微积分史之欧拉-终版.pdf
微积分史 The History of Calculus 第四讲欧拉 欧拉生平 内容提要 重要贡献 结语 重要贡献概览 对微积分的贡献 对几何的贡献 对复变函数的贡献 对数论的贡献 欧拉与变分法 欧拉的优秀品质 莱昂哈德 欧拉 (Leonhard Euler) 17071783, 瑞士数学家, 自然科学家 欧拉1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔一个牧师家庭, 父亲 最初希望他学神学, 但后来发现欧拉在数学方面很有天分, 在朋友约翰 伯努利 (Johann Bernoulli, 当时欧洲最优秀的 数学家) 的建议下, 开始学数学. 欧拉13岁就进入了巴塞尔大学, 主修哲学和法律, 但在每周 六下午跟约翰学习数学; 15岁在巴塞尔大学获得学士学位, 翌年 (1723年) 取得了他的哲学硕士学位. 之后, 欧拉遵从他父亲的意愿进入了神学系, 1726年, 欧拉 完成了他的博士学位论文. 欧拉28岁左眼失明, 59岁时双目失明, 他完全是依靠惊人的 记忆和心算能力以及超强的意志力进行研究与写作. 成长经历 欧拉生平 1727年, 欧拉受俄国女皇叶卡捷琳娜一世邀请, 到俄国皇家科 学院医学和生理学部工作. 1731年, 获得俄国皇家科学院物理学教授的职位. 1733年, 成为俄国皇家科学院数学所所长. 1735年, 在俄国皇家科学院地理所担任职务, 协助编制俄国第 一张全境地图, 也因此累瞎了一只眼睛. 1741年, 为躲避俄国动乱, 欧拉到德国柏林科学院就职. 1755年, 成为瑞典皇家科学院的外籍成员. 1766年, 欧拉因无法忍受德国宫廷的关系, 再次回到俄国. 这 一年他双目失明. 欧拉的科学生涯主要是在 俄国皇家科学院 (圣彼得堡科学院) (17271741; 17661783) 和 德国柏林科学院 (17411766) 度过的. 工作经历 欧拉生平 重要贡献 重要贡献概览 欧拉还解决了著名的组合问题：柯尼斯堡七桥问题. 在数 学的许多分支中都常常见到以他的名字命名的重要常数、 公式和定理: 如初等几何的欧拉线, 多面体的欧拉定理, 立 体解析几何的欧拉变换公式, 四次方程的欧拉解法, 欧拉常 数等等.欧拉 欧拉作为一名极具影响力的数学家和自然科学家, 他不仅 在数学的诸多领域, 如实(复)分析、几何、复变函数、数论 等方面做出了巨大的贡献, 更把整个数学推至物理领域, 他 称得上刚体力学和流体力学的奠基者, 弹性系统稳定性理论 的开创人. 欧拉于1748年撰写了经典著作无穷小分析引论, 被 认为是分析学的基石. 对微积分的贡献 欧拉接过了牛顿和莱布尼茨的流数和微分方法, 使它们成 为数学的一个更一般的分支, 打那以后, 这一分支就被称作 “分析学”- 对无穷过程的研究. 重要贡献 值得一提的, 欧拉在无穷小分析引论 中给出了第一个关于函数概念的正式定 义, 他使用记号 f(x) 表示 f 是 x 的函数, 并重新将微积分作为函数理论, 而非几 何曲线的研究方法. 约翰 伯努利曾这样赞许自己这位学生在分析方面的青出于蓝 : “ 我介绍高等分析时, 它还是个孩子, 而您正在将它带大成人.” 2 2 1 1111 1., 49166 k k (莱布尼茨级数) (雅各布伯努利难题) 1 1 ( 1)111 1., 213574 k k k 欧拉在无穷级数求和方面的才智是有目共睹, 比如他用 一种统一的原理求解出了莱布尼茨级数和雅各布 伯努 利难题: 重要贡献 对微积分的贡献 - 一个引人注目的求和 欧拉求解这些无穷级数的和的思路如下: 欧拉首先给出下面的结果: 引理 如果 P(x) = 1 + Ax + Bx2 + Cx3 + + = (1+1x) (1+2x) (1+3x) , 则无论这些因式的 “数目是有限数还是无限数” , 都有 , k A 22 2 , k AB 33 33 , k AABC 4422 4424 , k AA BACBD 等等. 重要贡献 对微积分的贡献 - 一个引人注目的求和 欧拉考察函数( )cossin, 44 P xxx 将它展开成级数形式: 2345 2345 2345 ( )1. 442!43!44!45! P xxxxxx - P(x)的根的负倒数之和 - P(x)的根的负倒数平方之和 - P(x)的根的负倒数立方之和 根据引理, 可确定这个无穷级数的系数为 234 4 234 , , , , . 442!43!44! ABCDx 重要贡献 对微积分的贡献 - 一个引人注目的求和 然后, 令 0( )cossin, 44 P xxx 得到 tan1, 4 x 其根为 x = 1, 3, 5, 7, 9, , 这些根的负倒数就是 引理中的k, 所以 12345 1111 1, , , , , . 3579 按照引理, , k A 于是欧拉得到了莱布尼茨级数： 1 1 ( 1)111 1. 213574 k k k 利用引理中的第二个关系式: 22 2 , k AB 欧拉先得到奇数平方的倒数之和： 22 2 2 1 1 ()2(), (21)4328 k k 因此, 欧拉很容易回答雅各布关于所有平方倒数之和的问题. 222 111 1111 (21)4 kkk kkk 重要贡献 对微积分的贡献 - 一个引人注目的求和 2 22 11 141 . 3(21)6 kk kk 12 3 1 ( 1) , (21)32 k k k 重复利用这个引理欧拉推出了一系列级数的求和公式, 例如 215 45 11 1( 1)5 , 90(21)1536 k kk kk 等等. 56 1 0 (ln )31 , 1252 x dx x 0 sin , 2 xdx x 1 22 0 sin( ln ) cos( ln )12 arctan. ln21 pxpxp dx xpq 1 0 sin(ln ) , ln4 x dx x 欧拉是历史上最重要的求积专家之一. 被积函数越是奇特, 他做的越是得心应手. 在他的著作中随处可见下面一类非 同寻常的例子： 对微积分的贡献 - 一个积分的计算 重要贡献 作为一个奇特例子的典型, 我们考察欧拉对下面积分的求 积过程： 1 0 sin(ln ) . ln x dx x 欧拉采用一个备受推崇的策略：只要可能就引入一个无穷 级数： 对微积分的贡献 - 一个积分的计算 重要贡献 357 (ln )(ln )(ln ) ln sin(ln ) 3!5!7! lnln xxx x x xx 246 (ln )(ln )(ln ) 1 3!5!7! xxx 用积分的无穷级数代替无穷级数的积分, 得到 1 0 1111 246 0000 sin(ln ) ln 111 1(ln )(ln )(ln ) 3!5!7! x dx x dxx dxxdxxdx 形如的积分不禁使人联想到前边讲到约翰 伯努利积分公式, 而欧拉立即看出其递归形式： 1 0 (ln )nxdx 对微积分的贡献 - 一个积分的计算 重要贡献 11 22 00 (ln ) (ln )2 ln2 22!,xdxxxxxx 1 4432 0 1 0 (ln ) (ln )2 (ln )12 (ln ) 24 ln24 244!, xdxxxxxxx xxx 1 6 0 (ln )7206!,xdx 以此类推. 将此结果代入上边的积分, 欧拉得到 1 0 sin(ln )2!4!6! 1 ln3!5!7! x dx x 111 1. 3574 1743年, 欧拉关于n阶常系数线性齐次方程的完整解法, 实现了高阶常微分方程求解的重要突破. 对于n阶常系数 方程 对微积分的贡献 - 微分方程的求解 重要贡献 1728年, 欧拉在一篇题为将二阶微分方程化为一阶微 分方程的新方法的论文中, 引进著名的指数代换将三 类相当广泛的二阶常微分方程化为一阶方程, 这是二阶 常微分方程系统研究的开始. 23 23 0, n n dyd yd yd y AyBCDL dxdxdxdx 欧拉引进指数代换: y = eqx(q为常数) 得到所谓的特征方程: A + Bq + Cq2+ Dq3+ + Lqn= 0. 当 q 是该方程的一个实单根时, aeqx原微分方程一个特解; 对微积分的贡献 - 微分方程的求解 重要贡献 当 q 是特征方程的 k 重根时, 欧拉用代换 y = eqxu(x) 求得 y = eqx(1+ 2 x + 3 x2+ 4 q3+ + kxk1) 为包含k 个任意常数的解. 欧拉指出: n 阶方程的通解是其 n 个特解的线性组合. )(. 1 )1(1 1 )( xfypyxpyxpyx nn nnnn 欧拉是最早明确区分“通解”和“特解”的数学家. 其中p1, p2, , pn为常数, 欧拉指出可以运用指数代换 x = et 或 t = lnx 转化为以 t 为自变量常系数微分方程, 进而求解. 对于下边的变系数欧拉方程: 17341735年, 欧拉提出用 “ 积分因子法 ” 求解下面 的一阶常微分方程: Pdx + Qdy = 0. 对微积分的贡献 - 微分方程的求解 重要贡献 即：将方程乘以一个叫“ 积分因子 ” 的量, 而使它成为 “ 恰 当方程 ” (方程左端 Pdx + Qdy 恰好是某个函数 z = f (x, y) 的全微分) , 并指出如果方程是恰当的, 它就可以积分. 18世纪50年代后期, 欧拉开始大量使用级数作为微分 方程的解, 并研究了微分方程的级数解法. 值得提出的是, 偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文 是欧拉18世纪30年代写的方程的积分法研究. 欧拉还是数值计算的欧拉近似法的创始人. 众所周知, 阿基米德估计值的方法是画出圆的内接 (和 外切) 正多边形, 然后用这两个多边形的周长估计圆的周 长. 他从内接和外切正方形开始计算, 然后将边数加倍到 12边、24边、48边, 最后直至96边. 他证明了： 从而 精确到两位小数的值就是3.14. 1 3 7 10 3 71 任意圆的周长与直径的比值小于而大于, 对微积分的贡献 - 的欧拉估值 重要贡献 利用阿基米德的思想, 韦达 (Vieta) 于1579年用6216= 393216边的正多边形, 求出 精确到9位小数的值. 这种几何近似的方法在鲁道夫 (Ludolf) 手里达到了顶峰. 他用262边的正多边形计算 精确到35位小数. 不幸的是, 这个计算过程中的每一次新的近似都需要求一个 新的平方根. 阿基米德的内接96边形的的估计值为 48 2223 , 在计算这5重平方根以后, 才得到仅有2位小数的精度; 对微积分的贡献 - 的欧拉估值 重要贡献 而韦达所求的17重平方根, 只得到9位小数的精度; 鲁道夫的近似值需要手工计算60重平方根, 而且每次计算都 需要取35位小数. 欧拉将这种工作比喻为大力神海格力斯 式的笨重劳动. 欧拉考虑使用詹姆斯. 格雷戈里发现的反正切的无穷级数: 357 arctan. 357 xxx xx 对于 x = 1, 这个级数变成莱布尼茨级数 1111 arctan11, 43579 对微积分的贡献 - 的欧拉估值 重要贡献 它对计算的近似值毫无价值, 因其收敛速度极为缓慢. 但 如果我们代入一个接近于0的x值, 其收敛速度就会比较快. 1111 arctan(), 6333 3 35 9 3 所以, 6111 (1), 3 35 97 273 这是对于莱布尼茨级数的改进, 因为各项的分母增长非常快. 但另一方面, 并不是那么小, 而且这个级数包含平方 根, 这本身需要取近似值. 1/3 对微积分的贡献 - 的欧拉估值 重要贡献 对于18世纪的数学家欧拉来说, 理想的计算公式是使用格雷 戈里无穷级数, 取充分接近于0的x值, 同时避免求平方根. 这 在欧拉1779年的一篇论文里有明确描述. 他的关键发现是： = 20 arctan(1/7) + 8 arctan (3/79), 欧拉利用 tantan tan(), 1tantan 得到 tantan arctan, 1tantan 令 tan= x/y, tan= z/w, 并化简得 arctanarctanarctan, xzxwyz ywywxz 对微积分的贡献 - 的欧拉估值 重要贡献 在上式中, 欧拉代入一系列巧妙的有理数, 最后得到 13 20arctan8arctan 779 这个 的表达式用来近似值是极为合适的, 因为它不包含 平方根, 同时使用相对较小的数字1/7和3/79足以获得快速 的收敛. 例如, 仅计算每个级数的前六项, 可得到 13 20arctan8arctan 779 = 3.14159265357. 311311 1(1/ 7)(1/ 7)3(3 / 79)(3 / 79) 20.8. 731179311 对微积分的贡献 - 的欧拉估值 重要贡献 这里 精确到了12位小数, 比韦达通过17重嵌套平方根所得 结果精度高得多. 事实上, 欧拉宣称曾经使用这样的方法求出 精确到20位 小数的近似值, “ 而全部计算花费的时间仅约1小时 ”. 回忆 一下, 可怜的鲁道夫毕生致力于他的乱作一团的平方根的计 算, 才使 精确到了35位小数. 为此不禁想把欧拉的绰号改 为 “效率的化身”. 欧拉还最早引入了二重积分, 定义了伽马函数和贝塔函数, 证明了椭圆积分的加法定理, 等等. 伽马函数的思想来源于欧拉将阶乘扩充到非整数值. 这一 思想与牛顿的广义二项展开式相同. 对一个包含自然数的公式进行插值是指寻找一个定义在更 大范围内的表达式, 当输入为正整数时, 结构同原公式一致. 对微积分的贡献 - 伽马函数 重要贡献 欧拉于1729年接受了求前 n 个自然数乘积的类似挑战. 他 要寻找一个对全部正实数定义的公式, 当输入n 为正整数时, 其结果为 n!. 用现代术语表述, 就是寻找阶乘的插值. 欧拉的第一个解出现在1729年写给哥德巴赫 (Goldbach) 的信中. 在信中他给出了一个看似奇特的无穷乘积 111 1 2233445 1234 xxxxxxx xxxx (3) 欧拉注意到1655年沃利斯 (Wallis) 用插值法证明了 据此公式, 欧拉推出了 于是, 我们得出结论: (1/2)! 的 “自然” 插值是非常不自然的 12 44 66 88 10 23 35 57 79 9 3 3 5 5 7 7 9 94 , 2 4 4 6 6 8 8 10 1 . 242 / 2. 对微积分的贡献 - 伽马函数 重要贡献 当欧拉代入 x = 1/2 (即计算 (1/2)! ), 并化简得到 用 x 表示此表达式. 可以看出: 若 n 是自然数, 则 n = n!. 由于结果中 的出现, 欧拉进而把研究转向积分, 很快得到 了替代公式: 这一结果比 (3) 简洁而更为雅致. 可以通过分部积分、洛必 达法则和数学归纳法证明 当使用积分后, 欧拉不需要借助沃利斯公式就能证实: 1 0 ( ln ), x xtdt (4) 1 0 ( ln )!. n ntdtn 对微积分的贡献 - 伽马函数 重要贡献 1 . 242 欧拉还认识到 x = xx 1 , 据此关系可以导出 即 1 2 ! 的插值 应该为. 11 2, 22 现在更多利用的是勒让德推广而改进的欧拉思想. 0 , xy xy e dy 在 (4) 中利用 y = lnt 换元, 得到 对微积分的贡献 - 伽马函数 重要贡献 然后将输入变量左移一个单位, 得到由 定义的伽马函数. 事实上, 这个特殊的积分也在欧拉的著作 中出现. 伽马函数继承了欧拉的公式(3)有关 x 的特性, 例 如存在递归表达式 (x + 1) = x (x). 1 0 ( )1 xy xxye dy 伽马函数被看做分析学中首屈一指的 “高级函数”. 可能 出现在需要应用复杂的数学分析的任何场所, 从概率论到 微分方程, 再到解析数论. (这归功于欧拉). 几何领域, 欧拉早在1726, 1727年就完成了他的首个数学发 现, 找到了两类数学曲线的性质, 都发表在教师学报上. 1736年, 欧拉引进了平面曲线的内在坐标概念, 随后又利 用这一概念引进了曲线的参数表示, 并推导出空间曲线任 一点曲率半径的解析表达式. 1760年, 欧拉出版了关于曲面上曲线的研究, 建立了 曲面理论. 这篇著作是欧拉对微分几何最重要的贡献, 是 微分几何发展史上的一个里程碑. 除了引进标准符号外, 欧拉还正确地建立了曲面的曲率的 概念, 引进了法曲率、主曲率等, 并得到了法曲率的欧拉 公式. 对几何的贡献 重要贡献 1743年, 欧拉得到下面的著名的欧拉公式: 欧拉在无穷小分析引论中首次明确陈述了棣莫弗公式, 并将n推广到任意实数. 这些公式不仅使人们能正确回答什 么是复数的对数, 更重要的揭示了三角函数、指数函数和对 数函数之间的深刻联系, 从而形成了初等函数的统一理论. 令 z = , 得到 ei= 1 + 0, 即 数学家克莱因认为这是数学中最卓越的公式之一, 它漂亮简洁地 把数学中五个最重要的数 -1, 0, , e, i 联系在一起. 有人称这 五个数为“五朵金花”. 法国巴黎的发明宫就悬挂着这个公式. ei+ 1 = 0, cos, sin 22 iziziziz eeee zz i 对复变函数的贡献 重要贡献 数论领域, 数论作为数学中一个独立分支的基础是由欧拉的 一系列成果所奠定的. 1732年, 欧拉获得了他在数论研究中的第一个成果, 证伪了费马 在100多年前提出的问题: 如果正整数n是2的幂, 则2n+1是一个素 数. 而欧拉给出 232+ 1 = 4294967297 可以因式分解为 6416700417, 不是素数. 1736年, 欧拉证明了费马小定理, 提出了欧拉函数(n), 用来表 示1到n之间与n互素的整数k的个数, 成为数论中的重要思想. 1753年, 欧拉证明了费马猜想 (现在的费马大定理): an+ bn= cn 在 n 2 时没有整数解 在 n = 3 时成立. 1783年, 二次互反律首次被欧拉完整地陈述, 他也证明了 n = 2 的情况. 高斯把这个初等数论中至关重要的定理誉为 “ 算术中的 宝石 ”. 对数论的贡献 重要贡献 欧拉在变分法上的工作为这门新学科奠定了独立的基础. 变 分法与通常的函数求极值有着本质的区别, 它的极值依赖于 未知函数而不是未知数. 欧拉对于变分问题给出了一般地 处理. 1724年, 欧拉借助一个二阶常微分方程, 给出了变分问题的 解应满足的必要条件. 这就是后来所谓的“欧拉方程”. 1740年, 欧拉出版了寻求具有某种极大或极小性质的曲线 的方法一书, 其中引入了变分法, 其他数学家称赞这本书为 最美的数学著作之一. 1755年, 欧拉出版了著作微积分原理, 其中从有限差分 的观点介绍了微积分理论. 欧拉与变分法 重要贡献 重要贡献 主要著作 欧拉是数学史上第二多产的数学家, 生前发表的著作与论文 有886余种. 并遗留下大量手稿, 甚至在他去世80年后, 俄国 圣彼得堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作. 欧拉写了大量的力学、分析学、几何学、 变分法等的课本, 无穷小分析引论、 微分学原理、积分学原理等都成 为数学界中的经典著作. 这三部著作里引 进了一批标准的分析学符号 (特别是函数 符号f(x), 虚数符号 I, 求和符号 , 自然对 数底数 e 和 圆周率 等. 1911年, 瑞士自然科学协会开始出版欧拉全集, 现在已 出版70多卷, 计划出齐84卷, 都是大四开本. 欧拉的整个数学生涯, 始终得益于他惊人的记忆力, 我们只能称 其为超人. 欧拉在进行数学研究时, 不但能记住前100个素数, 而 且还能记住所有这些素数的平方、立方、甚至四次方、五次方 和六次方. 欧拉还能进行复杂的心算, 其中有些计算要求他必须 记住50位小数! 法国物理学家弗朗索瓦 阿拉戈说, 欧拉计算时 似乎毫不费力, “ 就像人呼吸, 或鹰翱翔一样轻松.” 欧拉的优秀品质 惊人的记忆力与心算能力 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的, 他可以在任何不良的环境 中工作. 欧拉一生中育有13个儿女, 他常常抱着孩子在膝上完成 论文, 也不顾孩子在旁边喧哗. 即使他在双目失明以后, 也没有 停止对数学的研究. 在欧拉失明后的17年间, 由他口述, 大儿子 或大女儿笔录, 还以平均每天800页的惊人速度完成了近400篇 的独创性论文. 顽强的毅力 谦和礼让、风格高尚 欧拉在生活和学术上的风格都是很高尚的, 与他的老师约 翰截然相反, 他谦和礼让, 从不争强好胜. 稍后于欧拉的大数学家拉格朗日(Lagrange) 从19岁起与 欧拉通信, 讨论等周问题的一般解法, 研究变分法. 经过4 年的努力, 拉格朗日终于发现了解决这类问题的最佳方法. 欧拉得知后, 兴奋异常, 赶紧压下自己即将付印的有关著 作, 让拉格朗日的成果先发表. 他在给拉格朗日的回信中 提到: “这样就不会剥夺你理应享有的全部光荣”, 且在出版 自己的著作时着重声明: 在拉格朗日提出这个方法之前, 自己遇到了“不可克服的困难”, 这使得年青的拉格朗日的 工作得以发表和流传, 并赢得巨大的声誉 欧拉的优秀品质 法国哲学家兼数学家孔多塞在圣彼得堡科学院和巴黎科学院 的追悼会上悼词的结尾耐人寻味地说: “ 欧拉停止了生命, 也停 止了计算.” 孜孜不倦的奋斗精神 欧拉的一生都在不停地思考与写作. 他活跃的思维直到他生命 的最后一天. 1783年9月18日, 他给孙子孙女们讲解了热气球中 的数学, 讨论了的天王星的轨道计算. 晚餐后, 他喝着茶, 突然 之间, 烟斗从他手中掉了下来, 他说了一句: “ 我不行了 ”, 就失 去了知觉. 晚上11时, 欧拉在圣彼得堡的家中去世, 享年76岁. 欧拉虽然20岁就离开了瑞士, 一直没回去过, 但他一直是一位 爱国者, 至死没改变国籍, 所以我们现在还说欧拉是瑞士数学家. 欧拉在德国就职期间, 虽然身在柏林, 仍为俄国圣彼得堡科学院 寄去了上百篇论文, 还不时给那里的事务提供咨询意见. 知恩图报及爱国主义精神 欧拉的优秀品质 纪念活动 为了纪念欧拉的数学贡献, 以及对世界科学的影响, 瑞士于 1957年和2007年分别发行纪念邮票, 分别纪念欧拉诞辰250 周年和300周年. 瑞士法郎上的欧拉 为了纪念曾经生活在德国的欧拉, 德国曾于1950年, 1957年, 1983年发行了纪念邮票. 纪念活动 为了纪念欧拉诞辰250周年, 前苏联于1957年发行了印有 欧拉头像的邮票, 文字内容为: 欧拉, 伟大的数学家和学者. 2007年4月23日, 为纪念欧拉诞辰300周年, 瑞士政府、中国 科学院及中国教育部于在北京的中国科学院文献情报中心共 同举办纪念活动. 俄罗斯联邦中央银行还发行了一枚2卢布的 银币, 该银币的背面图案为数学家欧拉的肖像, 右边为数学公 式和天球. 结 语 如果说17世纪是牛顿的世纪, 那么18世纪就属于欧拉. 不少数 学史家把欧拉与阿基米德、牛顿和高斯并列为有史以来最伟 大的四位数学家. 瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示: “ 没有欧 拉的众多科学发现, 今天的我们将过着完全不一样的生活.” 高斯也曾经说过: “ 对于欧拉工作的研究, 将仍旧是数学人能 上的最好的无可替代的学校.” 法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉, 他是所有人的老师. 欧拉的一生, 是为数学发展而奋斗的一生. 尽管欧拉在研究过程 中也会犯一些错误, 比如随意丢弃无穷小量, 不考虑无穷级数的 敛散性等, 但他那杰出的智慧、顽强的毅力、孜孜不倦的奋斗 精神和高尚的科学道德, 永远是值得我们学习的 谢 谢 观 看 Thanks 1.微积分的历程：从牛顿到勒贝格, William Dunham著, 李伯民, 汪军, 张怀勇译, 北 京：人民邮电出版社, 2010. 2.天才引导的历程-数学中的伟大定理, William Dunham著, 李繁荣, 李莉萍译, 北京： 机械工业出版社, 2013. 3.数学史, Carl. B. Boyer著, Uta C. Merzbach 修订, 秦传安译, 北京：中央编译出版 社, 2012. 4.古今数学思想, Morris Kline著, 邓东皋, 张恭庆等译, 上海：上海科学技术出版社, 2014. 5.数学恩仇录-数学家的十大论战, Hal Hellman著, 范伟译, 上海：复旦大学出版社, 2009. 6.数学星空中的璀璨群星, 易南轩, 王芝平编著, 北京：科学出版社, 2009. 7.文明之光-图说数学史 , 李文林主编, 山东教育出版社, 2005. 8.大数学家-从阿基米德到陈省身, 陈诗谷, 葛孟曾著, 北京：中国青年出版社, 2012. 9.三次数学危机与数学悖论, 韩雪涛著, 北京：人民邮电出版社, 2016. 10. 数学史概论 (第三版), 李文林, 北京：高等教育出版社, 2010. 11. 微积分的创立者及其先驱 (第3版), 李心灿编, 北京：高等教育出版社, 2007. 12. 数学精英, Bell. E. T. 著, 徐源译, 北京：商务印书馆, 1991. 13. 百度百科 (部分图片来源于百度百科). 参考文献
