2022年八年级数学轴对称复习 .pdf

第十二章轴对称复习教案专题一：轴对称一、知识要点：1轴对称（1）轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形.这条直线叫对称轴.（2）轴对称：把一个图形沿着某一直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫对称轴.（3）图形轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.关于某条直线对称的两个图形全等.（4）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（5）图形对称轴的作法：要作两个图形的对称轴，只要找到这两个图形的一对对应点，然后连结它们，得到一条线段，再作出这条线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是这两个图形的对称轴.2线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线.（2）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.二、题目特点：和本专题有关的题目主要涉及以下几个方面：（1）判别轴对称图形或对称轴的条数；（2）根据轴对称图形的性质作对称轴；（3）用线段垂直平分线的性质解决计算题或进行证明说理.三、解题切入点：熟练掌握轴对称图形概念、性质以及线段垂直平分线的性质是解决有关问题的关键.例 1 下列图形是轴对称图形的是（）.（A）（B）（C）（D）例 2 如图 1，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离相等？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -图 1 图 2 解：如图 2，（1）连结 AB，（2）作线段 AB的垂直平分线MN 交直线 l 与点 P，则点 P就是所求作的奶站的位置.例 3 如图 3，ABC中，BAC=120，若 DE、FG分别垂直平分AB、AC，AEF的周长为10cm，求 EAF的度数及BC的长.图 3 解：因为 BAC=120，所以 B+C=60，因为 DE垂直平分AB，所以 BE=AE，B=BAE，因为 FG垂直平分AC，所以 AF=CF，C=CAF，所以 AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，EAF=BAC-(BAE+CAF)=120-(B+C)=60.专项练习1:1.下列图形中，轴对称图形的个数是（）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2.下列哪个选项的左边图形与右边的图形成轴对称图形（）(A)(B)(C)(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 图 4 图 5 4.下列两个图案中，其中一个是另一个关于某直线对称的对称图形的是（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -（A）（B）（C）（D）5.如图 5 是我国传统木房结构中一种常见的图案，窗户(长方形)常用各种图案装饰，这个图案有_条对称轴6.下列图案中，有且只有三条对称轴的是_(填上序号)ABD7.如图 6,在 AOB的内部有一点P,点 M、N分别是点 P关于 0A、0B 的对称点，MN分别交 OA、OB于 C、D点，若 PCD的周长为 30cm，则线段 MN的长为 _.图 6 图 7 图 8 图 9 8.如图 7,ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交 BC的延长线于E,交 AC于 F,A=50,AB+BC=16cm,则BCF的周长为 _ 9.如图 8，ABC中，AB=AC，A=50，AB的垂直平分线交AC于 D，求 DBC的度数.10.如图 9，在 Rt ABC中，C=90，DB平分 ABC交 AC于点 D，DE的垂直平分斜边AB于 E.(1)请你在图形中找出至少两对相等的线段，并说明它们为什么相等？(2)如果 BC=6,AC=8,则BDC的周长为多少？专题二:轴对称变换一、知识要点:1轴对称变换：（1）由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.由轴对称变换得到的图形与原图形形状、大小完全相同；新图上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点；连接任意一名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -对对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）作一个平面图形的对称图形，先作一些点的对应点，再连接这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形.对于线段、三角形、四边形等由直线、线段或射线组成的图形，只要作出原图形上的关键点的对应点，然后连接这些对应点，即可得到相应的对称图形.（3）利用轴对称变换设计图案，主要是借助平移等有关知识.2以坐标轴为对称轴作对称图形（1）点 P(x,y)关于 x 轴对称的对称点为P1(x,-y),点 P(x,y)关于 y 轴对称点的坐标为P2(-x,y);也就是:若两点关于x 轴对称,那么它们的横坐标相同,纵坐标互为相反数;若两点关于y 轴对称,那么它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数.(2)作一个图形关于坐标轴对称的图形,一般先作图形上关键点关于坐标轴的对称点,然后连接对称点即可.二、题型特点：和轴对称变换的主要题型有：（1）作一个平面图形（如三角形，四边形等）关于已知直线的对称图形；（2）求已知点关于坐标轴对称的对称点的坐标；（3）根据轴对称变换设计图案；（4）根据轴对称变换解决实际生活中问题.三、解题切入点：作一个平面图形的轴对称图形，关键是确定原图形上的关键点，只要作出这些关键点的对称点，然后按原图形的顺序连接即可；求一个点关于坐标轴对称点的坐标，关键是熟练掌握对称点之间的坐标特征；根据轴对称变换解决实际问题，需要从实际问题中构建出数学模型.例 1 如图 1,以直线 AE为对称轴,画出该图形的另一部分.解：作图过程如下：（1）分别作出点B、C关于直线 AE的对称点 F，H,如图 2；（2）连结 AF、FD、DH、HE，得到所求的图形,如图 3.图 1 图 2 图 3 例 2 用四块如图4所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形.请你在图 4、图 4、图 4中各画一种拼法(要求三种拼法各不相同).名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -图 4 解：下面给出3 种不同答案，供参考.如图 5.图 5 例 3 如图 6，（1）作出 ABC关于 y 轴对称的 A1B1C1，并写出 A1B1C1各顶点的坐标；（2）将 ABC向右平移 6 个单位，作出平移后的A2B2C2，并写出 A2B2C2各顶点的坐标；（3）观察 A1B1C1和 A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴.图 6 图 7 解：（1）如图 7 所示,A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1);（2）如图 7 所示,A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1);（3）A1B1C1与 A2B2C2关于直线3x轴对称.专项练习:1.在直角坐标系中,点 P(-2,-4)关于 y 轴的对称点的坐标是().(A)(-2,4)(B)(2,-4)(C)(2,4)(D)(-4,-2)2.点 M(1,2)关于 x 轴对称点的坐标为().(A)(-1,2)(B)(-1,-2)(C)(1,-2)(D)(2,-1)3.点 P(3,-2)关于直线 x=4 对称点的坐标是().(A)(5,-3)(B)(-2,5)(C)(5,-2)(D)(-3,4)4.已知直线l 和 l 同旁的两点A、B，在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB最小，那么正确的是（）.（A）作点 A关于直线l 的对称点 A，连结 AB与直线 l 的交点即为点P（B）直线 AB与直线 l 的交点为 P点（C）若直线AB/l，则直线 l 上的任意点即可为点P 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -（D）过线段AB的中点，向直线a 引垂线，垂足即为点P.5.点 M(3a-b,4)与点 N(9,2a+b)关于 x 轴对称,则 a=_,b=_.6点 A的坐标是(-2,3),点 B与点 A关于直线 x=1 对称,点 C与点 B关于直线 y=-2 对称,则点 C的坐标为_.7.如图 8,由 5 个小正方形组成的图形,请你三种不同的方法,分别添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.图 8 8.如图 9,作出 ABC关于直线 l 的对称三角形ABC.图 9 图 10 9.已知四边形ABCD 各顶点为 A(1,2),B(1,4),C(3,5),D(3,3),作四边形 ABCD关于直线x=-1 的对称图形.10.如图 10，是一个810 的正方形格纸，ABC中 A点坐标为(2，1).ABC和 A BC满足什么几何变换(直接写答案)？作 ABC关于 x 轴对称图形 AB C；求 A、B、C三点坐标(直接写答案)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -答案:1.B 2.C 3.C 4.A 5.1,-6;6.(4,-7);7.如图.7题 8题8.如图.9.如图.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -9题 10题10.（1）ABC和 ABC满足轴对称变换；（2）如图 2 所示.（3）A(2，-1)、B(1，-2)、C(3，-3).专题三：等腰三角形一、知识要点：1 等腰三角形（1）有两边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高互相重合.（3）等腰三角形的判别方法：直接根据定义；等角对等边.2 等边三角形（1）三边都相等的三角形叫做等边三角形.是轴对称图形，有三条对称轴.（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个角都是60.（3）等边三角形的判别方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.二、题目特点：和等腰三角形有关的题目主要有两类：（1）计算题.如求等腰三角形的腰长，周长、角度等；（2）说理题.如证明一个三角形是等腰(或等边)三角形;(3)实际应用题.如根据实际问题构造等腰三角形解决问题.三、解题切入点：解决和等腰三角形有关的计算问题，要把握等腰三角形的性质，注意分类思想在等腰三角形中的应用.解决证明问题主要依据等腰(或等边)三角形的性质和判定方法,有的问题还需要作恰当的辅助线.例 1 如图,2 一艘轮船在近海处由南向北航行,点 C是灯塔,轮船在 A处测得在其北偏西 38的方向上,轮船又又 A向北航行 30 海里到 B,测得灯塔在其北偏西76的方向上.(1)求 ACB的度数;(2)轮船在 B处时,到灯塔 C的距离是多少?解:因为 NAC=38,NBC=76,所以 NBC=ACB+NAC,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -所以 ACB=NBC-NAC=76-38=38.(2)因为 ACB=NAC=38,所以 AB=AC,图 2 因为 AB=30海里,所以 BC=30海里,即点 B到灯塔 C的距离是 30 海里.专项练习3:图 3 1.ABC中,AB=AC,它的两边分别是2 厘米和 4 厘米,则它的周长是（）(A)8 厘米 (B)10厘米 (C)8厘米或 10 厘米 (D)不确定2如图 4,在 ABC中,已知 B和C的平分线相交于点F,过点 F 作 DF/BC,交 AB于点 D,交 AC于点 E,若 BD+CE=9,则线段 DE的长为（）(A)9 (B)8 (C)7 (D)6 图 4 图 5 图 6 3如图 5,ABC为等边三角形,AD 为 BD边上的高,E 为 AC边上的一点,且 AE=AD,则EDC=_ 度.4.如图 6,在 ABC中,D、E在 BC上，且 BD=DE=AD=AE=EC，则 BAC的度数是 _.5分别以等腰三角形的腰与底边向三角形外作正三角形，其周长为24 和 36，求等腰三角形的周长.6如图 7,在ABC中,已知 AB=AC,BD、CE是两条角平分线，BD、CE相交于点O，OBC是等腰三角形吗？为什么？图 7 图 8 7如图 8，在 Rt ABC中，A=30，C=90，BC=10，点 D是斜边 AB的中点，DE AC，交 AC于 E.求 DE的长.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -8如图 9，在 ABC中，BP、CP分别是 ABC和 ACB的平分线，且PD/AB，PE/AC，求 PED的周长.9如图 10,已知 ABC中,AB=AC,AF是 BC边的中线,D 是 BA延长线上一点,E 在 AC上,且 AD=AE.求证：DEBC.图 9 图 10 图 11 10.如图 11，已知 AB=AD，BAD=60，BCD=120，延长 B到 E，使 CE=CD，连结 DE.求证：BC+DC=AC.答案：1.B 2.B 3.B 4.D 5.2条;6.;7.30;8.16cm;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -9.因为 AB=AC，AB的垂直平分线交AC于 D，所以 ABC=C=65，A=ABD=50，所以 DBC=65-50=15.10.(1)AE=EB(根据DE 是 AB 的垂直平分线),AD=DB(根据线段平分线上的点到线段两个端点的距离相等).DE=DC(根据角平分线上的点到角的两边的距离相等).(2)因为 BD=AD,所以 BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=6+8=14.即 BDC的周长为14.答案:1.B 2.A 3.15;4.120;5.由等边三角形的周长为24，36 可得等腰三角形的底、腰长可能是8、12.当腰为 12，底边为8 时，周长为12+12+8=32，当腰长为8，底边为12 时，周长为8+8+12=28.所以等腰三角形的周长为32 或 28.6.OBC是等腰三角形.理由：在 ABC中，因为 AB=AC，所以 ABC=ACB，又 BD是 ABC的平分线，所以OBC=21ABC，又 CE是 ABC的平分线，所以OCB=21ACB，所以 OCB=OBC，所以 OB=OC，即 OBC是等腰三角形.7.在 RtABC中，因为 A=30，BC=10，所以 AB=20，因为 D为 AB中点，所以AD=10，在 RtADE中，因为 A=30，AD=10，所以 DE=5.8.因为 BP是 ABC的平分线，CP是 ACB的平分线，所以ABP=CBP，ACP=BCP，因为 PD/AB，所以 ABP=BPD，所以 PBC=BPD，所以 BD=PD,同理 PE=EC.所以 PDE的周长等于PD+PE+DE=BD+DE+EC=BC=5cm.9.因为 AB=AC,BF=CF,所以 BAF=CAF,AFBC,因为 AD=AE,所以 ADE=21BAC,所以 BAF=D,所以 DE/AF,所以 DE BC.10.连结 BD，因为 AB=AD，BAD=60，所以 ABD为等边三角形，因为 CD=CE，DCE=60，所以 CDE为等边三角形，因为 ADB=CDE=60，所以 ADB+BDC=CDE+BDC，即 ADC=BDE，又 AD=BD，CD=ED，所以 ADC BDE，所以 AC=BE，又 BE=BC+CE=BC+CD，所以 AC=BC+CD.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -