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章末检测试卷一（第四章）（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）.数歹ij 3,5,7,9,的一个通项公式是（）A.。”=2+1B.%=2"+1C.诙=2"+|D. «=2,+ |-1答案A解析 因为 0=2X1 + 1, 2=2*2+1,的=2X3+1, 44=2X4+1,所以。“=2+ 1.1 .在等差数列%中,内+。5=10,田=7,则数列斯的公差为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案B解析 ,* ci 4 cis=2t/3= 10,t/3=5, "=04 43 = 7 5 = 2.3 .在等比数列m中，2 +的=1，s + 4 = 2,则。斗+ 5等于（）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32答案A解析由3 +。4 =虱。2 + 3），可得q = 2,所以由 + 45 =贝+ 04）= 4.4 .已知圆。的半径为5, |0P| = 3,过点的2021条弦的长度组成一个等差数列斯,最短 弦长为0,最长弦长为42 021，则其公差为（）a，r，a,2020 D,1 010 J】010 m,505答案B解析由题意，知最长弦长为直径，即。2021=10,最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式m =252-32=8,42 02|一2 021-142 02|一2 021-1I 010-.设等差数列为的前项和是S”,若一而“V-或+i(/m&N,且22),则必定有( )A. S,”>0,且 S”“vOS,<0,且 S”+i>0B. S”>0,且 S,”+i>0S”4），且 S”+ivO答案A解析 因为一”,< <a,n+i,所以 0 +出”>0, 41 +«”+1<0,所以S>0,且5丽+1<0.6 .设S”为等比数列斯的前项和，41= 1且U2。3=8,则称等于（）A. -11 B. -8 C. 5 D. 11答案A解析设等比数列m的公比为夕, 因为2a3=一8,所以应=8, s= - 2,所以q=-2.所以q=-2.S5 41(1一炉) lq一(_2)5Si 1 q ai(l一炉) I q21 (2)27 .设d, S”分别为等差数列的公差与前项和，若$o=S2o,则下列论断中正确的有（）A.当71=15时,S取最大值8 .当 =30 时，Sn=C.当力0时，0（）+生2>0D.当火0 时，|«10|>|«22| 答案C解析解析VSio 520,，痴+肾&=2。0+”*/,解得谭选项A, 无法确定m和d的正负性，无法确定S是否有最大值，故A错误;30X29/ 9Q A选项 B, S3o=3Oa+ 2- d=30X（一手少+15X29d=0,故 B 错误；选项 C, 410+。22 = 216 = 231+ 15J）=2（一呈7+150=冷0,故C正确；选项Di+9d.和+地一会收=创+2仆-纨+和=枭,1113VJ<0, A|aiol=1。22| =彳"，|aio|<|«22b 故 D 错误.9 .若数列”的前项和为S” b=% 则称数列“是数列斯的“均值数列”.已知数列/%是数列的“均值数列”且通项公式为仇=，设数列的前八项和为7；,若 l4M+1）Tnr-m- 1对一切”七N*恒成立，则实数机的取值范围为（）A. （-1,3）B. -13C. （一8, -1）U（3, 4-oo）D. （一8, -1JU3, 4-oo）答案D 解析 由题意，得数列所的前项和为S”，由“均值数列”的定义可得号=，所以S尸2, 当 n= 时，m=Si = l ；当 22 时，an=Sn-Sn-i=n2-（n-l）2=2n-1, 出=1也满足斯=2一1,所以斯=2-1,所以=alt-an+ (2- 1)(2+1)所以多於一加一1 2；,整理得产2l320,解得加W-1或m23.即实数机的取值范围为（-8, -1JU3, +8）.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知数列”的通项公式为%=9-2”，则下列各数中是”中的项的是（）A. 0 B. 3 C. 5 D. 7答案BCD9解析 对于A.0=9-2% 解得=,故A不满足；对于B,3=9-2%解得=3,故B满足；对于C,5=92,解得=2,故C满足；对于D,7=92，解得=1,故D满足.10.在等比数列伍中，已知0=3,附=27,则数列的通项公式是（）A. an=3n, WN”B.m=3"-IC.斯=（一1）'3", 仁N"答案AC 解析 由6=a* 得用=9,即g=±3.a”=m/r = 3X3= 3"或许= 3X（ - 3）”=（1）门3.故数列的通项公式是如= 3", 或小=（一1）门3，£N”.11.己知递减的等差数列的前“项和为S”，若S7=S”则（）A. «io>OB.当 =9 时，S最大C. Si>0D. Sm>0答案BC解析 由等差数列前项和的特点可知，当=9时，S”最大，故。9>0, 10<0, 517= 17</9>0, Si9= 196/i（）<0,故 BC 正确.12 .己知两个等差数列（如和儿的前项和分别为£和，且*=2普，则使得性为整 ，nH r J数的正整数的值为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 14答案ACD(2- 1)(41 + 42 1)解析解析an _ S»li _ 3(2 - 1)+39 _ bn T2/J-1(2n 1)+3S%L1 2(2 OnTln- ? 1)(加+岳)(2一 1泡 bn'3+1815+ =3+R7,由于片为整数，则+1为15的正约数，则+1的可能取值有3,5,15, 因此，正整数的可能取值有2,4,14.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.若知=（一1产（2-1）,则数列斯的前21项和必=,答案一21解析 S2i=（-l+3）+（-5+7）+41 =2X10-41 =-21.13 .在等差数列”中，前皿，为奇数）项和为135,其中偶数项之和为63,且加一0=14, 则«100的值为.答案1012al2al解析在前小项中偶数项之和为S偶=63,奇数项之和为S青=13563=72,设等差数列斯的公差为d,则S青一5%=72-63=9.*.* Um - 41 = 14, .*.«1 = 2, Clni= 16._m（a+am）.2135, .in 15,14* *d7 1, 4100=41+99。/= 101.rn- I将数列3门）按“第组有个数”的规则分组如下：，（3,9）, （27,81,243）,，则第 100组中的第一个数是.答案34 95。解析 在“第组有个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差 的等差数列.因为前99组中数的个数共有（1+9；）X99=4 950（个）,且第1个数为3。，故第 100组中的第1个数是3495。.15. 已知衡最病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO.它指的是，在自然情况下（没有外 力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的 平均数.它的简单计算公式是RO=1+确诊病例增长率义系列间隔，其中系列间隔是指在一 个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）.根据统计，确诊病例的平均增长率为40%, 两例连续病例的间隔时间的平均数为5天，根据以上RO计算，若甲得这种传染病，则4轮 传播后由甲引起的得病的总人数约为.答案120解析由题意知，RO=1+40%X5=3,所以得病总人数为3+32+33+34=120（人）.四、解答题（本题共6小题，共70分）（10分）已知数列/为等差数列,且一+。5= 一知，田+。8=0.（1）求数列”的通项公式;（2）若等比数列九满足/?! = -8,方2 = 4|+2 +。3，求数列出的通项公式.解（1）设等差数列小的公差为4因为。1+。5 = 2。3=-12, 4 +。8 = 2。6 = 0，所以43=-6, （76 = 0,所以ai +2"= 6, m+5d=0,解得d=2.所以为=一1。+2(-1)=2-12, £N*.(2)设等比数列(为的公比为q,因为2 =。1+。2 +。3= 24, /?! = 8,所以一8q= -24,即 g=3,因此乩=r/=(8)X3"r,16. (12分)已知数列3的前项和为S”且满足a”+2S5i=0(22), «i=1.求证：*是等差数列；(2)求数列”)的通项公式.证明 当22时，由的+255一=0得Sn Sn- = - 2sSl I，所以！所以！11c又 4=77=2，所以上；是首项为2,公差为2的等差数列.解 由(1)可得f=2，所以s尸石.当 22 时，a=S”_S“-=五一2(_1)1=一2(一 1)；当 =1时，ai=4，不符合 斯=一丁/22n(n 1)1, n=l,I一丁( 77, 心2且 £N*.2(一 I)(12分)由整数构成的等差数列“满足s=5, 0a2=24.(1)求数列”的通项公式；(2)若数列九的通项公式为b=2",将数列“, 仇的所有项按照“当为奇数时，儿放在 前面；当为偶数时，如放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列0,："， 41，02，82，。3，。3，»84，求数列如的前4 + 3项和。十3.解(1)由题意,设数列如的公差为d,由的=5,。1。2 = 2。4,m +2d=5,可得，3 .(m + d) = 2(m + 3d),整理得(52")(5一")=2(5+公，即 2屋一174+15=0,解得 d=券或 d=l,因为他”为整数数列，所以4=1,又由 i+2d=5,可得s=3,所以数列的的通项公式为为=+2.由知,数列斯的通项公式为为=+2,又由数列d的通项公式为九=2", 根据题意，新数列。/:"，41,。2,b2, b、,的，。4,仇，则。+3 =力| +。| + S + 岳 + 仇 + 3 +。4 + 64HFM-1 + 02/1-1 + + bln + 岳+1 + 2n+1 +。2+2=(方1 + / + 63 + 4+ 方2”>1)+ (。1+42 +。3 +。4+ +。2”卜2)=2X(:r)+ Q+t)(2+2)=M+22+9+5.1 22(12分)已知数列斯的前项和为5”，且2&=3诙-3.(1)求数列m的通项公式；设为=k)g3。”，。为数列也)的前项和，求数歹U慌的前n项和.解(1),2S“=3l3,当 =1 时，2出=30 3,即 s=3.当22 时，2sl=3如_|一3.由一得2%=3斯一3%-1,即an=3an-i.，数列诙是以3为首项，3为公比的等比数列.：.a=3X3nl=3n.(2)由(1)知仇=log33"=,、，一0(+1),3 n+y数列伊的前项和为以4(14)+(H)+(H)+小击)=2(春)扁21. (12分)近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成, 而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术己处于国际领先水平.某公司 计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费川24万元, 从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产 值保持在100万元.(1)引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？(2)引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？解(I)设引进设备年后总盈利为人)万元，设除去设备引进费用，第年的成本为小，构 成一等差数列，前年成本之和为24+4展X8万元， 所以危?)=100一24+4(-1)+196 = -4层+80-196=4(-10)2+204,所以当 =10时，7()max = 204万元，即引进生产线10年后总盈利最大为204万元.(2)设n年后平均盈利为g()万元，则 g()-丹)=-4-+80, £N二因为 g()=4(+?)+80,当二+?22y3=14,当且仅当=邛，即=7£N"时取等号,故 f1 = 7 时，g5)max = g(7) = 24 万元，即引进生产线7年后平均盈利最多为24万元.22. (12分)在如图三角形数阵中，第行有个数，劭表示第1行第J个数，例如，由3表示 第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以?为公差的等差数列，从第三 行起每一行的数从左到右构成以in为公比的等比数列(其中/n>0).已知01 = 2, 1 =九32+2,031 0X2 华“I "2 "9 aM«5I a$2 "S3 a*%"m2"<!,(1)求 m 及 453；(2)记。=0i+422+a33H-anny 求乙.解(1)由已知得 “31=01+(3 l)X/"=2?+2,32=431X 6=(2m+2) X m=2m2 + 2m,出 i=0i+(4 l)X?=3"?+2,1,八"41 =5"32 十 2,3m+2 =(2m2+2/?)+2,即产一2/=0.又加>0, .*.771 = 2,； g ="ii+4X2= 10,仍3 =的1 X 22 = 40.(2)由(1)得知="11+(- 1) x 2=2.当23 时，小“=小2"一|=2.(*)又。2i=au + 2=4, «22=niaii = 2X4=8.颔=2, 62=8符合(*)式，；。""=小2".。11 + 422 +。33 HF anil:.7；=lX2,+2X22+3X23+4X24+ +n-2"®2。产 lX2?+2X23+3 义24+ + (- 1>2”+-2"+| 由一得，-7；J=2,+22+25+24+- + 2w-/?2n+l1-2n-2n+i=2内一2 2"+i=(1-?7)-2,+ |-2:.。=(- 1)2产1+2.