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高三数学寒假作业20一、单项选择题 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合Ax|ylg（3xx2），Bx|x1，则AB（）A（0，1）B（，0）C（，1）D0，1）2已知复数z满足（2i）z|3+4i|i，则z在复平面内对应的点（x，y）满足（）Ax+2y0Bx2y0C2x+y0D2xy03已知角的终边经过点（1，3），则2cos2-sin2cos2=（）A-178B78C78D34已知alog23，bln3，c20.1，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab5古希腊时期，人们把宽与长之比为5-12(5-120.618)的矩形称为黄金矩形，把这个比值5-12称为黄金分割比例如图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.7m，C与F间的距离小于12m，则该古建筑中A与B间的距离可能是（）（参考数据：0.61820.382，0.61830.236，0.61840.146，0.61850.090，0.61860.056，0.61870.034）A28mB29.2mC30.8mD32.5m6一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱（下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上），则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为（）A1B2C3D37已知数列an的前n项和为Sn，且a12，an+1Sn，若an（0，2020），则称项an为“和谐项”，则数列an的所有“和谐项”的平方和为（）A13411+83B13411-43C13410+83D13412-438已知函数f(x)=13x2-43x+4，x1，-13x3+x2-x+103，x1，若关于x的不等式f(x)|49x-a|在R上恒成立，则实数a的取值范围为（）A-4427，9227B-4427，26381C26381，9227D(-，-4427二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）9如图是20102020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法错误的是（）A2010年以来我国考研报名人数逐年增多B这11年来考研报名人数的极差超过260万人C2015年是这11年来报考人数最少的一年D2015年的报录比最低10关于双曲线C1：x29-y216=1与双曲线C2：y29-x216=-1，下列说法正确的是（）A它们有相同的渐近线B它们有相同的顶点C它们的离心率不相等D它们的焦距相等11下列命题中正确的为（）A在ABC中，若sin Asin B，则ABB若直线a，b，c满足：ab，ac，则bcCf(x)=x+1x-1的图象的对称中心为（1，1）D已知过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1x2=1412如图，已知函数f（x）Asin（x+）（其中A0，0，|2）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，BC=2BD，OCB=3，|OA|2，|AD|=2213则下列说法正确的有（）Af（x）的最小正周期为12B=-6Cf（x）的最大值为163Df（x）在区间（14，17）上单调递增三、填空题（本题共4小题）13已知向量a=（cos35，sin35），b=（cos5，sin5），则向量a-2b在a方向上的投影为 14(x+4x-4)5的展开式中，所有项的系数和为 ，x4项的系数为 152020年春，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界纷纷支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎某医院派出了5名医生和3名护士共8人前往武汉参加救治工作现将这8人分成两组分配到两所医院去，若要求每组至多5人，且护士所在组必须有医生，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）16我国古代数学名著九章算术中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱）如图，棱柱ABCA1B1C1为一个“堑堵”，底面ABC的三边中的最长边与最短边分别为AB，AC，且AB5，AC3，点P在棱BB1上，且PCPC1，则当APC1的面积取最小值时，异面直线AA1与PC1所成的角的余弦值为 四、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17在a3+a55，S47；4Snn2+3n；5S414S2，a5是a3与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目已知Sn为等差数列an的前n项和，若_（1）求an；（2）记bn=1a2na2n+2，求数列bn的前n项和Tn18已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（sinA+sinB）2bsinB（1）证明：AB；（2）记线段AB上靠近点B的三等分点为D，若CD=17，b5，求c19如图，在矩形ABCD中，AB2AD，点E是CD的中点将ADE沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且使平面PAE平面ABCE（1）求证：平面PBE平面PAE；（2）求平面PAE与平面BCP所成锐二面角的余弦值高三数学寒假作业20（答案解析）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合Ax|ylg（3xx2），Bx|x1，则AB（）A（0，1）B（，0）C（，1）D0，1）【解答】解：集合Ax|ylg（3xx2）x|3xx20x|0x3，Bx|x1，ABx|0x1故选：A2已知复数z满足（2i）z|3+4i|i，则z在复平面内对应的点（x，y）满足（）Ax+2y0Bx2y0C2x+y0D2xy0【解答】解：由（2i）z|3+4i|i5i，得z=5i2-i=5i(2+i)(2-i)(2+i)=-1+2i，即x+yi1+2i，得x1，y22x+y0故选：C3已知角的终边经过点（1，3），则2cos2-sin2cos2=（）A-178B78C78D3【解答】解：角终边经过点（1，3），tan=31=3，则2cos2-sin2cos2=2cos2-sin2cos2-sin2=2-tan21-tan2=2-321-32=78；故选：B4已知alog23，bln3，c20.1，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab【解答】解：0ln21，log23=ln3ln2ln3lne=1，20.1201，cba故选：C5古希腊时期，人们把宽与长之比为5-12(5-120.618)的矩形称为黄金矩形，把这个比值5-12称为黄金分割比例如图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.7m，C与F间的距离小于12m，则该古建筑中A与B间的距离可能是（）（参考数据：0.61820.382，0.61830.236，0.61840.146，0.61850.090，0.61860.056，0.61870.034）A28mB29.2mC30.8mD32.5m【解答】解：根据题意及图，可知MKKJ=5-12，KJGJ=5-12，GJFG=5-12，FGFC=5-12，各项相乘，可得MKKJKJGJGJFGFGFC=（5-12）4，即MKFC=（5-12）40.6184，MK1.7，FCMK0.61841.70.6184，又FC12，1.70.6184FC12，FCBC=5-12，BCAB=5-12，各项相乘，可得FCAB=（5-12）20.6182，ABFC0.6182，1.70.6186AB120.6182，1.70.618630.36，120.618231.41，30.36AB31.41，只有选项C符合要求故选：C6一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱（下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上），则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为（）A1B2C3D3【解答】解：由题意可得，PAPBAB4，故圆锥的高PO23，APO30，设圆柱的高为h，底面半径r，则PD23-h，故r23-h=33，所以h23-3r，圆柱侧面积S2rh=2333r（23-3r）233(3r+23-3r2)2=23，当且仅当3r23-3r即r1，h=3时取得最大值故选：D7已知数列an的前n项和为Sn，且a12，an+1Sn，若an（0，2020），则称项an为“和谐项”，则数列an的所有“和谐项”的平方和为（）A13411+83B13411-43C13410+83D13412-43【解答】解：因为 an+1Sn，所以 anSn1（n2），则 an+1anSnSn1，即 an+1anan，an+12an，所以an+1an=2(n2)，因为 a12，所以 a2S1a12，故 an=2n-1，n22，n=1，因为 an（0，2020），所以 1n11，于是数列an 的所有“和谐项“的平方和为：a12+a22+a102+a112=4+4+42+410=4+4(1-410)1-4=4+411-43=13411+83，故选：A8已知函数f(x)=13x2-43x+4，x1，-13x3+x2-x+103，x1，若关于x的不等式f(x)|49x-a|在R上恒成立，则实数a的取值范围为（）A-4427，9227B-4427，26381C26381，9227D(-，-4427【解答】解：当x1时，f（x）=13x2-43x+4=13（x2）2+830，当x1时，f（x）=-13x3+x2x+103，则f（x）x2+2x10，故f（x）在（，1）递减，f（x）f（1）30，若关于x的不等式f(x)|49x-a|在R上恒成立，则-13x2+43x449xa13x2-43x+4且13x3x2+x-10349xa-13x3+x2x+103恒成立，即-13x2+169x4a13x2-89x+4且13x3x2+139x-103a-13x3+x2-59x+103恒成立，所以（-13x2+169x4）maxa（13x2-89x+4）min且（13x3x2+139x-103）maxa（-13x3+x2-59x+103）min，对于y=-13x2+169x4（x1），对称轴是x=83，故x=83时y取最大值-4427，对于y=13x2-89x+4（x1），对称轴是x=43，故x=43时y取最小值9227，故-4427a9227，对于y=13x3x2+139x-103（x1），yx22x+1390，函数在（，1）递增，故yy|x1=-239，对于y=-13x3+x2-59x+103（x1），y（x1）2+49，令y0，解得13x1，令y0，解得x13，故函数在（，13）递减，在（13，1）递增，yminy|x=13=26381，故-239a26381，综合，得-4427a26381故选：B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9如图是20102020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法错误的是（）A2010年以来我国考研报名人数逐年增多B这11年来考研报名人数的极差超过260万人C2015年是这11年来报考人数最少的一年D2015年的报录比最低【解答】解：对于A：2010年以来，我国考研人数，在2015年略微下降，故错误；对于B：极差大约为320150170万人，故错误；对于C：2010年是这11年来报考人数最少的一年，故C错误；对于D：2015年的报录比最低，正确；故选：ABC10关于双曲线C1：x29-y216=1与双曲线C2：y29-x216=-1，下列说法正确的是（）A它们有相同的渐近线B它们有相同的顶点C它们的离心率不相等D它们的焦距相等【解答】解：双曲线C1：x29-y216=1的顶点坐标（3，0），渐近线方程：4x3y0，离心率为：53，焦距为10双曲线C2：y29-x216=-1，即：x216-y29=1，它的顶点坐标（4，0），渐近线方程：3x4y0，离心率为：54，焦距为10所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等故选：CD11下列命题中正确的为（）A在ABC中，若sin Asin B，则ABB若直线a，b，c满足：ab，ac，则bcCf(x)=x+1x-1的图象的对称中心为（1，1）D已知过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1x2=14【解答】解：A因为sinAsinB，由三角形的正弦定理，可得a2Rb2R，所以ab，所以AB，故A正确，B若直线a，b，c满足：ab，ac，则bc或相交，故B错误，Cg（x）x+1x关于原点对称，f（x）x+1x-1=x1+1x-1+1，将g（x）先向右平移一个单位，再向上平移1个单位得到f（x），所以f（x）的对称中心（1，1），故C正确，D抛物线y24x焦点F（1，0），设经过F的直线方程为xmy+1，联立x=my+1y2=4x，得y24my40，y1+y24m，y1y24，x1x2（my1+1）（my2+1）m2y1y2+m（y1+y2）+14m2+m4m+11，故D错误，故选：AC12如图，已知函数f（x）Asin（x+）（其中A0，0，|2）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，BC=2BD，OCB=3，|OA|2，|AD|=2213则下列说法正确的有（）Af（x）的最小正周期为12B=-6Cf（x）的最大值为163Df（x）在区间（14，17）上单调递增【解答】解：由题意可得：|OB|=3|OC|，A（2，0），B（2+，0），C（0，Asin）3|Asin|2+，sin（2+）0，D（1+2，Asin2），|AD|=2213，(1-2)2+A2sin24=283，把|Asin|=13（2+）代入上式可得：()2-2-240，0解得=6，=6，可得周期T=2=12sin（3+）0，|2，解得=-3可知：B不对3|Asin（-3）|2+6，A0，解得A=163函数f（x）=163sin（6x-3），可知C正确x（14，17）时，（6x-3）（2，52），可得：函数f（x）在x（14，17）单调递增综上可得：ACD正确故选：ACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知向量a=（cos35，sin35），b=（cos5，sin5），则向量a-2b在a方向上的投影为1-3【解答】解：因为a=（cos35，sin35），b=（cos5，sin5），所以|a|1，ab=cos35cos5+sin35sin5cos30=32，所以（a-2b）a=a2-2ab=1-3，则向量a-2b在a方向上的投影a(a-2b)|a|=1-3故答案为：1-314(x+4x-4)5的展开式中，所有项的系数和为1，x4项的系数为20【解答】解：(x+4x-4)5的展开式中，令x1，可得所有项的系数和为1(x+4x-4)5的展开式中，通项公式为 Tr+1=C5r(x+4x)5-r（4）r对于(x+4x)5-r，通项公式为 Tk+1=C5-rk4kx5r2k，令5r2k4，r0，1，2，3，4，5，k0，1，2，5r，可得 r1、k0，故x4项的系数为C51（4）1C404020，故答案为：1；20152020年春，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界纷纷支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎某医院派出了5名医生和3名护士共8人前往武汉参加救治工作现将这8人分成两组分配到两所医院去，若要求每组至多5人，且护士所在组必须有医生，则不同的分配方案共有180种（用数字作答）【解答】解：要求每组至多5人，且护士所在组必须有医生，则可以分为一组1名女护士2名男医生，另一组则为2名女护士3名男医生，此时有C31C5230种，可以分为一组1名女护士3名男医生，另一组则为2名女护士2名男医生，此时有C31C5330种，可以分为一组1名女护士4名男医生，另一组则为2名女护士1名男医生，此时有C31C5415种，可以分为一组3名女护士1名男医生，另一组则为4名男医生，此时有C33C515种，可以分为一组3名女护士2名男医生，另一组则为2名男医生，此时有C33C5210种，故总的分类有30+30+15+5+1090种，再将分成的两组分配到两所医院去，共有902180种，故答案为：18016我国古代数学名著九章算术中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱）如图，棱柱ABCA1B1C1为一个“堑堵”，底面ABC的三边中的最长边与最短边分别为AB，AC，且AB5，AC3，点P在棱BB1上，且PCPC1，则当APC1的面积取最小值时，异面直线AA1与PC1所成的角的余弦值为23【解答】解：设直三棱柱的高为x，BPy，则B1Pxy，ABC为直角三角形，且AB5，AC3，BC4，由勾股定理知，PC2BC2+BP216+y2，PC12=B1C12+B1P2=16+(x-y)2，PCPC1，PC2+PC12=CC12，即16+y2+16+（xy）2x2，整理得y2xy+160，即x=y2+16y过P作PQCC1于点Q，再过点Q作QMAC1为于点M，则PMAC1，即PM为APC1的边AC1上的高，在ACC1中，sinAC1C=MQC1Q=ACAC1，MQ=ACC1QAC1=3(x-y)9+x2，PM2=PQ2+MQ2=16+9(x-y)29+x2，SAPC12=(12PMAC1)2=14PM2AC12=1416+9(x-y)29+x2(9+x2)=1416(9+x2)+9(x-y)2，把x=y2+16y代入上式，化简得SAPC12=14(16y2+25162y2+656)14(16y225162y2+656)，当且仅当16y2=25162y2，即y220，y=25时，等号成立，此时APC1的面积取得最小值，x=20+1625=185AA1BB1，B1PC1即为异面直线AA1与PC1所成的角，sinB1PC1=B1C1PC1=416+(x-y)2=416+(185-25)2=53，cosB1PC1=23，即异面直线AA1与PC1所成的角的余弦值为23故答案为：23四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17在a3+a55，S47；4Snn2+3n；5S414S2，a5是a3与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目已知Sn为等差数列an的前n项和，若_（1）求an；（2）记bn=1a2na2n+2，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）选择条件：设等差数列an的公差为d，则2a1+6d=5，4a1+432d=7，解得a1=1，d=12，an=n+12，nN*；选择条件：4Snn2+3n，当n2时，4an4Sn4Sn1n2+3n（n1）2+3（n1）2n+2即an=n+12（n2），当n1时，a1=S1=12+314=1，也适合上式，an=n+12，nN*；选择条件：设等差数列an的公差为d，则5(4a1+6d)=14(2a1+d)，(a1+4d)2=92(a1+2d)，解得a11，d=12，或a10，d0，不合题意，舍去，an=n+12，nN*；（2）由（1）可知，bn=1a2na2n+2=4(2n+1)(2n+3)=2(12n+1-12n+3)，Tn=b1+b2+bn=2(13-15+15-17+12n+1-12n+3)=2(13-12n+3)=4n6n+918已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（sinA+sinB）2bsinB（1）证明：AB；（2）记线段AB上靠近点B的三等分点为D，若CD=17，b5，求c【解答】解：（1）因为a（sinA+sinB）2bsinB，所以由正弦定理得a（a+b）2b2，整理得（a+2b）（ab）0因为a+2b0，所以ab，即AB（2）设BDx，则AD2x，由余弦定理可得cosCDA=4x2+17-2522x17，cosCDB=x2+17-252x17因为CDACDB，所以4x2+17-2522x17=x2+17-252x17，解得x2，所以cAB3BD619如图，在矩形ABCD中，AB2AD，点E是CD的中点将ADE沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且使平面PAE平面ABCE（1）求证：平面PBE平面PAE；（2）求平面PAE与平面BCP所成锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：AB2AD，ADDE，DEA=4，同理CEB=4，AEB=2，即BEAE，又平面PAE平面ABCE，平面PAE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面PAE，又BE平面PBE，平面PBE平面PAE（2）解：取AE的中点O，连接OP，则OPAE，又平面PAE平面ABCE，平面PAE平面ABCEAE，OP平面PAE，OP平面ABCE以E为原点，EA、EB分别为x轴，y轴，过点E作PO的平行线为z轴建立空间直角坐标系Exyz设AB4，则E（0，0，0），A（22，0，0），B（0，22，0），P（2，0，2），AB=(-22，22，0)，PB=(-2，22，-2)，EC=12AB=(-2，2，0)，C（-2，2，0）CB=(2，2，0)设平面BCP的法向量为n=（x，y，z），nCB=0，nPB=0，2x+2y=0，-2x+22y-2z=0，即x+y=0，-x+2y-z=0，令x1，得n=（1，1，3）由（1）知，平面PAE的一个法向量为EB=(0，22，0)，设平面PAE与平面BCP所成的角为则cos=|cosEB，n|=|EBn|EB|n|=|01+22(-1)+0(-3)|2212+(-1)2+(-3)2=1111平面PAE与平面BCP所成锐二面角的余弦值为1111