18年高考真题——理科数学(江苏卷).doc

2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学I卷（理）（江苏卷）一填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上）1已知集合，那么_。2若复数满足，其中是虚数单位，则的实部为_。3已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为_。4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的的值为_。5函数的定义域为_。6某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为_。7已知函数的图象关于直线对称，则的值是 。8在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_。9函数满足，且在区间上，则的值为_。10如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_。11若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值及最小值的和为_。12在平面直角坐标系中，为直线：上在第一象限内的点，以为直径的圆及直线交于另一点。若，则点的横坐标为 。13在中，角的对边分别为，的平分线交于点，且，则的最小值为 。14已知集合，。将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列。记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 。二解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15（本小题14分）在平行六面体中，。求证：平面；平面平面。16（本小题14分）已知为锐角，。求；求。17（本小题14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成。已知圆的半径为40米，点到的距离为50米。现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上。设及所成的角为。用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为。求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大。 18（本小题16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆点，焦点，圆的直径为。求椭圆及圆的方程；设直线及圆相切于第一象限内的点。若直线及椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；直线及椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程。19（本小题16分）记分别为函数的导函数。若存在，满足且，则称为函数及的一个“点”。 证明：函数及不存在“点”；若函数及存在“点”，求实数的值；已知函数，。对任意，判断是否存在，使函数及在区间内存在“点”，并说明理由。20（本小题16分）设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列。设，若对均成立，求的取值范围；若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）。数 学II卷【选做题】本题包括四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21A选修41：几何证明选讲如图，圆的半径为2，为圆的直径，为延长线上一点，过作圆的切线，切点为。若，求的长。21B选修42：矩阵及变换已知矩阵。求的逆矩阵；若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标。21C选修44：坐标系及参数方程 在极坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线被曲线截得的弦长。21D选修45：不等式选讲 若为实数，且，求的最小值。【必做题】两题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22如图，在正三棱柱中，点分别为的中点。求异面直线及所成角的余弦值；求直线及平面所成角的正弦值。23设，对的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数。例如：对的一个排列，只有两个逆序，则排列的逆序数为2。记为的所有排列中逆序数为的全部排列的个数。求的值；求的表达式（用表示）。2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）解答1；22；390；48；5；6；7；82；9；10；11；123；139；142715证明：在平行六面体中，。因为平面，平面，所以平面； 在平行六面体中，四边形为平行四边形。又因为，所以四边形为菱形，因此。又因为，所以。又，平面，平面，故平面。因为平面，所以平面平面。16解：因，故。又，故，因此；因为锐角，故。又，故，因此。因，故。而，因此。17解：连并延长交于，则，故。过作于，则，故，从而，。因此矩形的面积为，的面积为。过作，分别交圆弧和的延长线于和，则。令，则。当时，才能作出满足条件的矩形，所以；由题设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，则年总产值为设，则。令，得。当时，为增函数；当时， 为减函数。因此，当时，取到最大值，从而能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大。18解：因为椭圆的焦点为，可设椭圆：。又点在椭圆上，所以，解得。因此，椭圆的方程为。因为圆的直径为，所以其方程为；设直线及圆相切于，则。因：，即。由得（*）。因为直线及椭圆有且只有一个公共点，所以。因，故，。因此，点的坐标为；因，故。设，由（*）得，所以。因，故，即，解得（舍）或，则，因此，从而直线的方程为。19解：由题，。由且，得，此方程组无解。因此，及不存在“点”；由题，。设是及的“点”，则，即（*），可得，故，从而。当时，满足方程组（*），即是及的“点”因此，；对任意，设。因，且的图象是不间断的，所以存在，使得。令，则。由题，故，即（*）。此时，满足方程组（*），即是函数及在内的一个“点”。因此，对任意，存在，使函数及在内存在“点”。20解：由条件知：，。因即对均成立，故，得；由题，。若存在，使得成立，即。因此当时，。因，故，从而，对均成立。所以，取时，均成立。下面讨论数列的最小值。当时，当时，有，从而。因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为；设，当时，故单减，从而。当时，。因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为。因此，的取值范围为。21A解：连结，因为及圆相切，所以。又因为，所以。因为，所以为斜边的中点，从而。21B解：因为，所以可逆，从而；设，则，所以，因此，点P的坐标为。21C解：由题知曲线是以为圆心，半径为2的圆。由得，故直线经过点，倾斜角为。因此点为直线及圆的一个交点，设另一个交点为，则。连，因为直径，故，所以，因此直线被圆截得的弦长为。21D解：由柯西不等式得，故，当且仅当即，时取等号，所以的最小值为4。22解：如图，在正三棱柱中，设的中点分别为，则，。以为基底，建立空间直角坐标系。因，故，。因为的中点，故，从而，所以，即及所成角的余弦值为；因为的中点，故，因此，。设为平面的法向量，则，即，取得。，设直线及平面所成角为，则，所以直线及平面所成角的正弦值为。23解：记为排列的逆序数，对的所有排列，有，所以，。对的排列，利用已有的的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置。因此，；对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，故。逆序数为1的排列只能是将排列中任意相邻两个数字调换位置得到的排列，故。为计算，当的排列及其逆序数确定后，将添进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置，故。当时，第 8 页