2022年人教版高一数学必修一至必修四公式 .pdf

初高中衔接：和平方：)(22bababa和、差平方：2222)(bababa立方和、立方差：)(2233babababa和、差立方：2233333)(abbababaacbcabcbacba222)(2222;acbcabcbacba222)(2222acbcabcbacba222)(2222;acbcabcbacba222)(2222韦达定理：设acxxabxxcbxxx21212210ax的两根，那么为和必修一：123412nxAxBABABAnA（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即 是 的子集。、若集合 中有 个元素，则集合 的子集有个，注关系集合集合与集合00(2-1)23,.4/nAAA B CABBCACABABxBxAABABABABABx xAxBAAAAABBAAB真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则 是 的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，运算,/()()()-()/()()()()()()UUUUUUUUA ABBABABAABx xAxBAAAAAABBAABAABBABABBCard ABCard ACard BCard ABC Ax xUxAAC AAC AAUCC AACABC AC B，定义：或并集性质：，定义：且补集 性质：，()()()UUUCABC AC B恒成立问题：00)0(0ax;00)0(0ax22且上成立的条件为在且上恒成立的条件在aRacbxaRacbx指数函数：00naaaaaanaannnn，为偶数时：；当为奇数时：当；mnmnmnmnaaaa1)10*mNnma，且、，（)00()()0()()0(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr；，；、，；、，对勾函数单调区间公式：对勾函数基本形式：xpxy，在),0()0,(上)00(),(),(pppp，（），单调递减：单调递增：对数函数:1logaa,1loglogabba,01loga,)10(logaaNNaNa且、,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -)10(log1logbabaabba、且、,dcdccdcdbaabbaabloglogloglogNMNMNMNMaaaaaalogloglogloglog)(log(a、M、N0,且a1)1logln),0(loglneexxxeebmnbmnmanaanamloglogloglog)1,0(aRnmba且，、,)1,0(logloglogcacbaabbcca、且、(换底公式)函数图像（必须熟）表 1 指数函数0,1xyaaa对数数函数log0,1ayx aa定义域xR0,x值域0,yyR图象性质过定点(0,1)过定点(1,0)减函数增函数减函数增函数(,0)(1,)(0,)(0,1)xyxy时，时，(,0)(0,1)(0,)(1,)xyxy时，时，(0,1)(0,)(1,)(,0)xyxy时，时，(0,1)(,0)(1,)(0,)xyxy时，时，abababab表 2 幂函数()yxRpq00111pq为奇数为奇数奇函数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -pq为奇数为偶数pq为偶数为奇数偶函数第一象限性质减函数增函数过定点01（，）判断奇偶函数：若)()(xfxf则为偶函数，若)()(xfxf则为奇函数（奇函数0)0(f）判断单调函数：1在定义域内设21xx,化简)()(21xfxf,若)()(0)()(2121xfxfxfxf即则认为该函数在其定义域内单调递减，若)()(0)()(2121xfxfxfxf即则认为该函数在其定义域内单调递增。2若在定义域内设21xx，化简)()(21xfxf,若)()(0)()(2121xfxfxfxf即则认为该函数在其定义域内单调递增，若)()(0)()(2121xfxfxfxf即则认为该函数在其定义域内单调递减。（具体情况具体定）函数的周期：若)()(xfTxf，则 T 为函数周期。必修二：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是0 180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：)(11xxkyy直线斜率 k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的 截距 分别为,a b。一般式：0CByAx（A，B 不全为 0）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -注意：1 各式的适用范围 2 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：by（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：ax（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为 0 的常数）的直线系：000CyBxA（C 为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k 的直线系：00 xxkyy，直线过定点00,yx；（）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21/ll；方程组有无数解1l与2l重合（8）两点间距离公式：设1122(,),A xyB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121|()()ABxxyy（9）点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（10）两平行直线距离公式1在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。2设直线;,02211CByAxlCByAxl则两点间的距离为都相等）、BABACCd(2221二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为 r；（2）一般方程022FEyDxyx当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到 l 的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有相离与Cl0；相切与Cl0；相交与Cl0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200ryyxx去解直线与圆相切的问题，其中00,yx表示切点坐标，r表示半径。(3)过圆上一点的切线方程：圆222ryx，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为200ryyxx(课本命题)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。5、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h为斜高，l 为母线）chS直棱柱侧面积rhS2圆柱侧21chS正棱锥侧面积rlS圆锥侧面积)(2121hccS正棱台侧面积lRrS)(圆台侧面积lrrS2圆柱表lrrS圆锥表22RRlrlrS圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱2VShr h圆柱13VSh锥hrV231圆锥1()3VSSSS h台2211()()33VSSSS hrrRRh圆台（4）球体的表面积和体积公式：V球=343R；S球面=24R（5）关于平面的公理：公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质：既不平行，又不相交。异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：直线 a、b 是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a a，b b，则把直线a 和 b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点O 的位置无关。求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理1如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行），2如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行面面平行），名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -3垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理1如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行线面平行）2如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行线线平行）（9）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（10）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(zzyyxxd必修三：秦九韶算法：1221111.axaxxaxaxaaxaxannnnnnn回归直线方程：必修四：正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为36036090,kkk第二象限角的集合为36090360180,kkk第三象限角的集合为360180360270,kkk第四象限角的集合为360270360360,kkk终边在x轴上的角的集合为180,kk终边在y轴上的角的集合为18090,kk终边在坐标轴上的角的集合为90,kk3、与角终边相同的角的集合为360,kk4、关于扇形的计算公式：RlRRSRRl2121222222；l弧长圆心角（弧度制R扇形半径S面积弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.3名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -)0(tan;cos;sinxxyrxry（x 为该点到 y 轴的距离，y 为该点到 x 轴的距离22yxr）象限一二三四0 643232 43 65 23 2sin+-sin02122231 2322210-1 0cos+-+cos1 2322210-21-22-23-1 01 tan+-+-tan0331 3-3-1-3300222222cos1tan1tansincoscos1sinsin1costancossintancossin1cossin；诱导公式：(Zk)sinsin(cos)2sin(cos)2sin(sin)sin(sin)sin(sin)2sin(）；kcos)cos(sin)2cos(sin)2cos(cos)cos(cos)cos(cos)2cos(；ktan)tan(tan)tan(tan)tan(tan)2tan(；k函数形式周期对称中心对称轴方程函数形式周期对称中心对称轴方程)sin(xAy2），0(k使kx)(求出的 x即为对称中心的横坐标2kx使)(x=2k求出的 x 即为对称轴的横坐标)cos(xAy2），02(k使2)(kx求出的 x即为对称中心的横坐标kx使)(x=k求出的x 即为对称轴的横坐标函数形式单调递增区间单调递减区间奇偶性xysin)(2222Zkkk，)(23222Zkkk，奇xycos)(22Zkkk，)(222Zkkk，偶名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -xytan)(22Zkkk，无单调递减区间奇（注：以上两个表格中的k 皆属于 Z）和差公式：tantan1tantan)tan(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(；)4tan(tan1tan1)cossin(cossin222222babbaababa（辅助角公式）万能公式：（不考，也不常用，作为了解）)sin(cossin2tan12tan2tan2tan12tan1cos2tan12tan2sin222222baba；半角倍角公式：倍角：)sin)(cossin(cossincos2costan1tan22tancossin22sin222；22222)cos(sincossin2cossin2sin1sin211cos22cos；22cos1sin22cos1cos2sin21cossinsin22cos1cos22cos12222；半角：cos1sinsincos1cos1cos12tan2cos12cos2cos12sin；222)2cos2(sinsin12sin2cos12cos2cos1；积化和差公式：（高一不要求掌握）)sin()sin(21sincos)sin()sin(21cossin；)()cos(21sinsin)cos()cos(21coscoscoa；和差化积公式：（高一不要求掌握）2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsin；(三角函数线配图)2sin2sin2coscos2sin2cos2coscos；三角函数线：sin，cos，tan三角函数图像（需记牢）sinyxcosyxtanyx图象TMAOPxy函数性质名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数在2,2kkk上 是增函数；在2,2kkk上是减函数在,22kkk上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴向量：加法运算：懂）（在平行四边形中可看（在三角形中可看懂；ACADABACBCAB三角形不等式：ababab交换律：abba；结合律：abcabc；00aaa坐标运算：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy向量减法运算：在三角形中可看懂）(BCABAC坐标运算：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy设、两点的坐标分别为11,x y，22,xy，则1212,xxyy向量数乘运算：aa；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a运算律：aa；aaa；abab名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -坐标运算：设,ax y，则,ax yxy分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,xy，当12时，点的坐标是1212,11xxyy平面向量的数量积：cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0性质：设a和b都是非零向量，则0aba b当a与b同向时，a ba b；当a与b反向时，a ba b；22a aaa或aa aa ba b运算律：a bb a；aba bab；abca cb c坐标运算：设两个非零向量11,axy，22,bxy，则1212a bx xy y若,ax y，则222axy，或22axy设11,axy，22,bxy，则12120abx xy y设11,axy，22,bxy，则01221yxyxba设a、b都是非零向量，11,ax y，22,bxy，是a与b的夹角，则121222221122cosx xy ya ba bxyxy空间几何：正四面体对棱垂直，若设正四面体棱长为a，其外接球半径为a46，其内接球半径为a126，其棱切球半径为a42。重心：各边中线的交点。垂心：各边垂线的交点)(22222ADABBDAC222cbalBacAbcCabSsin21sin21sin21c b a l b a A B C c D A B C 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -