化多端的原因，也是行程问题难学的原因。想要将上述题型与方法融会贯通、运用自如，首先得分门别类的把各类问题学好，并穿插以各类解题方法的训练，然后在此基础之上再进行综合。下面我们就以五大题型为主线，以典型例题的形式对行程问题的整个知识架构做一个系统性梳理，并在例题的讲解中穿插解题方法的总结，让大家对小学阶段行程问题的题型与方法有一个总体把握。每道例题的关键思路都已给出，大家顺着这些思路可以自行求得答案。每道例题的标准答案都附在手册的最后，大家可以对照参考。1.直线上的相遇与追及名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -上述两个公式大家都很熟悉，对于相遇、追及问题的理解，就是从它们开始的。一般情况下，我们会把速度和、路程和与相遇问题联系在一起，而把速度差、路程差与追及问题联系在一起。这样的理解过于表面化，真正体现这两个公式本质的字眼儿是和 与差：只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。例题 1.甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56 千米，乙每小时行 48 千米，两车在离两地中点32 千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米？（某重点中学2007 年小升初考题）思路解析 本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系。那路程差的关系究竟藏在哪个条件中呢？就在条件两车在离两地中点32 千米处相遇 这句话中。大家不妨自己动手试着做一做。除了像刚才例题1 那样一次性的追及与相遇过程外，还有很多相遇与追及问题是在往返过程中多次发生的。下面就是一道这样的例题：例题 2.两名游泳运动员在长为30 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1 米，乙的速度是每秒游0.6 米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5 分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？（某重点中学2006 年小升初考题）思路解析相遇次数与两人的路程和有关如下图所示名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -直线上的相遇、追及是行程问题中最基本的两类问题，这两类问题的解决可以说是绝大多数行程问题解决的基石只要是两个物体在同时运动，它们之间的关系一般都可以表示为相遇或追及而众多丰富多彩、妙趣横生的行程过程，均是以此为蓝本而展开的 2.火车过人、过桥与错车问题在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是路程。因为此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度相关。就拿火车过桥来说，如果题目考察的是火车过桥的整个过程，那么就应该从车头上桥 开始到车尾下桥 结束，对应的路程就等于车长桥长；如果题目考察的是火车停留在桥上的过程，那就应该从 车尾上桥 到 车头下桥 结束。对应的路程就应该是 火车车长桥长.具体如下所示：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -例题 3.一列客车通过250 米长的隧道用25 秒，通过210 米长的隧道用23 秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320 米，速度每秒17 米。求列车与货车从相遇到离开所用的时间。（仁华学校2005 年五年级上学期期末考试试题）思路解析本题包含了两个基本类型的火车问题，一是火车过隧道问题，二是火车错车问题。而这两者之间最关键的是第一个过程的分析，分析方法就是前面所说的四大方法中的第三点利用和差倍分关系进行对比分析：250 米的隧道比210 米的隧道多40米，从而使得客车通过前者的时间比后者多了秒，由此即可得出客车的速度。有了客车速度，再求客车长度以及错车时间就非常容易了。大家不妨自己动手算算。当然，火车问题并非只有火车，一个有长度的队列也是这类问题的常客。下面这道题目就是一个队列问题，有兴趣的同学不妨自己动手尝试一下。在必要时，还可以借助于方程进行求解。例题 4.某解放军队伍长450 米，以每秒1.5 米的速度行进。一战士以每秒3 米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？（某重点中学2008 年小升初考题）3.多个对象间的行程问题虽然这类问题涉及的对象至少有三个，但在实际分析时不会同时分析三、四个对象，而是把这些对象两两进行对比。因此，求解这类行程问题的关键，就在于能否将某两个对象之间的关系，转化为与其它对象有关的结论。例题 5.有甲、乙、丙3 人，甲每分钟走100 米，乙每分钟走80 米，丙每分钟走75 米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6 分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？（2008 港澳数学奥林匹克公开赛试题）思路解析本题最关键的一段路程，就是甲、乙相遇之后6 分钟内，甲、乙两人的路程和。这段路程既是甲、乙的路程和，又是乙、丙的路程差。只要明白了这一路程的双重身份，就能很快求出此题。大家不妨画出图来，自己分析一下。4.环形问题与时钟问题环形问题与其它行程问题相比，最大的特点就在于周期性 与对称性.这是由环形跑道本身的特点决定的。大家再分析环形问题时，一定要留意 周期性 与 对称性 在题目中的体现。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -例题 6.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是70 分钟，如果在出发后45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？（第十六届 全国小学数学奥林匹克 竞赛初赛试题）思路解析本题从头到尾都只有时间：给的条件是时间，问的问题也是时间。像这种只给时间、求时间的问题，通常的做法就是设数。把路程或速度这两个未知量中的某一个量随便设个数，然后再进行求解。本题就可以设环形公路的全程为6300 米，接着便可求甲、乙两人的速度了。接下来的过程，大家不妨自己动手试一试。例题 7.有一座时钟现在显示10 时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？（北京市第十一届迎春杯 决赛试题）思路解析时钟问题本质上说就是一个环形问题，只要给出合适的速度、路程、时间的表示，求解过程与一般环形问题没什么两样。大家不妨自己动手做一做。5.流水行船问题流水行船问题与其它行程问题相比，特殊的地方在于速度。由于有水流的因素，船的速度有顺流、逆流的区别，因此在流水行船问题中，船的速度有三种：逆水速度、静水速度、顺水速度。在分析流水行船问题时，一定要把水流的因素考虑到位，很多题目分析的关键本身就在水流上！例题 8.甲、乙两船分别在一条河的A，B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而上。相遇时，甲乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000 米。如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1 小时 20 分，那么河水的流速为每小时多少千米？（某重点中学 2003 年小升初考题）思路解析 甲、乙两船刚出发时行驶速度相同，但一个顺流、另一个逆流，说明两船静水速度差了两倍的水速（甲慢乙快）。调头之后，甲变为逆流，乙变为顺流，此时两船行驶速度应该差几倍的水速？考虑清楚这点，你就知道如何利用甲、乙的速度差来求水速了。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -思路解析本题是一道环形跑道上的流水行船问题，是一道综合性很强的行程问题。本题的分析关键也在于速度，如果甲、乙两人的速度已知，那本题的求解就没有任何悬念了。因此，分析求解的重点就落在了甲、乙两人的速度上。大家只要注意到甲、乙的速度差恰好等于水速这一点，就不难进行分析了。大家不妨动手试试。上述 9 道例题可以说只是小升初行程问题的一个掠影，虽然每一道都是其所在类别里最为典型的例题，但稍加变化都会变出来很多新的模样。而且，题目除了会在每一类中发生变化外，还会发生类与类之间的交叉与综合，不仅在运动形式上变化多端，而且在分析方法上也是花样迭出。但是，我们需要关心的绝对不是变化，而是在千变万化中不变的东西。行程问题固然变化多端，但无论怎么变，也逃不出本文一开始提到的那 五大题型 与 四大方法 ，只是在题型上会更加综合，在题解上用到的方法会更多一些。但只要这 五大题型 和四大方法 掌握好，题目再怎么综合、方法再怎么多，也一样是小菜一碟。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -