三角函数的图像与性质-教案.doc

三角函数的图象及性质教学目标1熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质2熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、3理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化重点难点重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度教学过程三角函数的图象及性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质及图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用这样才能把性质理解透彻一、三角函数性质的分析1三角函数的定义域这两种表示法都需要掌握即角x不能取终边在y轴上的角函数y=cotx的定义域是x或(k，k+)(kZ)，这两种表示法都需要掌握即角x不能取终边在x轴上的角(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别及y=tanx、y=cotx相同例1 求下列函数的定义域：(kZ)形使函数定义域扩大的某些区间及-3x3的交集不空，这些区间可以通过k取特殊值得到注意不要遗漏(3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果)是 所以选C2三角函数的值域(1)由|sinx|1、|cosx|1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|1、|secx|1(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域常用的一些函数的值域要熟记y=tanx+cotx(-，-22，+)例4 求下列函数的值域：(2)y=3cos2x+4sinxxR；x是三有形的一个内角(3)y=cosx(sinx+cosx)；(5)y=sin(20°-x)+cos(50°+x)若把上式中的sinx换成cosx，解法、答案均及上面相同sinx=0时，ymax=3，所以y-4，3；(5)解法一 将cos(50°+x)变为sin(40°-x)，和差化积得y=2sin(30°-x)·cos10°-2cos10°，2cos10°解法二 用正弦、余弦的两角和及差的公式展开，得y=(sin20°cosx-cos20°sinx)+(cos50°cosx-sin50°sinx)=(sin20°+cos50°)cosx-(cos20°+sin50°)sinx=(sin20°+sin40°)cosx-(sin70°+sin50°)sinx=2sin30°·cos10°·cosx-2sin60°·cos10°·sinx=2cos10°·sin(30°-x)-2cos10°，2cos10°评述 以上是求三角函数值域的几种基本情况，它们的共同点在于，经过三角变换，都要转化为四种基本三角函数的值域求tan的最大值解 为锐角，tan0，所以3三角函数的周期性(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值因为sin(2k+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2k(kZ，k0)是y=sinx的周期，最小正周期是2同理2k(kZ，k0)是y=cosx的周期，最小正周期是2因为tan(k+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以k(kZ，k0)是y=tanx的周期，最小正周期是同理k(kZ，k0)是y=cotx的周期，最小正周期是(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可例6 求下列函数的周期：上式对定义域中任一个x成立，所以T=；4三角函数的奇偶性，单调性研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间AB CD原点不对称，所以函数既非奇函数又非偶函数；因为f(-x)=-f(x)，所但是周期函数，T=2因此选C评述 在判定函数是奇函数或是偶函数时，一定要注意函数的定义域，一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称因此对，不能根据f(-x)+f(x)=0就判定为奇函数原来的函数既不是奇函数，也不是偶函数因此在研究函数性质时，若将函数变形，必须保持变形后的函数及原来的函数是同一个函数，例8 给出4个式子：sin2cos2tan2；sin2sin3sin4；tan1sin1cos1；cos1cos2cos3正确的序号是_而(0，)是y=cosx 的递减区间，所以正确例9 函数y=-cosx-sin2x在-，)的递增区间是_评述 研究函数的性质首先要注意函数的定义域A是增函数 B是减函数C可以取得最大值M D可以取得最小值-M5三角函数的图象(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象(2)函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx 图象的对称中心分别为Z)的直线例12 画出下列函数在一个周期的图象：解(1)T=如图10(2)T=2如图11最大或最小值的即是，所以选A(4)三角函数图象的平移变换，伸缩变换一个周期的图象，则图象的解析式为_还可以这样研究：二、综合题分析例17 方程sinx=log20x根的个数是_分析 在同一坐标系中作出y=sinx、y=log20x的图象(2，4)，(4，6)中，两图象分别有1个、2个、2个交点，因此方程根的个数为5个例18 已知函数y=sinx·cosx +sinx+cosx，求y的最大、最小值及取得最大、最小值时的x值解 令sinx+cosx=t(kZ)时，ymin=-1；求：(1)函数的取值范围； (2)函数的递减区间解 sin3x·sin3x+cos3x·cos3x实数 (kZ)的最小正周期有一动点P，过P引平行于OB的直线交OA于Q，求POQ面积的最大值及此时P点的位置解 如图13设POB=(0°，120°)，则QPO=能力训练2设是第二象限角，则必有 Ay=tanx By=cos2x4函数f(cosC)=cos2C-3cosC，则f(sinC)的值域是 5(1)函数y=cos(tanx)的定义域是_，值域是_；(7)设a=tan48°+cot48°，b=sin48°+cos48°，c=tan48°+cos48°，d=cot48°+sin48°将a，b，c，d从小到大排列的结果是_6将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标扩大两倍，纵坐标不变，然的图象完全相同，则函数y=f(x)的表达式是_7(1)已知sin+sin=1，则cos+cos的取值范围是_；(2)已知3sin2+2sin2=2sin，则sin2+sin2的取值范围是_8求下列函数的周期：(1)y=cot2x-cotx；(3)y=cos3x·cos3x-sin3x·sin3x9求函数y=sin4x+cos4x-2cos2x的周期、最大值和最小值11设f(x)=sin(x+)+cos(x-)，求使f(x)为偶函数的充分必要条件数a的取值范围实数m的取值范围答案提示1B 2C 3D 4B(3)奇函数，R(7)d-b=cot48°-cos48°=tan42°-sin42°0，所以db；c-7(1)设cos+cos=x，则(sin+sin)2+(cos+cos)2=2+2cos(311sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-) cos(x+)-cos(x-) =sin(x+)+sin(x-) -2sinx·sin=2sinx·cos -sin=cos14设sin=t0，1，题目变成t2-2mt+2m+10对t0，1设计说明三角函数的每一条性质都要求记忆和理解，每一个函数的图象也要求熟练掌握，因此在复习时，首先以一些小题为主，使学生把每一条性质都弄清楚由于在研究性质时必然要涉及三角变换，而这一点对学生来说是难点，所以在复习时不要由于三角变换削弱了性质的复习在复习这部分内容时，应抓住核心的两点：三角函数的图象和三角函数的周期性第 5 页