2022年实变函数与泛函分析基础第三版答案收集 .pdf
习题解答1、设(,)Xd为一度量空间，令00(,)|,(,)UxxxXdx x00(,)|,(,)S xxxXdx x，问0(,)Ux的闭包是否等于0(,)Sx。解答：在一般度量空间中不成立00(,)(,)UxS x，例如：取1R 的度量子空间0,12,3X，则X中的开球(1,1);(1,)1UxXdx的的闭包是0,1，而(1,1);(1,)10,12SxXdx2、设,Ca b是区间,a b上无限次可微函数全体，定义()()()()01|()()|(,)m ax21|()()|rrrrrratbftgtdfgftgt，证明：,Ca b按(,)dfg构成度量空间。证 明：（1）显 然(,)0dfg且(,)0dfg()()()()1|()()|,m ax021|()()|rrrrratbftgtrftgt,rta b有()()|()()|0rrftgt，特别当0,rta b时有|()()|0ftgt,ta b有()()ftg t。（2）由函数()1tftt在0,)上单调增加，从而对,fg hCa b有()()()()0()()()()()()()()0()()01|()()|(,)max21|()()|1|()()()()|=max21|()()()()|1|()()|max2rrrrrratbrrrrrrrrratbrrrratbrftgtdfgftgtfththtgtfththtgtftht()()()()()()()()()()()()0()()()()0|()()|1|()()|()()|1|()()|=max21|()()|()()|1|()()|m ax21|()()|rrrrrrrrrrrrratbrrrrrratbrhtgtfththtgtfthtfththtgthtgtftht()()()()()()()()()()00|()()|1|()()|1|()()|maxmax21|()()|21|()()|(,)(,)rrrrrrrrrrrratbatbrrhtgtfththtgtfththtgtdfhd h g即三角不等式成立(,)(,)(,)dfgdfhdh g。3、设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集12,nOOO包含B，而且1nnOB。证明：设B为度量空间X中的闭集，作集：1|(,),(1,2,)nOxdx Bnn，nO为开集，从而只要证1nnBO；可实上，由于任意正整数n，有nBO，故：1nnBO。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -另一方面，对任意的01nnxO，有010(,)dxBn，(1,2)n 令n有0(,)0dxB。所以0 xB（因B为闭集）。这就是说，1nnOB综上所证有：1nnBO。4、设(,)dx y为度量空间(,)Xd上的距离，证明(,)(,)1(,)d x yd x yd x y也是X上的距离。证明：首先由(,)dxy为度量空间(,)Xd上的距离且(,)(,)1(,)d x yd x yd x y，因此显然有(,)dx y且(,)0dx y的充要条件是(,)0dx y，而(,)0d x y的充要条件是xy，因此(,)0dx y的充要条件是xy。其次由函数()1tftt在0,)上单调增加有(,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)(,)(,)1(,)(,)1(,)(,)(,)(,)(,)(,)1(,)1(,)dx ydx zdy zdx ydx ydx zdy zdx zdy zdx zdy zdx zdy zdx zdy zdx zdy zdx zdy z即三角不等式成立。所以(,)dx y也是X上的距离。5、证明点列nf按题 2 中距离收敛于,fCa b的充要条件为nf的各阶导数在,a b上一致收敛于f的各阶导数。证明：由题2 距离的定义：()()()()01|()()|(,)max21|()()|rrrrratbrftgtdfgftgt则有：若nf上述距离收敛于f，则()()()()0|()()|1(,)ma x0()21|()()|rrnnrrratbrnftftdffnftft。所以对任何非负整数r有：()()()()|()()|max2(,)0()1|()()|rrrnnrratbnftftdffnftft。由此对任何非负实数r有()()max|()()|0()rrnatbftftn。从而对任何非负整数r，nf的各阶导数()rnf在,a b上一致收敛于f的各阶导数()rf。反之：若对每个r，nf的各阶导数()rnf在,a b上一致收敛于f的各阶导数()rf，则对每个0,1,2,r有()()max|()()|0()rrnatbftftn，则0,rrNnN有：()()max|()()|rrnatbftft从而对任意的非负实数r有：()()()|()()|m ax1|()()|1rrnratbnftftftft。又由于名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -从而；()()()()00|()()|11(,)m ax21|()()|2rrnnrrrratbrrnftftdffftft，于是0,R有：112rR。从而取01m ax(,),RNNNNnN时()()()()0|()()|1(,)m ax21|()()|rrnnrrratbrnftftdffftft()()()()()()()()01|()()|()()|11m axm ax21|()()|21|()()|rrrrRnnrrrrrratbatbrrRnnftftftftftftftft1011112(1)23.1+221+2RRrrrrR于是0,NnN有(,)ndff。从而点列nf按题 2 中距离收敛于,fCa b。7、设E及F是度量空间中两个集，如果(,)0dEF，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F。证明：记,(,)inf(,)0 xEyFrd EFd x y。xE，以1(,)2xdx F为半径作点x 的邻域(,)xUx，令(,)xxFOUx，则O是开集且EO。同理可作开集G，使得1(,)(,)2yyyFFGUydy E。余证 OG，如若不然即OG，则存在 POG，由O及G的作法可知，必有,xEyF，使得(,),(,)xyPUxPUy，即1(,)(,)2xdx Pdx F，1(,)(,)2ydy Pdy E。从而有1(,)(,)(,)(,)(,)2dx ydx Pdy Pdx Fdy E另一方面(,)(,)dx Fdx y，(,)(,)dy Edx y，从而有1(,)(,)(,)(,)2dx ydx Fdy Edx y，由于,(,)(,)inf(,)0 xEyFd x yd E Frd x y，故得矛盾。因此OG。9、设X是可分距离空间，F为X的一个开覆盖，即F是一族开集，使得对每个xX，有F中的开集O，使xO，证明必可从F中选出可数个集组成X的一个开覆盖。证明：因X是可分距离空间，所以在X中存在可数稠密子集12,nBxxx。因F是X的一个开覆盖。因此xX，存在F中的开集O，使得xO且 x 是O的内点。存在0r，使(,)xUx rO，因B在X中稠密，从而可在(,)4rUx上取出B中的点kx，再取有理数r，使得42rrr（此处的有理数r与,kx x均有关系）于是(,)(,)kxUxrUx rO，由xX的任意性从而满足该条件的开集名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -O的全体覆盖X。又由于(,)kUxr的kx和r均为可数故这种开集O的全体至多可数。10、设X是距离空间，A为X中的子集，令()inf(,),xAfxdxyxX，证明()fx是X上的连续函数。证明：0,x xX，则由00(,)(,)(,)dx ydx xdxy可得0000inf(,)(,)inf(,)()(,)()yAyAd x yd x xd xyfxd x xfx00()()(,)fxfxdx x同 理 可 得：00()()(,)fxfxdx x00|()()|(,)fxfxdx x。因 此 当0 xx即0(,)0dx x时 有0|()()|0fxfx。所以()inf(,),xAfxdx yxX在0 x处连续，由0 x在X上的任意性得()inf(,)xAfxdx y在X上连续。14、Cauahy点列是有界点列。证明：设nx是度量空间中的(,)Xd中的 Cauahy 点列，则0,Nn mN有(,)nmdxx。特别取1，N则 对 任 意 的,nmN有(,)1nmdxx，则.sup(,)1nmn mNdxx，即 点 列,1nxnN的 直 径(,1)1nxnN，从 而 点 列,1nxnN是(,)Xd有 界 集。其 次 对 于,11nxnN，取m a x(,1,ijMdxxijN，则(,11)nxnNM即,11nxnN是(,)Xd中的有界集。又集nx,11,1nnxnNxnN，所以nx有界。设(,|)X是赋范空间，nx是(,|)X中的 Cauahy 点列点列，则0,Nn mN时有|nmxx，今取1，则N，使得1|1nNxx。1,|1nNnNxx，取121|,|,|,|1NNMxxxx，则n，有|nxM。所以点列nx有界。18、设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记(,)sup(,)nnnxxd A x A xad x x，若1nna，则映射A有唯一不动点。证明：因1nna，由级数收敛之必要条件有lim0nna，于是对于01，N，nN时有|na。于是nN时，(,)(,)nnd A x A xd x x(,)(,)nndA x A xdx x。从而从1N后，映射A是X到X的压缩映射。又由于X是完备的，所以映射A有唯一不动点。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -
