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数列极限的数学定义 9-22019/10/14 同学们在中学阶段已经了解同学们在中学阶段已经了解了数列极限了数列极限的描述性定义的描述性定义， 那么那么，数列极限数列极限的数学的数学定义是如何表达的呢定义是如何表达的呢？ 首先我们回顾一下首先我们回顾一下，数列数列极限的描述性极限的描述性定义定义 而而在大学阶段学习高等数学的极限理论时在大学阶段学习高等数学的极限理论时， 极限的极限的数学定义数学定义 需要掌握数列需要掌握数列 当当n无限增大无限增大时时, , 如果数列如果数列 xn 的的通项通项xn任意接近任意接近于某一于某一 lim. n n xa = = 数列极限数列极限的描述性的描述性定义定义 常数常数a, , 就称就称a为数列为数列 xn 的的极限极限, , 记为记为 1 n x n = =例如考察数列例如考察数列 的极限的极限 1 im. 0l n n = = 1 2 1 12 3456 n x n O 由数列极限的描述性定义知由数列极限的描述性定义知 1 im?0l n n = = 如何用数学语言表达如何用数学语言表达 1 lim0 n n = = 表表明明 1 0 n n 当当时时， 与与 任任意意接接近近, , 1 . n n 即即当当 充充分分大大时时， 可可以以小小于于预预先先给给定定的的无无论论多多么么小小的的正正数数例例如如， 11 0 nn =可可以以任任意意小小， 1 100 = =如如果果取取， 11 100n 由由，100n 只只要要时时， 111 0 100nn =有有. . 1 1000 = =如如果果取取， 11 1000n 由由，1000n 只只要要时时， 111 0 1000nn =有有. . 一一般般地地，0, 对对于于任任意意给给定定 1 =nN 只只要要 时时， 11 0 nn =有有. . n充分大 任意接近 1 lim0 n n = = ：0, 对对于于任任意意给给定定 1 =nN 只只要要 时时， 11 0 nn =有有. . 定义定义( (数列极限的数学定义数列极限的数学定义) ) n xa设设有有数数列列和和常常数数 0 如如果果对对于于， N 总总 正正整整数数 ，nN 当当时时， n xa 恒恒有有成成立立, , n ax就就称称 为为数数列列的的极极限限, , lim. n n xa = =记记为为 1 1lim0. n n = =例例证证明明 证证0, 对对 1 =N 取取 ， 1 0 有有， n nN 当当时时， 1 lim0. n n = =所所以以 ):(nyA 任任意意 ):(xistE 存存在在 定义定义( (数列极限的数学定义数列极限的数学定义) ) n xa设设有有数数列列和和常常数数 0 如如果果对对于于， N 总总 正正整整数数 ，nN 当当时时， n xa 恒恒有有成成立立, , n ax就就称称 为为数数列列的的极极限限, , lim. n n xa = =记记为为 1 lims.2co1 n n = =例例证证明明 证证0, 对对 1 = 2 N 取取 ， 1 cos0 n 有有， nN 当当时时， 1 limcos1. n n = =所所以以 1 cos1 n 由由于于 2 1 2sin 2n = = 2 1 2() 2n 2 1 , 2n = =要要使使得得 1 cos1 n ， 2 1 , 2n 需需要要 1 , 2 n 解解得得 2 1 , 2n 当当时时 1 cos1 n 有有. . .-N 也也称称为为数数列列极极限限数数列列极极限限定定的的的的学学义义定定义义数数 可可简简化化叙叙述述为为 lim n n xa = = ： 0 ，N 正正整整数数 ， nN 当当时时， n xa 有有成成立立. . 任任意意接接近近常常数数 n xa 当当 充充分分大大时时n 数数列列极极限限的的数数学学定定义义称称之之为为的的块块结结构构, ,有有助助于于对对定定义义理理解解和和记记忆忆. . 后后面面还还要要介介绍绍函函数数极极限限的的数数学学定定义义，也也可可以以用用类类似似的的块块结结构构 帮帮助助我我们们学学习习. . 深深刻刻刻刻画画了了极极限限的的思思想想，是是高高等等数数学学的的理理论论基基础础 语语言言精精确确严严谨谨， 总结总结本本讲讲内内容容给给出出了了数数列列极极限限的的数数学学定定义义： lim n n xa = = ： 0 ，N 正正整整数数 ， nN 当当时时， n xa 有有成成立立. .