2022年奥数专题：几何五大模型 .pdf
page 1 of 11鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点如图(或D在BA的延长线上，E在AC上如图 2)，则:():()ABCADESSABACADAEEDCBAEDCBA图图【例 1】如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点，且:2:5AD AB，:4:7AE AC，16ADES平方厘米，求ABC的面积EDCBAEDCBA【解析】连接BE，:2:5(24):(54)ADEABESSADAB，:4:7(45):(75)ABEABCSSAEAC，所以:(24):(75)ADEABCSS，设8ADES份，则35ABCS份，16ADES平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的 5 倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形ADE的面积等名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -page 2 of 11于 1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】连接BE3ECAE3ABCABESSVV又5ABAD515ADEABEABCSSSVVV，1515ABCADESSVV【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲EDCBAABCDE甲乙【解析】连接AD3BE，6AE3ABBE，3ABDBDESSVV又4BDDC，2ABCABDSSVV，6ABCBDESSVV，5SS乙甲【例 2】如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5:2AB AD，:3:2AE EC，12ADES平方厘米，求ABC的面积EDCBAEDCBA【解析】连接BE，:2:5(23):(53)ADEABESSADAB:3:(32)(35):(32)5ABEABCSSAE AC，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -page 3 of 11所以:(32):5(32)6:25ADEABCSS，设6ADES份，则25ABCS份，12ADES平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面积是50平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为 AB 的中点，2AFCF，三角形 AFE(图中阴影部分)的面积为 8平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？EFDCBA【解析】连接 FB 三角形 AFB 面积是三角形 CFB 面积的 2 倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF面积的 2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 3 倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的 2 倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326（）倍因此，平行四边形的面积为8648(平方厘米)【例 4】已知DEF的面积为7平方厘米，,2,3BECE ADBD CFAF，求ABC的面积FEDCBA【解析】:():()(1 1):(23)1:6BDEABCSSBDBEBABC，:():()(13):(24)3:8CEFABCSSCECFCBCA:():()(21):(34)1:6ADFABCSSADAFABAC设24ABCS份，则4BDES份，4ADFS份，9CEFS份，244497DEFS份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS平方厘米【例 5】如图，三角形ABC的面积为 3 平方厘米，其中:2:5AB BE，:3:2BC CD，三角形BDE的面积是多少？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -page 4 of 11ABECDDCEBA【解析】由于180ABCDBE，所以可以用共角定理，设2AB份，3BC份，则5BE份，325BD份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABCBDESSABBCBEBD，设6ABCS份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.512.5平方厘米，三角形BDE的面积是12.5平方厘米【例 6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为 6 厘米，13AEAC，13CFBC三角形DEF的面积为 _平方厘米FEDCBA【解析】由题意知13AEAC、13CFBC，可得23CEAC根据”共角定理”可得，:():()12:(33)2:9CEFABCSSCFCECBAC；而66218ABCS；所以4CEFS；同理得，:2:3CDEACDSS;，183212CDES，6CDFS故412610DEFCEFDECDFCSSSS(平方厘米)【例 7】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使2CEBC；延长CA至F，使3AFAC，求三角形DEF的面积FEDCBAABCDEF【解析】(法1)本题是性质的反复使用连接AE、CD名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -page 5 of 1111ABCDBCSSVV，1ABCSV，S1DBCV同理可得其它，最后三角形DEF的面积18(法2)用共角定理在ABCV和CFEV中，ACB与FCE互补，1 11428ABCFCESAC BCSFC CEVV又1ABCSV，所以8FCESV同理可得6ADFSV，3BDESV所以186318DEFABCFCEADFBDESSSSSVVVVV【例 8】如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比HGABCDEFHGABCDEF【解析】连接AC、BD根据共角定理在ABC和BFE中，ABC与FBE互补，1 111 33ABCFBESAB BCSBE BF又1ABCS，所以3FBES同理可得8GCFS，15DHGS，8AEHS所以8815+3+236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS所以213618ABCDEFGHSS【例 9】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -page 6 of 11HGFEDCBAABCDEFGH【解析】连接BD由共角定理得:():()1:2BCDCGFSSCDCBCGCF，即2CGFCDBSS同理:1:2ABDAHESS，即2AHEABDSS所以2()2AHECGFCBDADBABCDSSSSS四边形连接AC，同理可以得到2DHGBEFABCDSSS四边形5AHECGFHDGBEFEFGHABCDABCDSSSSSSS四边形四边形四边形所以66513.2ABCDS四边形平方米【例 10】如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为 5，则四边形EFGH的面积是ABCDEFGHABCDEFGH【解析】连接AC、BD由于2BEAB，2BFBC，于是4BEFABCSS，同理4HDGADCSS于是444BEFHDGABCADCABCDSSSSS再由于3AEAB，3AHAD，于是9AEHABDSS，同理9CFGCBDSS于是999AEHCFGABDCBDABCDSSSSS那么491260EFGHBEFHDGAEHCFGABCDABCDABCDABCDABCDSSSSSSSSSS【例 11】如图，在ABC中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使12CEBC，F是AC的中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -page 7 of 11ABCDEF【解析】在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，2241 11ABCFCESAC BCSFC CE又2ABCSV，所以0.5FCESV同理可得2ADFS，3BDES所以20.5323.5DEFABCCEFDEBADFSSSSS【例 12】如图，1ABCS，5BCBD，4ACEC，DGGSSE，AFFG求FGSSVSGFEDCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况最后求得FGSS的面积为4321115432210FGSS【例 13】如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？ABCDEFGABCDEFG【解析】连接AF、EG因为218164BCFCDESS，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -page 8 of 11形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEFSV，8EFGSV，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCSV，32ABFES，24ABFSV，所以12ABGSV平方厘米【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积HGFEDCBA【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形假设正六边形的边长为为a，则AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217，那么它的面积为单位小正三角形面积的49 倍而一个正六边形是由6 个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496由于4FAa，3FBa，所以AFB与三角形DEF的面积之比为43127749同理可知BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC的面积占三角形DEF面积的1213134949，所以ABC的面积的面积为4913136496【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是BDCEA【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -page 9 of 11看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363，所以五边形的面积是121036338、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。9、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。10、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -page 10 of 11名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -page 11 of 11名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -
