2022年初三数学压轴题 .pdf

1.如图，直线3yx与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过BC，两点的抛物线2yaxbxc与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线2x（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC请问在x轴上是否存在点Q，使得以点PBQ，为顶点的三角形与ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解 直线3yx与x轴相交于点B，当0y时，3x，点B的坐标为(3 0)，又抛物线过x轴上的AB，两点，且对称轴为2x，根据抛物线的对称性，点A的坐标为(10)，（2）3yx过点C，易知(0 3)C，3c又抛物线2yaxbxc过点(1 0)(3 0)AB，309330abab，解得14ab，243yxx（3）连结PB，由2243(2)1yxxx，得(21)P，设抛物线的对称轴交x轴于点M，在RtPBM中，1PMMB，452PBMPB，由点(3 0)(0 3)BC，易得3OBOC，在等腰直角三角形OBC中，45ABC，由勾股定理，得3 2BC假设在x轴上存在点Q，使得以点PBQ，为顶点的三角形与ABC相似当BQPBBCAB，45PBQABC时，PBQABC即223 2BQ，3BQ，又3BO，点Q与点O重合，1Q的坐标是(0 0)，当QBPBABBC，45QBPABC时，QBPABCABCPOy2xABCPOxy2x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -即223 2QB，23QB273333OBOQOBQB，2Q的坐标是703，18045135135PBxBACPBxBAC，点Q不可能在B点右侧的x轴上综上所述，在x轴上存在两点127(0 0)03QQ，能使得以点PBQ，为顶点的三角形与ABC相似。2.（河南卷）二次函数218yx的图象如图所示，过y轴上一点0 2M，的直线与抛物线交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D（1）当点A的横坐标为2时，求点B的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点A，B作AEx轴于E，BFx轴于F，在EF上是否存在点P，使APB为直角若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求AC BD的值解（1）根据题意，设点B的坐标为218xx，其中0 x点A的横坐标为2，122A，ACy轴，BDy轴，0 2M，ACBD，32MC，2128MDxRtRtBDMACMBDMDACMC即2128322xx解得12x（舍去），28x8 8B，（2）存在连结AP，BP名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -由（1），12AE，8BF，10EF设EPa，则10PFaAEx轴，BFx轴，90APB，AEPPFBAEEPPFBF12108aa解得521a经检验521a均为原方程的解点P的坐标为3210，或3210，（3）根据题意，设218A mm，218B nn，不妨设0m，0n由（1）知BDMDACMC，则22128128nnmm或22128128nnmm化简，得160mnmn0mn，16mn16AC BD3.(湖 北 湛 江 课 改 卷）已 知 抛 物 线22yaxbx与x轴 相 交 于 点1(0)A x，2(0)B x，12()xx，且12xx，是方程2230 xx的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点（1）求ab，的值（2）分别求出直线AC和BC的解析式；（3）若动直线(02)ymm与线段ACBC，分别相交于DE，两点，则在x轴上是否存在点P，使得DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；解（1）由2230 xx，得1213xx，2 11 2 3 4 3 2 1 xy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -(10)(3 0)AB，把AB，两点的坐标分别代入22yaxbx联立求解，得2433ab，（2）由（1）可得224233yxx，当0 x时，2y，(0 2)C，设ACykxb:，把AC，两点坐标分别代入ykxb，联立求得22kb，直线AC的解析式为22yx同理可求得直线BC的解析式是223yx（3）假设存在满足条件的点P，并设直线ym与y轴的交点为(0)Fm，当DE为腰时，分别过点DE，作1DPx轴于1P，作2EPx轴于2P，如图，则1P DE和2P ED都是等腰直角三角形，12DEDPFOEPm，214ABxxDEAB，CDECAB，DECFABOC，即242mm解得43m点D的纵坐标是43，点D在直线AC上，4223x，解得13x，1 43 3D，1103P，同理可求2(10)P，当DE为底边时，过DE的中点G作3GPx轴于点3P，如图，则3DGEGGPm，由CDECAB，O xyD(0 2)C，E F 1P2P(3 0)B，(10)A，ymO xyD(0 2)C，E F 2P(3 0)B，(10)A，ymG 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -得DECFABOC，即2242mm，解得1m同 1 方法求得131122DE，31DGEGGP312OPFGFEEG，3102P，结合图形可知，2223324P DP EED，22233EDP DP E，3DEP是Rt，3102P，也满足条件综上所述，满足条件的点P共有 3 个，即123110(10)022PPP，4.在矩形ABCD中，4AB，2BC，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系 然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B落在y轴的E点上，则C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上（如图）（1）求经过BEG，三点的二次函数解析式；（2）设直线EF与（1）的二次函数图象相交于另一点H，试求四边形EGBH的周长（3）设P为（1）的二次函数图象上的一点，BPEG，求P点的坐标（1）解：由题意可知，4AEAB，2AGADBC(4 0)B，(0 4)E，(2 0)G，设经过BEG，三点的二次函数解析式是(2)(4)ya xx把(0 4)E，代入之，求得12a 3 分所求的二次函数解析式是：211(2)(4)422yxxxx（2）解：由题意可知，四边形AEFG为矩形F HG B，且6GB直线4y与二次函数图象的交点H的坐标为(2 4)H，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -2EHG与BE，与H关于抛物线的对称轴对称，22422 5BHEG四边形EGBH的周长2622 584 5（3）设BP交y轴于MBPEG，:AB AGAMAE，即4:2:4AM8AM，于是(08)M，设直线BM的解析式为ykxb把(4 0)B，(08)M，代入之，得408.kbb，解得28.kb，28yx组成方程组22814.2yxyxx，解得620 xy，或40.xy，（此组数为B点坐标）所求的P点坐标为(6 20)P，yx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -