2022年大学信号与系统习题答案 .pdf

1 1.1 信号与系统信号(signal)消息（Message）：在通信系统中，一般将语言、文字、图像或数据统称为消息。信号（Signal）：指消息的表现形式与传送载体。信息（Information）：一般指消息中赋予人们的新知识、新概念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。信号是消息的表现形式与传送载体,消息是信号的传送内容。如电信号传送 声音、图像、文字等。电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等。系统（system）系统（system）：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有稳定功能的整体。如太阳系、通信系统【-为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）,其方框如下图所示：信道发送设备接收设备受信者信息源噪声源发送端接收端消息信号信号消息】、控制系统、经济系统、生态系统等。系统可以看作是变换器、处理器。电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也可以称系统。在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络”三个名词在一般情况下可以通用。信号理论与系统理论信号理论信号分析：研究信号的基本性能，如信号的描述、性质等。信号传输：通信的目的是为了实现消息的传输。原始的光通信系统古代利用烽火传送边疆警报；声音信号的传输击鼓鸣金。利用电信号传送消息。1837 年,莫尔斯(F.B.Morse)发明电报;1876 年，贝尔(A.G.Bell)发明电话利用电磁波传送无线电信号。1901 年,马可尼(G.Marconi)成功地实现了横渡大西洋的无线电通信;全球定位系统GPS(Global Positioning System);个人通信具有美好的发展前景光纤通信带来了更加宽广的带宽。信号的传输离不开信号的交换。信号处理：对信号进行某种加工或变换。其目的是：消除信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。系统理论名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 24 页 -2 系统分析：给定系统，研究系统对于输入激励所产生的输出响应。系统综合：按照给定的需求设计（综合）系统。重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。信号与系统的描述激励输入信号响应输出信号系统名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 24 页 -3 1.2 信号的描述和分类一信号的分类信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。按实际用途划分：电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，广播信号,按所具有的时间特性划分：1确定性信号和随机信号确定性信号：对于指定的某一时刻t，可确定一相应的函数值f(t)。若干不连续点除外。随机信号：具有未可预知的不确定性。伪随机信号：貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。2周期信号和非周期信号周期信号：正弦周期信号（简谐信号）复杂周期信号（除简谐信号外的周期信号）如：sin t+sint非周期信号：准周期（频率之比值为无理数）瞬态信号(脉冲，衰减函数）:除准周期信号外一切可用时间函数描述非周期信号3连续信号和离散信号连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义（即都可以给出确定的函数值，可以有有限个间断点）。用t 表示连续时间变量。离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，其他时间没有定义。用n 表示离散时间变量。4模拟信号，抽样信号，数字信号OttfnfnOnfnO模拟信号：抽样信号:数字信号：时间和幅值均为连续的信号时间离散的，幅值连续的信号时间和幅值均为离散的信号主要讨论确定性信号。先连续，后离散；先周期，后非周期。判断信号:判断下列波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？tfOttfOt1 2435 6 7 8tfOt1 2435 678123值，只有321连续信号离散信号离散信号，数字信号tf(t)OnO1 2f(n)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 24 页 -4 5一维信号和多维信号一维信号：只由一个自变量描述的信号，如语音信号。多维信号：由多个自变量描述的信号，如图像信号。二几种典型确定性信号信号的表示:函数表达式f(t)和波形1.指数信号tKtfe)(=0 直流(常数),0 指数增长单边指数信号0e00tttft常把 1/称为指数信号的时间常数，记作,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。2.正弦信号f(t)=Ksin(t+)振幅：K周期：fT12频率：f角频率：=2 f初相：衰减正弦信号：0000sine)(tttKtft3.复指数信号(表达具有普遍意义)(sinejcosee)(ttKtKKtfttst其中 s=+j为复数，称为复频率,，均为实常数，的量纲为 1/s,的量纲为rad/s讨论振荡衰减增幅等幅衰减指数信号升指数信号直流0,00,00,00,00,00,04.抽样信号(Sampling Signal)tttsin)Sa(Ot1tf00K0OtftOttfKT22名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 24 页 -5 性质 Sa(t)=Sa(t)，偶函数1)Sa(lim1)Sa(,00tttt，即Sa(t)=0，t=n,n=1,2,3,dsin,2dsin0tttttt0)Sa(limttsinc(t)=sin(t)/(t)5.钟形脉冲函数(高斯函数)2e)(tEtf在随机信号分析中占有重要地位。欧拉公式：复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为时，此点可表示为jecossinReImj1111sinjcosej1ejje欧拉公式e 是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e 可以用计算方法定义为71828.211limennn欧拉公式与三角函数的关系由泰勒级数展开6421cos642，753sin753同样若 ej 展开，可得到753j6421!4j!3j!2j!1j1e753642432j=cos+jsin三角函数可表示为j2eesin2eecosjjjjttSa123OOttfE2eEE78.0名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 24 页 -6 1.3 信号的运算一信号的自变量的变换（波形变换）1.信号的移位f(t)f(t)将信号 f(t)沿 t 轴平移即得平移信号f(t )，为常数。0，右移(滞后)，0）先展缩：1，压缩 倍；0、a0 两种情况ata令,0)0(1d)()(faaafdttfat名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 24 页 -13)0(1d)()(1fattfta而两边相等taa令,0:t)0(1d1)(11d1)(d)()(faafaaafttfta)0(1d)()(1fattfta而证毕。冲激偶的标度变换:taaat11,taaatkkk)()(11例 1-4-1?d)()5(ttft051f例 1-4-2 已知信号 f(5-2t)的波形，请画出f(t)的波形。)3(2)25(ttf展宽一倍)5()25(tftf5)()5(左移tftf)1(4)5(5)(ttftf倒置)()(tftf)1(4)(ttfOtf(5-2t)(2)1 23Otf(5-t)(4)12 36Otf(-t)(4)1 236Otf(t)(4)1 2 36名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 24 页 -14 四.总结：R(t)，(t)，(t)之间的关系t)(tRO11t)(tO1Ot)(t)1(R(t)求积(-t)(t)导分(t)冲激函数的性质总结（1）抽样性)()0()()(tfttf，)0(d)()(ftttf（2）奇偶性(t)=(t)（3）比例性taat1)(（4）微积分性质tttd)(d)(，)(d)(tt（5）冲激偶)()(tt，0d)(tt，tttt)(d)(，)0(d)()(ftttf，)()0()()0()()(tftfttf（6）卷积性质f(t)*(t)=f(t)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 24 页 -15 1.5 信号的分解序言为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量?直流分量与交流分量?偶分量与奇分量?脉冲分量?实部分量与虚部分量?正交函数分量?利用分形理论描述信号一直流分量与交流分量)(tfEEOttt)(Atf)(DtfOO)()()(DAtftftf平均值。：信号的直流分量，即tfDTttttfTtf00d)(1)(DttfTtfttftfTttTttd)(1)(d)()(00002A2D2AD信号的平均功率=信号的直流功率+交流功率二偶分量与奇分量对任何 实信号而言：odd:oeven:e:)(:)()()()(ooeeoeoetftftftftftftftftf奇分量偶分量)()(21)(etftftf)()(21)(otftftf信号的平均功率=偶分量功率 +奇分量功率例 1-5-1 求f(t)的奇分量和偶分量名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 24 页 -16 Ot)(tfOt)(tfOt)(etfOt)(otf三脉冲分量1矩形窄脉冲序列tftfO当,t脉高：,f脉宽：,存在区间：)()(tutu此窄脉冲可表示为：)()(tutuf叠加可表示为许多窄脉冲的到从)(,tf）tutuftf()()()(）tutuf()()(0令tttututud)(d()(lim0）,dd)()()(tftf所以出现在不同时刻的，不同强度的冲激函数的和。2连续阶跃信号之和名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 24 页 -17 tf1tt1t0f11ttf1tfO01111d)(d)(d)()0()(tttuttftuftf将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。四实部分量与虚部分量瞬时值为复数的信号可分解为实虚部两部分之和。)(j)()(irtftftf共轭复函数)(j)()(ir*tftftf即)()(21)(*rtftftf,)()(21)(*itftftjf实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。五正交函数分量如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，这将是本课程讨论的主要课题。我们将在第三章中开始学习。六利用分形（fractal）理论描述信号?分形几何理论简称分形理论或分数维理论；?创始人为 B.B.Mandelbrot;?分形是“其部分与整体有形似性的体系”；?在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征，并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述，或自动生成某些具有自相似特征的信号。可浏览网站：http:/名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 24 页 -18 1.6 系统模型及其分类?描述系统的基本单元方框图?系统的定义和表示?系统的分类一信号的时域运算（基本元件）1.加法器tetetr21te1te2trte1te2tr2.乘法器tetetr21te1te2tr注意:与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。3.标量乘法器（数乘器，比例器）)()(taetrtetraa)()(taetr4.微分器ttetrd)(dtetrdd5.积分器tttetrd)()(tetr6.延时器tetrtetrtetrT例 1-6-1 请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。)(d)(d)(2d)(d3d)(d22tettetrttrttr名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 24 页 -19 解：方程左端只保留输出的最高阶导数项)(d)(d)(2d)(d3d)(d22tettetrttrttr积分n=2 次，使方程左端只剩下r(t)项ttettettrttrtrd)(d)(d)(2d)(3)(系统框图二系统的定义和表示系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。系统模型：系统物理特性的数学抽象。系统的表示：数学表达式：系统物理特性的数学抽象。系统图：形象地表示其功能。三系统的分类混合系统程离散时间系统：差分方程连续时间系统：微分方：微分方程或差分方程动态系统（记忆系统）：代数方程即时系统（非记忆系统),(:)(:zyxtt偏微分方程分布参数系统常微分方程集总参数系统时变系统非时变非线性线性非因果系统因果系统若系统在t0时刻的响应只与t=t0和tt0时刻的输入有关,否则,即为非因果系统不可逆系统可逆系统若系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应，则称此系统为可逆系统。重点研究:确定性信号作用下的集总参数线性时不变系统。)(tr32)(te名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 24 页 -20 1.7 线性时不变系统线性与非线性系统,时变系统与时不变系统,线性时不变系统的微分特性,因果系统与非因果系统一线性系统与非线性系统1.定义线性系统：指具有线性特性的系统。线性:指均匀性，叠加性。均匀性(齐次性)：tkrtketrte叠加性：)()()()()()()()(21212211trtrtetetrtetrte线性特性H)(1tetr1Hte2tr2tete2211Htrtr2211)()()()(22112211ttttrree2.判断方法先线性运算，再经系统先经系统，再线性运算1C2Ctf1tf2tfC11tfC22tfCtfCH2211HHtf1tf2tfH1tfH21C2CtfHC11tfHC22tfHCtfHC2211H若tfHCtfHCtfCtfCH22112211则系统 H.是线性系统,否则是非线性系统。注意：外加激励与系统非零状态单独处理。例 1-7-1 判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?0)(5)(10d)(dttetrttr解：分析根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。证明均匀性设信号e(t)作用于系统，响应为r(t)当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则)1(0)(5)(10d)(dttAetArttAr名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 24 页 -21 原方程两端乘A：)2(0)(5)(10d)(dttAetrttrA(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性证明叠加性假设有两个输入信号e1(t)和e2(t)分别激励系统，则由所给微分方程式分别有：)4(0510dd)3(0510dd222111ttetrttrttetrttr当e1(t)+e2(t)同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有)5(0510dd212121ttetetrtrtrtrt(3)+(4)得)6(01010dd212121ttetetrtrtrtrt(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性可以证明：系统不满足均匀性，系统不具有叠加性,所以此系统为非线性系统。二时变系统与时不变系统1.定义一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。认识:电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变?从方程看:系数是否随时间而变?从输入输出关系看:时不变性)(te)(0tte)(tr)(0ttrH)(tettTOO)(trt)(0tteO0tTt0tO)(0ttr0t2.判断方法先时移，再经系统先经系统，再时移HtftfHDEtyDEtfHtfHtfty若tytfH则系统 H.是非时变系统,否则是时变系统。例 1-7-2 判断下列两个系统是否为非时变系统。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 24 页 -22 系统 1：0costtetr系统 2：0costttetr解：系统 1 作用是对输入信号作余弦运算。)()()1(00ttetet时移0)(cos)(011tttetr经过系统)(cos)()2(tete经过系统0)(cos)(0120tttetrt时移trtr1211,所以此系统为时不变系统。系统 2：0costttetr系统作用:输入信号乘cost)()()1(00ttetet时移0cos)()(021ttttetr经过系统ttetecos)()()2(经过系统0)cos()()(00220tttttetrt时移)()(2221trtr ,此系统为时变系统例 1-7-3 tftty判断系统是否为线性非时变系统。解：是否为线性系统？1C2Ctf1tf2tfC11tfC22tfCtfCt2211HHtf1tf2tft1tft21C2CtftC11tftC22ttfCttfC2211H可见,先线性运算，再经系统先经系统，再线性运算,所以此系统是线性系统。是否为时不变系统？DEtfHtfttfHtftftDEtft可见，时移、再经系统经系统、再时移，所以此系统是时变系统三线性时不变系统的微分特性线性时不变系统满足微分特性、积分特性名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 24 页 -23 系统tetr系统tteddttrdd系统ttetdttrtd利用线性证明，可推广至高阶。四.因果系统与非因果系统1.定义因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的输出（响应）不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。系统的这种特性称为因果特性。符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。2.判断方法输出不超前于输入例 1-7-4 微分方程2tetetr代表的系统是否是因果系统。解：0t，200eer现在的响应=现在的激励+以前的激励所以该系统为因果系统。微分方程2tetetr代表的系统是否是因果系统。解：0t，200eer未来的激励所以该系统为非因果系统。3.实际的物理可实现系统均为因果系统非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。4.因果信号t=0 接入系统的信号称为因果信号。表示为：)()()(tutete0)(,0tet相当于名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 24 页 -24 1.8 系统分析方法一.建立系统模型的两种方法1.输入输出描述法：?着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部变量情况；?单输入/单输出系统；?列写一元n 阶微分方程。2.状态变量分析法：?不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，如电容电压)(tvc或电感电流)(tiL的变化情况。?研究多输入/多输出系统；?列写多个一阶微分方程。二.数学模型的求解方法1.时域分析差分方程离散系统：微分方程连续系统：经典法求解卷积积分（或卷积和）法2.变换域分析?傅里叶变换FT?拉普拉斯变换LT?z变换 ZT?离散傅里叶变换DFT?离散沃尔什变换DWT 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 24 页 -