广东省普宁市勤建学校2021届高三数学上学期第一次调研考试试题PDF.pdf

勤建学校高三年级月考数学试卷第页共 4 页1勤勤建建学学校校 2020-2021 学学年年度度第第一一学学期期高高三三年年级级第第一一次次调调研研考考试试数数学学试试卷卷一一、单单选选题题:本本大大题题共共 8 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 40 分分.在在每每小小题题给给出出的的 4 个个选选项项中中，有有且且只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求.1.设集合42xxM，集合2x1 xN，则NCM=（）A.12-xxB.01-2-，xC.-2x xD.20 xx2下列函数中，值域是),0(的是()Ay x22x1Byx2x1(x(0，)Cy1x22x1(xN)Dy1|x1|3设命题 p：xR，x2x10，则p为()AxR，x2x10BxR，x2x10CxR，x2x10DxR，x2x104函数xxxf191)(2是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数5若函数)(xf和)(xg都是奇函数，且2)()()(xbgxafxF在区间),0(上有最大值 5，则)(xF在区间)0,(上()A有最小值5B有最大值5C有最小值1D有最大值36若函数32)(axxf在区间),1 上不单调，则 a 的取值范围是()A1，)B(1，)C(，1)D(，17已知函数)(xf为奇函数，当0 x时，xxxf2)(，则当0 x时，函数)(xf的最大值为()A14B14C12D128函数25axxy在),1(上单调递增，则 a 的取值范围是()A3aB3aC3aD3a二二、多多选选题题:本本大大题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分.在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求.全全部部选选对对的的得得 5 分分，有有选选错错的的得得 0 分分，部部分分选选对对的的得得 3 分分.9下列命题：其中真命题的序号为()A.“若 ab，则 ab”的否命题；B.“若 a1，则 ax2x30 的解集为 R”的逆否命题；C.“周长相等的圆面积相等”的逆命题；D.“若2x 为有理数，则 x 为无理数”的逆否命题勤建学校高三年级月考数学试卷第页共 4 页210.下列四个函数中，最小值为 2 的是（）A.)20(sin1sinxxxyB.)1,0(ln1lnxxxxyC.5622xxyD.xxy4411下列说法错误的是（）A.若0 xy，则|xyxyB.若220 xy，则0 x 或0y C.2abx是xab的充分不必要条件D.“0 x，1xex”的否定形式是“0 x，1xex”12.定义在 R 上的函数)(xf满足)()2(),()()(xfxfyfxfyxf且)(xf在1,0上是增函数，给出下列真命题的有（）A.)(xf是周期函数；B.)(xf的图象关于直线2x对称；C.)(xf在1,2上是减函数；D.)0()2(ff三三、填填空空题题:本本大大题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分.13.设p：ln(2x1)0，q：(xa)x(a1)0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_14.若函数bxfx22)(有两个零点，则实数 b 的取值范围是_.15已知命题 p：02),1,0(2mxxx；命题 q：)212(log)(22mxxxf在1，)上单调递增若pq为真命题，则实数 m 的取值范围为_16.已知函数)1lg()(xxf，若)()(1bfafba且，则ba2的取值范围为_四四、解解答答题题:本本大大题题共共 6 小小题题，共共 70 分分.解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程、演演算算步步骤骤等等.17.（10 分）已知数列 na为公差不为0的等差数列,满足15a,且2930,a a a成等比数列.()求 na的通项公式；()若数列 nb满足1nnnbba(nN),且13b,求数列1nb的前n项和nT.18.(12 分）在ABC中，已知内角,A B C所对的边分别为,a b c，向量(3,2sin)mB，向量(cos,cos2)nBB，且/mn，角B为锐角。（1）求角B的大小；（2）若2b，求ABC面积的最大值。勤建学校高三年级月考数学试卷第页共 4 页319.（12 分）已知几何体ABCDEF中，/ABCD，/FCEA，ADAB，AE 面ABCD，2ABADEA，4CDCF（1）求证：平面BDF 平面BCF；（2）求二面角 EBDF 的余弦值20.（12 分）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图（如图）.（I）从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取 5 户.若将频率视为概率，求至少有两户购买量在3，4）（单位：kg)的概率是多少？若抽取的 5 户中购买量在3，6（单位：kg)的户数为 2 户，从 5 户中选出 3 户进行生活情况调查，记 3 户中需求量在3，6（单位：kg)的户数为，求的分布列和期望；（II）将某户某天购买甲类物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于 0.5kg 时，则将该居民户称为“迫切需求户”，若从小区某天购买甲类物资的居民户中随机抽取 10 户，且抽到 k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求 k 的值.ABCDEF勤建学校高三年级月考数学试卷第页共 4 页421.（12 分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，(0,1)F，(,1)()N ttR，已知MFN是以FN为底边，且边MN平行于y轴的等腰三角形.（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）已知直线l交x轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线/PBy轴，点P关于点B的对称点为点Q，试判断点A、Q、O三点是否共线，并说明理由.22.（12 分）已知函数2()(3)(2)xf xxea x，aR（1）讨论()f x的单调性；（2）若1x，2x是函数()f x的两个不同零点，证明：124xx.勤建学校高三年级月考数学试卷第页共 4 页1勤勤建建高高三三第第一一次次调调研研考考试试数数学学参参考考答答案案1-8ADCBCBBC9ABC10AD11ACD12ACD13.10,214.(0,2)1531,416.2 23,17、【解解析析】()设等差数列 na的公差为d(0d),依题意得2111298adadad2 分又15a,解得2d,所以23nan.4 分()依题意得123nnbbn,即121nnbbn(2n 且nN)所以 112211nnnnnbbbbbbbb6 分 21 32121532nnnn 22nn.8 分对13b 上式也成立,所以2nbn n,即111 11222nbn nnn,10 分所以1111111112324352nTnn1 3112 212nn.12 分18（1）解解法法一一：由/mn得3cos2=2sincosBBB，-1 分即sin23cos2BB-2 分所以tan23B ，-3 分B为锐角，2(0,)B，-4 分【没没有有此此步步骤骤，本本得得分分点点不不给给分分】223B，-5 分即3B-6 分解解法法二二：由/mn得3cos2=2sincosBBB，-1 分即sin23cos2BB-2 分所以sin2+3cos2=0BB即2sin 2+=03B，-3 分2+=3Bk，即=+62kB-4 分【没没有有此此步步骤骤，本本得得分分点点不不给给分分】B为锐角，-5 分【没没有有此此步步骤骤，本本得得分分点点不不给给分分】所以3B-6 分（2）解解法法一一：,23Bb，由余弦定理222cos2acbBac，-7 分得2240acac-8 分又222acac代入上式得4ac，-9 分勤建学校高三年级月考数学试卷第页共 4 页2当且仅当2ac时取等号成立.-10 分【没没有有此此步步骤骤，本本得得分分点点不不给给分分】1133sin32224ABCSacBacac，-11 分故ABC的面积最大值为3.-12 分解解法法二二：,23Bb，由正弦定理2sinbRB，得423R-7 分所以42sinsin3aRAA，-8 分4422sinsinsin333cRCCA-9 分由14 32sinsinsin233SacBAA2 33=sin 2363A-10 分因为72666A，则当2=62A即=3A时，-11 分max2 33333S，故ABC的面积最大值为3.-12 分19.（1）证明：由已知可得2 2BDBCBCBDCDBCBD,222-1 分/FCEA，且AE 面 ABCD，FCABCD 面，-2 分BCABCD 面，BDFC，-3 分FCBCC，BCBCF 面，FCBCF 面-4 分【步步骤骤不不全全，本本得得分分点点不不给给分分】BDBCF 面-5 分BDBDF且面，故BDFBCF面面-6 分（2）解解法法一一（向向量量法法）：分别以 DA、DC 所在直线为x轴、y轴，以 D 为垂足作面 DAC 的垂线 DZ 为z轴，建系如图-7 分(0,0,0),(2,2,0),(2,0,2)(0,4,4)DBEF，则(2,2,0),(2,0,2),(0,4,4)DBDEDF,-8 分设面 DEB 的法向量为(,)mx y z，则02202200m DBxyxzm DE ，取1x，则1yz，故(1,1,1)m -9 分ABCDEFyzxABCDEFyzxABCDEF勤建学校高三年级月考数学试卷第页共 4 页3设面 DBF 的法向量为(,)nx y z，则02204400n DBxyyzn DF ，取1x，则1,1yz，故(1,1,1)n-10 分则1cos,3|m nm nmn ，-11 分由图可得二面角 E-BD-F 的余弦值为13-12 分【注注：右右图图建建系系方方法法的的法法向向量量(1,1,1)m 和和(1,1,1)n】解解法法二二（几几何何法法）：由（1）得DBFBC 面，则DBFB，取 DB 中点 M，DF 中点 N，连接 EM，MN（如图）则/MNBF，即MNDB.-7 分2 2EBEDBD，EMBD，则EMN为二面角 E-BD-F 的平面角.-8 分易得6EM，2211622MNBFBCFC，-9 分由 EAHN 为矩形，则2 2ENAH-10 分2226681cos232 66EMMNENEMNEM MN，-11 分故二面角的余弦值为13-12 分【没没有有此此步步骤骤，本本得得分分点点不不给给分分】20.解析：（I）由题意，事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 1 户，购买量在)43，”发生的概率为41p.1 分记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 5 户，则至少有两户购买量在)43，”为A，则12847)411()411(4115415CAP）（.3 分随机变量所有可能的取值为 0，1，2.则23353010CPC（）,113235315C CPC（）,22351210CPC（）,ABCDEFABCDEF勤建学校高三年级月考数学试卷第页共 4 页4012）（P10353101所以541012531)(E7 分（II）每天对甲类物资的购买量平均值为5.315.05.520.05.425.05.330.05.210.05.1（kg）8 分则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为4，6，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为35.0p，若从小区随机抽取 10 户，且抽到X户为“迫切需求户”，则)35.0,10(BX，故10,1,0,)1()(1010kppCkXPkkk，若 k 户的可能性最大，则)1()()1()(kXPkXPkXPkXP，得kkkkkkkkkkkkCCCC9111010101111101010)65.0()35.0()65.0()35.0()65.0()35.0()65.0()35.0(，解得85.385.2k，由于*Nk,故3k.12 分21.（1）【解解法法 1】设动点),(yxM1 分因为MN边平行于y轴，所以MN垂直于1y ，即1MNy2 分因为MFN是以FN为底边的等腰三角形，故MNMF故：22(1)1xyy，即222(1)(1)xyy化简得24xy3 分因为)0,0(M时，M,F,N 三点共线，无法构成三角形，所以yx42）（0y4 分【解法 2】由题意可知，(,1)N t 为1y 上任一点，1 分因为MN边平行于y轴,所以MN垂直于1y ，又因为MFN是以FN为底边的等腰三角形，MNMF2 分所以点M的轨迹是以(0,1)F为焦点的抛物线（除去原点）3 分故点M的轨迹C的方程为：24xy（0y）.4 分【解法 3】设),(yxM，因为MFN是以FN为底边的等腰三角形，故MNMF1 分(,1)N t，)1,0(F,则NF的中点)0,2(tD，FNMD 2 分因为 t=0 时，则)0,0(M，此时 M,F,N 三点共线，无法构成三角形，所以0t所以tkFN2，则2tkMD，则 MD 的方程为)2(2txty因为MN边平行于y轴NM,的横坐标相同，则tx，由消 t 得yx423 分，又因为0t所以yx42）（0y4 分（2）【解解法法 1】A、Q、O 三点共线，理由如下：勤建学校高三年级月考数学试卷第页共 4 页5设(,0)P m，200(,)4xA x0(0)x 5 分12yx A点处切线的斜率为：0012x xyx6 分由2000042xxxm，7 分解得02xm，即0(,0)2xP,8 分200(,)216xxB，200(,)28xxQ9 分2220000000848422AQxxxxkxxx，10 分2000842OQxxkx11 分AQOQkk，即 A、Q、O 三点共线12 分（2）【解解法法 2】A、Q、O 三点共线，理由如下：因为直线l与曲线 C 相切，所以其斜率必存在，故设其方程为：ykxm，易知5 分由24ykxmxy，消y得：2440 xkxm，6 分令0，即216160km，得：2mk 2:l ykxk8 分令0y，得(,0)P k2(,)4kB k，故2(,)2kQ k9 分又由22440 xkxk，得2xk，即2(2,)Ak k10 分22222AQkkkkkk，20202OQkkkk11 分AQOQkk，即 A、Q、O 三点共线12 分22解解：（1）解：易知：xR，由2()(3)(2)xf xxea x得：()22xfxxea1 分（i）当0a 时，20 xea，令()0fx 得，2x.当,2x 时，()0fx；当2,x时，()0fx()f x在,2单调递减；在2,)单调递增.2 分（ii）当0a 时，令()0fx 得：12x，或2ln(2)xa勤建学校高三年级月考数学试卷第页共 4 页6当ln(2)2a，即22ea 时，当,x 时，()0fx()f x在,单调递增.3 分当ln(2)2a，即202ea时，当,ln2xa 时，()0fx；当ln2,2xa时，()0fx；当2,x时，()0fx.()f x在,ln2a和2,单调递增,在ln2,2a单调递减.4 分当ln(2)2a，即22ea 时，当,2x 时，()0fx；当2,ln2xa时，()0fx；当ln2,xa时，()0fx.()f x在,2和ln(2),a单调递增,在2,ln2a单调递减.5 分综上所述：当22ea 时，()f x在,2和ln(2),a单调递增,在2,ln2a单调递减；当22ea 时，()f x在,单调递增；当202ea时，()f x在,ln2a和2,单调递增,在ln2,2a单调递减；当0a 时，()f x在,2单调递减；在2,)单调递增.6 分（2）方方法法一一：证明：当2x 时，22fe，2x 不是()f x的零点当2x 时，由()0f x 得：23(2)xxeax 7 分令 23,2(2)xxeh xxx，则2331()(2)xxeh xx当,2x 时，23(2)0,110 xxxe，0h x()h x在,2单调递减.又2x()0h x恒成立当2,x时，0h x()h x在2,单调递增.8 分又(3)0h根据函数()yh x以上性质，画出()yh x的草图勤建学校高三年级月考数学试卷第页共 4 页7（如图所示）：由图可知：12,x x是函数()f x的两个不同零点直线ya 与()yh x的图象有两个交点0a，解得：0a 9 分方方法法二二：()(2)(2)xfxxea当0a 时，()(3)0 xf xxe，只有一个零点，不合题意;7 分22(2)(23)0fee，ln(2)2(ln(2)(ln(2)3)(ln(2)2)afaaeaa22(2)(ln(2)3)(ln(2)2)(ln(2)3)1aaaaaa 由（1）知，22ea ，()f x的极大值为(2)0f，所有()f x至多有 1 个零点，不合题意；22ea ，()f x单调递增，所有()f x至多有 1 个零点，不合题意；202ea，()f x的极大值为(ln(2)0fa，所有()f x至多有 1 个零点，不合题意；8 分当0a 时，()f x在(,2)上单调递减，在2,上单调递增，第第一一种种说说明明方方法法：2(2)0fe，(3)0fa，故()f x在(2,3)上存在一个零点1x，取b满足2b 且1ln2ab,1212(1)(1 3)(1 2)(2)(1)bbf bbea bbea b 223(2)(1)(2)()0222abba babbab b，故()f x在(,2)上有唯一的零点，所以()f x若有两个零点，当且仅当0a.（未取点说明，不扣分）9 分第第二二种种说说明明方方法法：2(2)0fe，当x ，存在()0f x，(写)(xf同样给分）当x ，存在()0f x，(写)(xf同样给分）所以()f x若有两个零点，当且仅当0a.9 分不妨设：122xx第一种证法：要证：124xx，即要证：124xx由（1）知，当0a 时，()f x在,2单调递减即要证：124f xfx又 120f xf x 即要证：224f xfx，22x 即要证：22240,2f xfxx10 分构造函数：()()(4),(2,0)g xf xfxxa，则44()(2)(2)(2)(2)(2)xxxxg xxeax eaxee11 分当2,x时，42,x242,xxee ee，40 xxee()0g x()g x在2,单调递增勤建学校高三年级月考数学试卷第页共 4 页8又22x 2()(2)0g xg，即22240,2f xfxx故，原不等式成立.12 分第二种证法：先证2lnln,0,0bababababa10 分不妨设ba，)1()1(2ln1)1(2ln)(2lnlnxxxbabababababa其中1bax。令),1(1)1(2ln)(xxxxxg则,)1()1()1(41)(222xxxxxxg)(0)(,1xgxgx在),1(上单调递增，故0)1()(gxg，故不等式成立。11 分假设421 xx1)3ln()3ln()3()3()3ln()3ln()3ln()3ln(0)4)()3()3()2()3()2()3(2121211222112121212222112121xxxxxxxxxxxxxxxxaexexxaexxaexxxxx由 可知41)3ln()3ln()3()3(2)3()3(21212121xxxxxxxx，矛盾，假设不成立。12 分明确写出对数平均值不等式 1 分，证明对数平均值不等式 1 分，使用对数平均值不等式证明本题 1 分，共 3 分。第三种证法：使用第（2）问方法一中)(xh的单调性，构造函数)4()()(xhxhxF，与第一种证法类似可证。