概率论与数理统计 (3).pdf

概率论与数理统计概率论与数理统计 第三章第三章多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 考察某地区儿童的身体发育情况，通常分析他们的身高考察某地区儿童的身体发育情况，通常分析他们的身高X和和 体重体重Y; 分析居民消费支出情况，可具体分析每家庭衣食住行各方分析居民消费支出情况，可具体分析每家庭衣食住行各方 面支出金额面支出金额X1, X2, X3, X4； 考察某地区空气质量情况，可分析每年空气质量等级中一考察某地区空气质量情况，可分析每年空气质量等级中一 级、二级、三级、四级、五级和六级分别出现的天数级、二级、三级、四级、五级和六级分别出现的天数X1, X2, X3, X4, X5, X6. (X1, X2, X3, X4) (X,Y) (X1, X2, X3, X4, X5, X6) 第三章第三章多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 设设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量,对于任意实数对于任意实数x, y,称二元函数称二元函数 F(x,y)=P(X x,Yy) 为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的的联合分布函数联合分布函数，简称，简称分布函数分布函数。 x y (x,y) 3.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 一、二维随机变量的联合分布函数一、二维随机变量的联合分布函数 概率论与数理统计概率论与数理统计 X的分布函数的分布函数 也称也称FX(x), FY(y)分别为分别为(X, Y)关于关于X、Y的边缘分布函数。的边缘分布函数。 ( )() X FxP Xx ( )() Y F yP Yy = (,)P Xx Y = (,) (, ) P XYy Fy ( ,)F x Y的分布函数的分布函数 3.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 若已知若已知(X,Y)联合分布函数，联合分布函数， 如何求解如何求解X和和Y的分布函数？的分布函数？ 概率论与数理统计概率论与数理统计 对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)及任意及任意x, y, 若事件若事件Xx和和Y y 相互独立，即相互独立，即 (,)() ()P Xx YyP Xx P Yy 则称则称X与与Y相互相互独立独立 . ( , )( )( ) XY F x yFx Fy或或 二、随机变量的独立性二、随机变量的独立性 3.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例1. 设设X的分布函数为的分布函数为 令令Y=X/2, (1)求求(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数；(2)计算关于计算关于Y的边缘分的边缘分 布函数布函数，并判断并判断X与与Y是否独立是否独立。 11 ( )arctan , 2 X Fxxx 解解: ( , )(,)F x yP Xx Yy(,/2)(,2 )P Xx XyP Xx Xy 3.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 2xy当时， 2xy当时， (1)由二维分布函数的定义有由二维分布函数的定义有 11 ( , )()arctan 2 F x yP Xxx ( , )(2 )F x yP Xy 11 (2 )arctan2 2 X Fyy 概率论与数理统计概率论与数理统计 也可由分布函数定义直接求解也可由分布函数定义直接求解Y的分布函数的分布函数，即：即： 3.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 ( ) Y Fy 11 arctan ,2 2 ( , )= 11 arctan2 ,2 2 xxy F x y yyx (2)= (, )Fy 11 =arctan2 , 2 yy ( )= ()(/ 2)(2 )(2 ) YX FyP YyP XyP XyFy 易见存在易见存在x,y 使得使得F(x, y) FX(x) FY(y)， 所以所以X与与Y不独立不独立. 概率论与数理统计概率论与数理统计 11 ( )( ,)arctan , 2 X FxF xxx 11 ( )(, )arctan2 , 2 Y FyFyyy 不同的联合分布可能有相同的边缘分布不同的联合分布可能有相同的边缘分布 仅仅由边缘分布无法确定联合分布仅仅由边缘分布无法确定联合分布 3.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 2 1 ( , )(arctan )(arctan2 ), 22 F x yxyx y ， 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 小结：小结： 联合分布函数、边缘分布函数和随机变量的独立性联合分布函数、边缘分布函数和随机变量的独立性 概率论与数理统计概率论与数理统计 若若 (X,Y)的所有可能取值为的所有可能取值为(xi,yj), i,j=1,2,，且且(X,Y)取各取各 个可能值的概率个可能值的概率为为 上上式为二维离散型随机变量式为二维离散型随机变量 (X,Y)的的联合分布联合分布律律. (,),1,2, ijij P Xx Yypi j 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 一、二维离一、二维离散型随机变量散型随机变量的联合分的联合分布布 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值只有有限个或可列的所有可能取值只有有限个或可列 个个，则称则称 (X,Y)为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量. 概率论与数理统计概率论与数理统计 X Y x1 x2 . . . xi . . . y1y2.yj p11 p21 . . . pi1 . . . p12 p22 . . . pi2 . . . p1j p2j . . . pij . . . 联合分布列联合分布列 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布的联合分布律为律为 则有则有 () i P Xx = 1 ()(,),1,2,. jjijj i P YyP XYyppj 记记作作 (,),1,2,. ijij P Xx Yypi j 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 二、二维离散型随机变量的边缘分布二、二维离散型随机变量的边缘分布 + = 1 (,) ij j P Xx Yy=(,) i P X x Y 边边 缘缘 分分 布布 律律 + 1 ,1,2,. iji j ppi 记记作作 概率论与数理统计概率论与数理统计 p jp 1p 2 p j pi p1 p2 . . . pi . . . 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 X Y x1 x2 . . . xi . . . y1y2.yj p11 p21 . . . pi1 . . . p12 p22 . . . pi2 . . . p1j p2j . . . pij . . . 概率论与数理统计概率论与数理统计 对于二维离散型随机变量对于二维离散型随机变量(X,Y), 则则 , =)=) ( =) ,1,2,., ( ijij ijij i j P Xx Y yP Xx P Y y pp p 有有 即即 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 三三、二维离散型随机变量的独立性、二维离散型随机变量的独立性 X和和Y相互独立相互独立 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 p jp 1p 2 p j pi p1 p2 . . . pi . . . X Y x1 x2 . . . xi . . . y1y2.yj p11 p21 . . . pi1 . . . p12 p22 . . . pi2 . . . p1j p2j . . . pij . . . 概率论与数理统计概率论与数理统计 设设 (X,Y) 是二维离散型是二维离散型随机变量随机变量, 对于对于固定的固定的 j, 若若P(Y=yj)0, 则称则称 为为在在Y=yj的条件的条件下下，随机变量随机变量X的条件分布的条件分布律律. (,) (|),1,2, () ijij ij jj P Xx Yyp P Xx Yyi P Yyp 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 四四、二维离散型随机变量的条件分布、二维离散型随机变量的条件分布 X|Y=yjx1 x2 xi P 12jjij jjj ppp ppp 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 p jp 1p 2 p j pi p1 p2 . . . pi . . . X Y x1 x2 . . . xi . . . y1y2.yj p11 p21 . . . pi1 . . . p12 p22 . . . pi2 . . . p1j p2j . . . pij . . . 概率论与数理统计概率论与数理统计 对于对于固定的固定的 i，若若P(X=xi)0，则则称称 为为在在X=xi的条件的条件下下，随机变量随机变量Y的的条件分布律条件分布律. (,) (|),1,2, () ijij ji ii P Xx Yyp P Yy Xxj P Xxp 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 p jp 1p 2 p j pi p1 p2 . . . pi . . . X Y x1 x2 . . . xi . . . y1y2.yj p11 p21 . . . pi1 . . . p12 p22 . . . pi2 . . . p1j p2j . . . pij . . . 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例1.盒子中装有盒子中装有10支大小支大小形状相同的粉笔，其中形状相同的粉笔，其中5支白色，支白色，3 支红色，支红色，2支黄色，现从中任取两支，以支黄色，现从中任取两支，以X、Y分别表示其中分别表示其中 白色和红色粉笔的支白色和红色粉笔的支数数. (1)求求(X,Y)的联合分布；的联合分布； (2)求分别关于求分别关于X和和Y的边缘分布律，并考虑的边缘分布律，并考虑X与与Y是否是否独立；独立； (3)在已知在已知X =0时，求时，求Y的条件分布律的条件分布律. 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 解：解：(,)P Xi Yj 2 532 2 10 ,( ,0,1,2;02) ijij C C C i jij C 概率论与数理统计概率论与数理统计 X Y 0 1 2 012 1/45 2/15 1/15 2/9 1/3 0 2/9 0 0 3.2 二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布 2/9 5/9 2/9 X与与Y不独立不独立 01 2 1/10 3/5 3/10 7/15 7/15 1/15 X Y 0 1 2 012 1/45 2/15 1/15 2/9 1/3 0 2/9 0 0 pi p j Y|X=0 P 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 小结：小结： 二维离散型随机变量的联合分布列、边缘分布列、条二维离散型随机变量的联合分布列、边缘分布列、条 件分布列和随机变量的独立性件分布列和随机变量的独立性 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 二维连续型随机变量及其联合概率密度函数二维连续型随机变量及其联合概率密度函数 常见的两类二维连续型随机变量常见的两类二维连续型随机变量 概率论与数理统计概率论与数理统计 设二维随机变量设二维随机变量 (X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y)，如果存在，如果存在 非负函数非负函数f(x,y)使得对任意的实数使得对任意的实数x, y都都有有 则称则称 (X,Y)为为二维二维连续型连续型随机变量，其中随机变量，其中f(x,y) 称为称为 (X,Y)的联合概率的联合概率密度函数或密度函数或联合分布联合分布密度函数。密度函数。 ( , )(,)( , ) xy F x yP Xx Yydsf s t dt 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 二维连续型随机变量及其联合概率密度函数二维连续型随机变量及其联合概率密度函数 x y (x,y) 设设X的分布函数为的分布函数为F(x)，如果存在非负函数，如果存在非负函数f(x)使得对任意使得对任意 的实数的实数x有有 则称则称X为连续型随机变量，且称为连续型随机变量，且称f(x)为为X的概率密度函数的概率密度函数. ( )( ) x F xf t dt 概率论与数理统计概率论与数理统计 0),(. 1yxf 2.( , )(,)1dsf s t dtF 2 ( , ) 3.( , )( , ),( , ) F x y f x yx yf x y x y 若在点连续 则 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 联合概率密度的联合概率密度的性质性质 概率论与数理统计概率论与数理统计 22 11 1212 4.(,)( , ) xy xy P xXxyYydsf s t dt 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 22122111 = ( ,)- ( ,)- ( , )+ ( , )F x yF x yF x yF x y 证明：证明： 1212 ,)P xXxyYy( (x2, y1) x y (x2, y2)(x1, y2) (x1, y1) 2212 2111 ( , )( , ) ( , )( , ) xyxy xyxy dsf s t dtdsf s t dt dsf s t dtdsf s t dt 2221 11 ( , )( , ) xyxy xx dsf s t dtdsf s t dt 22 11 ( , ) xy xy dsf s t dt 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 设设G为平面某区域，则为平面某区域，则(X,Y)落在落在G内的概率为内的概率为 (, )( , ) G P X YGf x y dxdy 概率论与数理统计概率论与数理统计 二维均匀分布二维均匀分布 设设G为平面上的有界区域，若二维随机变量为平面上的有界区域，若二维随机变量(X,Y)的联合的联合 概率概率密度函数为密度函数为 1 ,( , ) ( , ) 0 G x yG Sf x y 其其它它 其中其中为为区域区域G的面积，则称二维随机变量的面积，则称二维随机变量 (X,Y)在在G上上服从二维均匀分布服从二维均匀分布。 G G Sdxdy 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 常见的两类二维连续型常见的两类二维连续型随机变随机变量量 概率论与数理统计概率论与数理统计 二维正态分布二维正态分布 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度为为 其中其中10, 20, | |<1, 则称则称 (X,Y) 服服从参从参数为数为1, 2, 12, 22, 的的二维二维正态分布正态分布. 记记作作(X,Y) N(1, 2, 12, 22, ). 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 22 1122 1122 2 2 2(1) 2 12 1 ( , ) 21 xxyy f x ye 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例1. 设设(X, Y)的联合分布的联合分布密度是密度是 求求 (1) A的的值值; (2) P(X<1); (3) 联合分布函数联合分布函数. 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 ,0,01 ( , ) 0, x Ayexy f x y 其它 概率论与数理统计概率论与数理统计 解解: (1) 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 1 00 =1 x dxAye dy 1 (2) (1)( , ) x P Xf x y dxdy 11 00 2 x dxye dy 1 1-e ( , )=1dxf x y dy 由可得 2A 1 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 (3)( , )( , ) xy F x ydsf s t dt 00 2,0,01, xy s dste dtxy 1 00 2,0,1, x s dste dtxy 0,00,xy或 2 0,00, (1),0,01, 1,0,1 x x xy yexy exy 或 (x,y) (x,y) 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例2. 设设(X,Y)在区域在区域G（0<y<2x,0 <xX2). (1)4 G S 因为，则 1 ,( , ) ( , )4 0, x yG f x y 其它 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 解解: 概率论与数理统计概率论与数理统计 2 (2) ()P YX 2 2 0 (2) 4 xxdx 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 1 3 均匀分布中事件的概率是该事 件对应的有效区域与样本空间 对应区域的面积之比 2 22 0 1 4 x x dxdy 2 ( , ) y x f x y dxdy 概率论与数理统计概率论与数理统计 小结：小结： 二维连续型随机变量及联合概率密度函数二维连续型随机变量及联合概率密度函数 二维均匀分布及二维正态分布二维均匀分布及二维正态分布 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 二维连续型二维连续型随机变随机变量的边缘分布量的边缘分布 二维连续型二维连续型随机变随机变量的独立性量的独立性 二维连续型二维连续型随机变随机变量的条件分布量的条件分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 若已知若已知(X,Y)联合概率密度函数联合概率密度函数f(x,y)， 如何求解如何求解X和和Y的概率密度函数？的概率密度函数？ ( )( ,) X FxF x( , ) x dsf s y dy ( )( ) XX d fxFx dx ( , )f x y dy ( )( , ) Y fyf x y dx (X,Y)关于关于X和和Y的的 边缘概率密度函数边缘概率密度函数 概率论与数理统计概率论与数理统计 如果二维连续型随机变量如果二维连续型随机变量(X,Y)满足满足对对f(x,y)的任意连的任意连 续点续点(x,y) 有有 则称则称X与与Y相互相互独立独立 . ( , )( )( ) XY f x yfx fy 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 ,( , )( )( ) XY x yF x yFx FyXY若若对对于于任任意意有有，则则称称 和和 相相互互独独立立 概率论与数理统计概率论与数理统计 已知二维连续型随机变量已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为 f(x,y), 对于固定的对于固定的x, 若若fX(x)0, 则称则称 为在为在 X=x下，下，Y的的条件概率条件概率密度密度 . 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 二维连续型二维连续型随机变随机变量的条件分布量的条件分布 | ( , ) ( | ) ( ) Y X X f x y fy x fx 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 已知二维连续型随机变量已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为 f(x,y), 对于固定的对于固定的y,若若fY(y)0, 则称则称 称为称为在在 Y=y下，下，X的条件概率的条件概率密度密度 . | ( , ) ( | ) ( ) X Y Y f x y fx y fy | ( , )( )( |)( )(| ) XY XYX Y f x yfx fy xfx fx y 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例1.设设随机变量随机变量(X,Y)的的联合联合概率概率密度密度为为 解：解： 6011 0 , ( , ) , xxxy f x y 其其它它 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 (1) 分别求分别求(X,Y)关于关于X和和Y 的的边缘概率边缘概率密度密度； (2) 求在求在Y=y(0<y<1)时时X的条件的条件概率密度概率密度； (3) 判断判断X与与Y是否独立是否独立. dyyxfxf X ),()(1) x =(x,y)|0<x<1, x<y<1 1 66 (1),01 x xdyxxx 0,01xx或 概率论与数理统计概率论与数理统计 2 2 ,0 0, x xy y 其它 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 ( )( , ) Y fyf x y dx (2) | ( | ) X Y fx y ( , ) ( ) Y f x y fy (3) 明显地，存在明显地，存在f(x,y)的连续点使得的连续点使得( , )( )( ) XY f x yfx fy 所以所以X与与Y不独立不独立. =(x,y)|0<x<1, x<y<1 y 2 0 63,01 y xdxyy 0,01yy或 | 6 (1),01 ( )( | ) 0, XX Y xxx fxfx y 其它 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例2. 设设随机变量随机变量X在区间在区间(0,1)服从服从均匀分布均匀分布, 当当观察到观察到X=x (0<x<1)时时，在区在区间间(0, x)上随机地取一值上随机地取一值Y. 求求Y 的的概率概率密度密度. 1,01 ( ) 0, ， 其它 X x fx | 1 ,0 ( |) 0, Y X yx fy xx 其它 解：依题意可解：依题意可得得 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 | ( , )( )( |)由可得 XY X f x yfx fy x 1 01,0 ( , ) 0, ， 其它 xyx f x yx 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 ( ) Y fy( , ) f x y dx y 11 ln ,01 y dxyy x 0,01或yy 概率论与数理统计概率论与数理统计 小结：小结： 二维连续型随机变量的边缘密度函数二维连续型随机变量的边缘密度函数 二维连续型随机变量的条件密度二维连续型随机变量的条件密度函数函数 二维连续型随机变量的独立性二维连续型随机变量的独立性 3.3 二维连续型随机变量的分布二维连续型随机变量的分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布 二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 ,.2 , 1,),(jipyYxXP ijji 问题描述：设问题描述：设(X,Y)为离散型随机变量，为离散型随机变量， 求求Z=g(X,Y)的分布。的分布。 一、二维离散型一、二维离散型随机变随机变量函数的分布量函数的分布 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例1. 设设(X,Y)联合概率联合概率分布如下分布如下, 求求Z=XY的概率分布。的概率分布。 X Y -1 1 -112 0.1 0.25 0.1 0.15 0.3 0.1 1 -1 -2 -1 1 2 X Y -1 1 -11 2Z Z P -2-11 2 0.1 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 0.4 0.4 0.1 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例2. 设设X,Y相互独立相互独立, 且且XP(1), YP(2) 求求Z=X+Y的概率分布。的概率分布。 , 2 , 1 , 0, ! )( 1 1 ke k kXP k 解解: , 2 , 1 , 0, ! )( 2 2 ke k kYP k 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 )()(kYXPkZP ),( 0 ikYiXP k i k i ikYiXP 0 ),( k i iki e ik e i 0 21 21 )!(! k i iki iki k k e 0 21 )( )!( ! ! ! 21 ! )( 21 )( 21 k e k k i ikYiXP 0 ),( 当当k=0,1,2,时，时， 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 k i ikii k k e 0 21 )( C ! 21 概率论与数理统计概率论与数理统计 泊松分布的可加性：泊松分布的可加性： 设设X,Y相互独立相互独立,且且XP(1), YP(2) 则则 Z=X+YP(1+2) 设某商店白天顾客人数设某商店白天顾客人数XP(5000)， 晚上顾客人数晚上顾客人数YP(3000),且且X,Y相互独立相互独立, 则该商店一天顾客人数则该商店一天顾客人数X+YP(8000)。 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布 二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 问题描述：设问题描述：设(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量，f(x,y)和和F(x,y)分分 别为别为(X,Y)的联合的联合密度函数和联合分布函数密度函数和联合分布函数。求求Z=g(X,Y)的的 概率密度概率密度。 二、二、 二二维连续型随机变量函数的分布维连续型随机变量函数的分布 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 分布函数法：分布函数法：(1)先先求解求解分布函数分布函数 ),()(zYXgPzFZ (2)再求导计算密度函数再求导计算密度函数 )()( Z zFzf Z 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例1.设设(X,Y)的联合分布密度的联合分布密度为为 求求Z=2X-Y的概率密度函数。的概率密度函数。 解解: 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 其它, 0 ,20 , 10, 2 3 ),( xyxx yxf )()(zZPzFZ )2(zYXP zyx dxdyyxf 2 ),( 概率论与数理统计概率论与数理统计 当当0<z<2时时, 1 2/ 2 0 2 3 1)( z zx Z xdydxzF 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 其它, 0 20, 16 3 4 3 )()( 2 Z zz zFzf Z 当当z0, FZ(z)=0； 当当z2, FZ(z)=1； 对对Z的分布函数求导可得：的分布函数求导可得： 3 16 1 4 3 zz 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 极值极值函数的分布函数的分布 (1)最最大值大值M=max(X,Y)的分布函数的分布函数 ),(max()()(zYXPzMPzFM ),(zYzXP),(zzF )()()(zFzFzF YXM 若若X与与Y相互独立，则相互独立，则 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 (2)最最小值小值N=min(X,Y)的分布函数的分布函数 若若X与与Y相互独立，则相互独立，则 ),(min()()(zYXPzNPzFN ),(1zYzXP ),(min(1zYXP )()(1)(zYPzXPzFN)(1)(1 1zFzF YX zyzx dxdyyxf , ),(-1 概率论与数理统计概率论与数理统计 定理定理1：已知相互独立的随机变量：已知相互独立的随机变量X和和Y的分布函数为的分布函数为 FX(x)和和FY(y), 则则M=max(X,Y)和和 N=min(X,Y)的分布函数的分布函数 分别为分别为 ( )( )( ), ( )1 1( )1( ). MXY NXY FxFx F x FxFxF x 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 设随机变量设随机变量X1,X2, , Xn相互独立相互独立, 则则M=max(X1,X2, , Xn) 和和 N=min(X1,X2, , Xn)的分布函数分别为的分布函数分别为 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 )()()()( 21 xFxFxFxF n XXXM )(1 ()(1)(1 ( -1)( 21 xFxFxFxF n XXXN 若随机变量若随机变量X1,X2, , Xn独立同分布，分布函数均为独立同分布，分布函数均为F(x)，则，则 )()(xFxF n M n N xFxF)(1 ( -1)( 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例2. 两个系统均两个系统均由由两个相互独立的元件两个相互独立的元件A1,A2连连接而成，接而成， 其连接方式分别为其连接方式分别为：串联：串联S1,并联并联S2。设设A1,A2的寿命的寿命X,Y 分别服从参数为分别服从参数为, 指数分布。请分别求指数分布。请分别求两种系统两种系统S1, S2寿寿 命的命的概率密度函数。概率密度函数。 A1A2 S2 A1 A2 S1 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 解解:系统系统S1的寿命的寿命M=max(X,Y), ，)()()(xFxFxF YXM 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 系统系统S2的寿命的寿命N=min(X,Y) . )(1)(1 1)(xFxFxF YXN ， 0, 0 0,1 )( x xe xF x X 0, 0 0,1 )( x xe xF x Y 由于由于X,Y分别服从参数为分别服从参数为, 的指数分布，即有的指数分布，即有 概率论与数理统计概率论与数理统计 , 0, 0 0),1)(1 ( )( x xee xF xx M 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 将将X,Y的分布函数带入的分布函数带入 M和和N的分布函数，则的分布函数，则 0, 0 0,1 )( )( x xe xF x N 对对 M和和N的分布函数求导可得：的分布函数求导可得： 0, 0 0,)( )()( )( x xeee xFxf xxx MM 0, 0 0,)( )()( )( x xe xFxf x NN N=min(X,Y)E(+) 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 小结：小结： (1)用分布函数法求解二维连续型随机变量函数的分布；用分布函数法求解二维连续型随机变量函数的分布； (2)极值函数的分布极值函数的分布