1不定积分内容总结.pdf

一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用 不定积分内容小结不定积分内容小结 1 不定积分的基本概念不定积分的基本概念 1 主要内容主要内容 不定积分的基本公式不定积分的基本公式 不定积分的计算不定积分的计算 2 3 一、 不定积分的基本概念 2.2.性质性质 1.1.概念概念 ,)()(, )()(),()( )( 的不定积分的不定积分为为集合集合称称的一个原函数的一个原函数 为为则称则称上可导且上可导且在在设设 xfCxF xfxFxfxFIxF CxF )(记为记为 dxxf)(其中其中C 为任意常数为任意常数. . )()1(dxxf dxxfd)( dxxf)()2( )(xdf dxxgxf)()()4( )(xf dxxf)( Cxf )(Cxf )( dxxgdxxf)()( dxxkf)()3( dxxfk)( 二、 不定积分的基本公式 1 1 ,1 1 x dxxC 1 lndxxC x 1 ,0,1 ln xx a dxaCaa a Cedxe xx Cxxdx cossinCxxdx sincos tanln cosxdxxC cotln sinxdxxC secln sectanxdxxxC cscln csccotxdxxxC Cxxdx tansec2Cxxdx cotcsc2 二、 不定积分的基本公式 22 1 arcsin x dxC a ax 22 11 arctan x dxC axaa 22 11 ln 2 xa dxC xaaxa 22 22 1 lndxxxaC xa 2 2222 arcsin 22 xax ax dxaxC a 2 222222 ln 22 xa xa dxxaxxaC 三、 不定积分的计算 dxxxf)( )( 1.1.第一换元法（凑微分法）第一换元法（凑微分法） )()(xdxf ( ) ( )( ) ux f u duux 2.2.第二换元法第二换元法 dxxf)( 1( ) ( ( ) ( ) tx ftt dxtt ( )( )f ux 设设连连续续, ,有有连连续续的的导导数数, ,则则 ( ),f x 设设连连续续有有连连续续的的导导数数定定号号 则则 三、 不定积分的计算 3.3.分部积分法分部积分法 )()(xdgxfdxxgxf )( )( )()()()(xdfxgxgxf udvvduuvd )( (1)(1)何时用？何时用？ (2)(2)如何用？如何用？ 被积函数是两类不同函数相乘被积函数是两类不同函数相乘 ( )d ,( )sind ,( )cos; x nnn P x exP xxxP xxdx sin,cos. xx exdxexdx ( )ln,( )arctan,( )sin; nnn P xxdxP xxdxP x arcxdx 三、 不定积分的计算 1 (), ()n dx n xa 4.4.简单的有理函数的积分简单的有理函数的积分 2 2 (4 ,) ()n AxB dx pq n xpxq 或或 任一有理函数可分解为一个多项式与若干个部分分式的和任一有理函数可分解为一个多项式与若干个部分分式的和. . 这些部分分式的形式为这些部分分式的形式为 这两种形式的积分可用第一换元法求解这两种形式的积分可用第一换元法求解. . 1 2 2 2()n xpBA dx xpxq 三、 不定积分的计算 ,. n n axb xtt cxd 可可采采用用适适当当的的换换元元如如等等 5.5.无理函数的积分无理函数的积分 2 2 22 2 tan,sin, 21 12 cos,. 11 xt tx t t xdxdt tt 用用万万能能公公式式变变换换, ,如如则则 6.6.特定的三角函数的积分特定的三角函数的积分 2 4 sin11 ,. ln 1 x x dxe dxdxdx xx x 等等积积不不：出出来来注注意意