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高中数学必做100题-数学11. 试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数的函数值的集合； （2）及的图象的交点集合.解：（1） （3分） ，（5分）故所求集合为.（6分）（2）联立，（8分）解得，（10分）故所求集合为.（12分）2. 已知集合，求、. （P14 10）解：，（3分），（6分），（9分）.（12分）3. 设全集，. （P12 例8改编）（1）求，； 解：，（1分），（2分），（3分）.（4分）（2）求， ， ，；解：，（5分），（6分），（7分）. （8分）（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析.解：，（9分）. （10分）Venn图略. （12分）4. 设集合，. （P14 B 4改编）（1）求，； 解：当时，故，；（2分）当时，故，；（4分）当且时，故，. （6分）（2）若，求实数a的值；解：由（1）知，若，则或4. （8分）（3）若，则的真子集共有 个, 集合P满足条件，写出所有可能的集合P.解：若，则，故，此时的真子集有7个. （10分）又，满足条件的所有集合有、. （12分）5. 已知函数.（1）求的定义域及值域（用区间表示） （2）求证在上递减.解：（1）要使函数有意义，则，解得. （2分）所以原函数的定义域是.（3分），（5分）所以值域为.（6分）（2）在区间上任取，且，则（8分），（9分）又，（10分），（11分）函数在上递减. （12分）6. 已知函数，求、的值.（P49 B4）解：，（3分），（6分）.（12分）7. 已知函数. （P16 8题）（1）证明在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值. 解：（1）证明：在区间上任取，且，则有（1分），（3分），（4分）即（5分），所以在上是减函数（6分）（2）由（1）知在区间上单调递减，所以（12分）8. 已知函数其中（P84 4）（1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求使成立的的集合. 解：（1）.若要上式有意义，则，即. （3分）所以所求定义域为 （4分）（2）设，则.（7分）所以是偶函数. （8分）（3），即 ，.当时，上述不等式等价于，解得.（10分） 当时，原不等式等价于，解得.（12分）综上所述, 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.9. 已知函数. （P37 例2）（1）判断的奇偶性； （2）若，求a，b的值.解：（1）定义域为R，故是奇函数. （6分）（2）由，则.（8分）又log3(4a-b)=1，即4a-b=3. （10分）由，解得a=1，b=1. （12分）10. 对于函数. （1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使得为奇函数. （P91 B3）解: (1) 的定义域为R, 设,则=,（3分）, ,（5分）即,所以不论为何实数总为增函数. （6分）（2）假设存在实数a使为奇函数, （7分）即,（9分） 解得: （12分） 11. （1）已知函数图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （P40 9）x21.510.500.511.52 f (x)3.511.022.371.560.381.232.773.454.89（2）已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范围. 解：（1）由，（3分）得到函数在（2，1.5）、（0.5，0）、（0，0.5）内有零点. （6分）（2）设=，则=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以，（8分）即， （10分） （12分）12. 某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价及日均销售量的关系如下表：销售单价/元50515253545556日均销售量/个48464442403836为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？ （P49 例1）解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个. 设销售单价定为x元，则每个利润为（x40）元，日均销量为个.由于，且，得.（3分）则日均销售利润为，.（8分）易知，当，y有最大值. （11分）所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理. （12分）13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（P44 9）解：（1） ， 为减函数. （3分） 随时间的增加，臭氧的含量是减少. （6分）（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则，即，（8分） 两边去自然对数，（10分）解得.（11分） 287年以后将会有一半的臭氧消失. （12分）14. 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量及月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数，且）或指数型函数（其中为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.（P51 例2）解：当选用二次函数的模型时，由，有， 解得，（4分） .（5分）当选用指数型函数的模型时， 由 有 ，解得， （9分） .（10分）根据4月份的实际产量可知，选用作模拟函数较好. （12分）xyOBAx=t15. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. 试求函数 的解析式,并画出函数的图象. （P126 B2）解：（1）当时，如图，设直线及分别交于、两点，则，又，（4分）（2）当时，如图，设直线及分别交于、两点，则，又，（8分）（3）当时，. （10分）（12分）16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）及时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线. （1）写出服药后y及t之间的函数关系式y=f(t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？（P45 例3）解：（1）当0t1时，y=4t；（2分）当t1时，此时在曲线上， ，这时. （5分）所以.（6分）（2） ， （8分）解得 ，（10分） .（11分） 服药一次治疗疾病有效的时间为个小时. （12分）第 7 页
