思想方法 第4讲 转化与化归思想.docx

第4讲转化与化归思想思想概述转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式方法一特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案例1(1)(2020青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：1(a>0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为()Ax2y29 Bx2y27Cx2y25 Dx2y24答案B解析因为椭圆C：1(a>0)的离心率为，所以，解得a3，所以椭圆C的方程为1，所以椭圆的上顶点A(0，)，右顶点B(2,0)，所以经过A，B两点的切线方程分别为y，x2，所以两条切线的交点坐标为(2，)，又过A，B的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上，可得圆的半径r，所以椭圆C的蒙日圆方程为x2y27.(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则等于()A. B. C. D.思路分析求考虑正三角形ABC的情况答案A解析令abc，则ABC为等边三角形，且cos Acos C，代入所求式子，得.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.方法二命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化例2(1)由命题“存在x0R，使m0”是假命题，得m的取值范围是(，a)，则实数a的值是()A(，1) B(，2)C1 D2思路分析命题：存在x0R，使m0是假命题任意xR，e|x1|m>0是真命题m<e|x1|恒成立求m的范围求a答案C解析由命题“存在x0R，使m0”是假命题，可知它的否定形式“任意xR，e|x1|m>0”是真命题，可得m的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故a1.(2)若对于任意t1,2，函数g(x)x3x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_思路分析g(x)在(t，3)上总不为单调函数先看g(x)在(t，3)上单调的条件补集法求m的取值范围答案解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t,3)上恒成立，所以m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x在x(t,3)上恒成立，则m49，即m.所以使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为<m<5.根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.方法三函数、方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数yf(x)的图象性质可以确定方程f(x)0，不等式f(x)>0和f(x)<0的解集例3(2020全国)若2x2y<3x3y，则()Aln(yx1)>0 Bln(yx1)<0Cln|xy|>0 Dln|xy|<0答案A解析2x2y<3x3y，2x3x<2y3y.y2x3x2xx在R上单调递增，x<y，yx1>1，ln(yx1)>ln 10.例4已知函数f(x)eln x，g(x)f(x)(x1)(e2.718)(1)求函数g(x)的极大值；(2)求证：1>ln(n1)(nN*)思路分析g(x)的极值ln x<x1赋值叠加证明结论(1)解g(x)f(x)(x1)ln x(x1)，g(x)1(x>0)令g(x)>0，解得0<x<1；令g(x)<0，解得x>1.函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)极大值g(1)2.(2)证明由(1)知x1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，g(x)g(1)2，即ln x(x1)2ln xx1(当且仅当x1时等号成立)，令tx1，得tln(t1)(t>1)取t(nN*)时，则>lnln，1>ln 2，>ln ，>ln ，>ln，叠加得1>lnln(n1)即1>ln(n1)(nN*)借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.