2022年高一数学_集合知识讲解 .pdf

-1-1 集合重点知识点讲解一、章节结构图123412nxAxBABABAnA（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即 是 的子集。、若集合 中有 个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合00(2-1)23,.4/nAAA B CABBCACABABxBxAABABABABABx xAxBAAAAABBAAB真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则 是 的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，运算,/()()()-()/()()()()()()UUUUUUUUA ABBABABAABx xAxBAAAAAABBAABAABBABABBCard ABCard ACard BCard ABC Ax xUxAAC AAC AAUCC AACABC AC B，定义：或并集性质：，定义：且补集 性质：，()()()UUUCABC AC B二、复习指导1新课标知识点梳理在高中数学中，集合的初步知识与常用逻辑用语知识，与其它内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，准确表述数学内容，更好交流的基础集合知识点及其要求如下：1集合的含义与表示(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用2集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -2-2 11集合的概念及其运算(一)(一)复习指导本节主要内容：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，会用集合的有关术语和符号表示一些简单的集合高考中经常把集合的概念、表示和运算放在一起考查因此，复习中要把重点放在准确理解集合概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上1集合的基本概念(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合中每个对象叫做这个集合的元素集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作(3)集合可分为有限集与无限集(4)集合常用表示方法：列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法(5)元素与集合间的关系运算；属于符号记作“”；不属于，符号记作“”2集合与集合的关系对于两个集合A与 B，如果集合 A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合 B包含集合 A，记作 AB(读作 A 包含于 B)，这时也说集合A 是集合 B 的子集也可以记作BA(读作 B 包含 A)子集有传递性，若AB，BC，则有 AC.空集是任何集合的子集，即A真子集：若AB，且至少有一个元素bB，而 bA，称 A 是 B 的真子集记作AB(或 BA)若 AB 且 BA，那么 A=B含 n(nN*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：2 的 n 次方个(二)解题方法指导例 1选择题：(1)不能形成集合的是()(A)大于 2 的全体实数(B)不等式 3x56 的所有解(C)方程 y=3x+1 所对应的直线上的所有点(D)x 轴附近的所有点(2)设集合62,23|xxxA，则下列关系中正确的是()(A)x A(B)xA(C)x A(D)xA(3)设集合,214|,412|ZZkkxxNkkxxM，则()(A)M=N(B)MN(C)MN(D)MN=例 2已知集合68NNxxA，试求集合A 的所有子集例 3已知 A=x 2x5，B=x m+1x2m1，B，且 BA，求 m 的取值范围例 4*已知集合A=x 1xa，B=yy=3x2，x A，C=zz=x2，xA，若 CB，求实数a的取值范围名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -3-3 12 集合的概念及其运算(二)(一)复习指导(1)补集：如果AS，那么 A 在 S中的补集sA=xxS，且 x A(2)交集：AB=xxA，且 x B(3)并集：A B=xxA，或 xB这里“或”包含三种情形：xA，且 xB；xA，但 xB；xB，但 xA；这三部分元素构成了AB(4)交、并、补有如下运算法则全集通常用U 表示U(A B)=(UA)(UB)；A(BC)=(A B)(A C)U(AB)=(UA)(UB)；A(B C)=(AB)(AC)(5)集合间元素的个数：card(AB)=card(A)+card(B)card(AB)集合关系运算常与函数的定义域、方程与不等式解集，解析几何中曲线间的相交问题等结合，体现出集合语言、集合思想在其他数学问题中的运用，因此集合关系运算也是高考常考知识点之一(二)解题方法指导例 1(1)设全集 U=a，b，c，d，e集合 M=a，b，c，集合 N=b，d，e，那么(UM)(UN)是()(A)(B)d(C)a，c(D)b，e(2)全集 U=a，b，c，d，e，集合 M=c，d，e，N=a，b，e，则集合 a，b可表示为()(A)M N(B)(UM)N(C)M(UN)(D)(UM)(UN)例 2如图，U 是全集，M、P、S为 U 的 3 个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为()(A)(MP)S(B)(M P)S(C)(MP)(US)(D)(M P)(US)例 3(1)设 A=xx2 2x3=0，B=xax=1，若 AB=A，则实数 a 的取值集合为 _；(2)已知集合M=xx a=0，N=xax1=0，若 MN=M，则实数 a 的取值集合为 _例 4定义集合AB=xxA，且 xB(1)若 M=1，2，3，4，5，N=2，3，6 则 NM 等于()(A)M(B)N(C)1，4，5 (D)6(2)设 M、P 为两个非空集合，则M(MP)等于()(A)P(B)M P(C)MP(D)M例 5全集 S=1，3，x3+3x2+2x，A=1，|2x1|.如果 sA=0，则这样的实数x 是否存在?若存在，求出 x；若不存在，请说明理由名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -4-4 例 题 解 析11 集合的概念及其运算(1)例 1 分析：(1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2)注意“”与“”以及 x 与 x的区别；(3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换解：(1)选 D“附近”不具有确定性(2)选 D(3)选 B方法一：NM21,21故排除(A)、(C)，又N43,43M，故排除(D)方法二：集合M 的元素.),12(41412Zkkkx集合 N 的元素214kxZkk),2(41而 2k 1 为奇数，k2 为全体整数，因此MN小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化例 2 分析：本题是用 xxP形式给出的集合，注意本题中竖线前面的代表元素x N解：由题意可知(6x)是 8 的正约数，所以(6x)可以是 1，2，4，8；可以的 x 为 2，4，5，即 A=2，4，5A 的所有子集为，2，4，5，2，4，2，5，4，5，2，4，5 小结：一方面，用 xxP形式给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P；另一方面，含n(nN*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：210nnnCCCnnnC2个例 3 分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题解：由题设知51221121mmmm，解之得，2m3小结：(1)要善于利用数轴解集合问题(2)此类题常见错误是：遗漏“等号”或多“等号”，可通过验证“等号”问题避免犯错(3)若去掉条件“B”，则不要漏掉A 的情况例 4*分析：要首先明确集合B、C 的意义，并将其化简，再利用CB 建立关于 a 的不等式解：A1，a，B=y y=3x2，xA，B=5，3a2 1,010,1,001,1,.,|222aaaaaCAxxzzC(1)当 1a0 时，由 CB，得 a213a2 无解；(2)当 0a1 时，13a2，得 a=1；(3)当 a1 时，a23a2 得 1a2 综上所述，实数a 的取值范围是 1，2小结：准确理解集合B 和 C 的含义(分别表示函数y=3x2，y=x2的值域，其中定义域为A)是解本题的关键 分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点若结合图象分析，结果更易直观理解12 集合的概念及其运算(2)例 1 分析：注意本题含有求补、求交两种运算求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律解：(1)方法一：UM=b，c，UN=a，c 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -5-5(UM)(UN)=，答案选 A 方法二：(UM)(UN)=U(MN)=答案选A 方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化答案选A(2)同理可得答案选B 小结：交、并、补有如下运算法则U(A B)=(UA)(UB)；A(BC)=(A B)(A C)U(AB)=(UA)(UB)；A(B C)=(AB)(AC)例 2 分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断解：阴影中任一元素x 有 x M，且 xP，但 xS，xUS由交集、并集、补集的意义x(M P)(US)答案选 D小结：灵活进行图形语言、文字语言、符号语言的转化是学好数学的重要能力例 3 解：(1)由已知，集合A=1，3，010aaaBAB=A 得 BA分 B=和1aB两种情况当 B时，解得 a=0；当1aB时，解得 a 的取值31,1综上可知 a 的取值集合为31,1,0(2)由已知，010,aaaNaMM N=MMN当 N=时，解得a=0；M=0 即 M N M a=0 舍去当1aN时，解得11aaa综上可知 a 的取值集合为 1，1 小结：()要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：(A B)A，(AB)B；(AB)A，(AB)B；AU A=，AUA=U；A B=AAB，AB=BAB 等()要注意是任何集合的子集但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用例 4 解：(1)方法一：由已知，得NM=xxN，且 xM=6，选 D 方法二：依已知画出图示选 D(2)方法一：MP 即为 M 中除去 MP 的元素组成的集合，故M(MP)则为 M 中除去不为MP 的元素的集合，所以选B方法二：由图示可知M=(MP)(MP)选 B名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -6-6 方法三：计算(1)中 N(NM)=2，3，比较选项知选B小结：此题目的检测学生的阅读理解水平及适应、探索能力，考查学生在新情境中分析问题解决问题的能力事实证明，虽然这类问题内容新颖，又灵活多样，但其涉及的数学知识显得相对简单和基础，要勇于尝试解题例 5*解：假设这样的x 存在，SA=0，0S，且 2x1 S易知 x33x22x0，且 2x 1=3，解之得，x=1当 x=1 时，S=1，3，0，A=1，3，符合题设条件存在实数x=1 满足SA=0 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -