解析几何压轴大题专题突破.docx

解析几何压轴大题专题突破 1. 已知命题 p ：方程 x22m+y29-m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q：双曲线 y25-x2m=1 的离心率 e62,2，若命题 p，q 中有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围. 2. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x=3cos,y=sin,（ 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin+4=22（1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标 3. 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1:x=-2，圆 C2:x-12+y-22=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求 C1，C2 的极坐标方程；（2）若直线 C3 的极坐标方程为 =4R，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求 C2MN 的面积 4. 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x=-1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A，B 两点（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求 OAOB 的值；（3）如果 OAOB=-4，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由 5. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 与直线 x-2y+4=0 相切（1）求该抛物线的方程；（2）在 x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点 M，过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，使得 1AM2+1BM2 为定值如果存在，求出点 M 坐标；如果不存在，请说明理由 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 A 的坐标为 2-3sin,3cos-2，其中 R在极坐标系（以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，直线 C 的方程为 cos-4=a（1）判断动点 A 的轨迹的形状；（2）若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数 a 的值 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 63且过点 3,-1（1）求椭圆 C 的方徎；（2）动点 P 在直线 l：x=-22 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M，N 两点，使得 PM=PN，再过 P 作直线 lMN，直线 l 是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由 8. 在平面直角坐标系 xOy 中，C1:x=t,y=kt-1（t 为参数）以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C2:2+10cos-6sin+33=0（1）求 C1 的普通方程及 C2 的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若 P，Q 分别为 C1，C2 上的动点，且 PQ 的最小值为 2，求 k 的值 9. 设 F1，F2 分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N（1）若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 MN=5F1N，求 a，b 10. 已知抛物线 E:x2=2pyp>0，直线 y=kx+2 与 E 交于 A，B 两点，且 OAOB=2，其中 O 为原点（1）求抛物线 E 的方程；（2）点 C 坐标为 0,-2，记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2，证明：k12+k22-2k2 为定值 11. 已知椭圆的一个顶点为 A0,-1，焦点在 x 轴上若右焦点到直线 x-y+22=0 的距离为 3（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线 y=kx+mk0 相交于不同的两点 M，N当 AM=AN 时，求 m 的取值范围 12. 双曲线 C 与椭圆 x28+y24=1 有相同的焦点，直线 y=3x 为 C 的一条渐近线求双曲线 C 的方程 13. 已知不过第二象限的直线 l:ax-y-4=0 与圆 x2+y-12=5 相切（1）求直线 l 的方程；（2）若直线 l1 过点 3,-1 且与直线 l 平行，直线 l2 与直线 l1 关于直线 y=1 对称，求直线 l2 的方程 14. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 x=1+cos,y=sin（ 为参数）以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 sin+3cos=33，射线 OM：=3 与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 15. 双曲线与椭圆有共同的焦点 F10,-5，F20,5，点 P3,4 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程 16. 在抛物线 y=4x2 上有一点 P，若点 P 到直线 y=4x-5 的距离最短，求该点 P 坐标和最短距离 17. 已知函数 y=a2-x+1（a>0，且 a1）的图象恒过定点 A，点 A 在直线 mx+ny=1mn>0 上，求 1m+1n 的最小值 18. 已知直线 l:y=x+m 与抛物线 y2=8x 交于 A，B 两点，（1）若 AB=10，求 m 的值；（2）若 OAOB，求 m 的值 19. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为 2-1，求椭圆的方程 20. 讨论直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:x2-y2=1 的公共点的个数 21. 已知 p：方程 x2+2mx+m+2=0 有两个不等的正根；q：方程 x2m+3-y22m-1=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线（1）若 q 为真命题，求实数 m 的取值范围；（2）若“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，求实数 m 的取值范围 22. 已知双曲线的焦点在 x 轴上，F1F2=23，渐近线方程为 2xy=0，问：过点 B1,1 能否作直线 l，使 l 与双曲线交于 M，N 两点，并且点 B 为线段 MN 的中点?若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 23. 已知点 P2,0 及圆 C：x2+y2-6x+4y+4=0（1）设过 P 的直线 l1 与圆 C 交于 M，N 两点，当 MN=4 时，求以 MN 为直径的圆 Q 的方程；（2）设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A，B 两点，是否存在实数 a，使得过点 P2,0 的直线 l2 垂直平分弦 AB?若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由 24. 在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l:x=1+22ty=2+22tt为参数，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C:21+sin2=2（1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为 1,2，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求 MAMB 的值 25. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0，离心率为 32，两焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，且 F2MN 的周长为 8（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 Pm,0 作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，求弦长 AB 的最大值 26. 已知数列 an 的首项为 1，Sn 为数列 an 的前 n 项和，Sn=qSn-1+1，其中 q>0，n>1，nN*（1）若 2a2，a3，a2+2 成等差数列，求 an 的通项公式；（2）设双曲线 x2-y2an2=1 的离心率为 en，且 e2=3，求 e12+e22+en2 27. 已知曲线 C 的极坐标方程为 =2cos-4sin，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 x=1+tcos,y=-1+tsin（t 为参数）（1）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由；（2）若直线 l 和曲线 C 相交于 A，B 两点，且 AB=32，求直线 l 的斜率 28. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率 e=63，坐标原点到直线 l:y=bx+2 的距离为 2（1）求椭圆的方程；（2）若直线 y=kx+2k0 与椭圆相交于 C，D 两点，是否存在实数 k，使得以 CD 为直径的圆过点 E-1,0?若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由 29. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 P-3,0，其倾斜角为 ，以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系设曲线 C 的极坐标方程为 2-2cos-3=0（1）若直线 l 与曲线 C 有公共点，求倾斜角 的取值范围；（2）设 Mx,y 为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围 30. 椭圆与双曲线有许多优美的对称性质对于椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 有如下命题：AB 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 kOMkAB=-b2a2 为定值那么对于双曲线 x2a2-y2b2=1a>0,b>0 则有命题：AB 是双曲线 x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 kOMkAB= 定值 （在横线上填上正确的结论）并证明你的结论 31. （1）求中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距等于 4，且经过点 P3,-26 的椭圆方程；（2）求 e=63，并且过点 3,0 的椭圆的标准方程 32. 已知抛物线 y2=4x，焦点为 F，顶点为 O，点 P 在抛物线上移动，Q 是 OP 的中点，M 是 FQ 的中点，求点 M 的轨迹方程 33. 已知点 A0,-2，椭圆 E：x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32，F 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为 233，O 为坐标原点（1）求 E 的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程 34. P 为椭圆 x225+y29=1 上一点，F1，F2 为左右焦点，若 F1PF2=60（1）求 F1PF2 的面积；（2）求 P 点的坐标 35. 已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的渐近线方程为：y=3x，右顶点为 1,0（1）求双曲线 C 的方程；（2）已知直线 y=x+m 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点为 Mx0,y0当 x00 时，求 y0x0 的值 36. 已知双曲线 x216-y24=1 的两焦点为 F1，F2（1）若点 M 在双曲线上，且 MF1MF2=0，求 M 点到 x 轴的距离；（2）若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点 32,2，求双曲线 C 的方程 37. 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的两个焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF1=43，PF2=143，PF1PF2（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 L 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A，B 两点，且 A，B 关于点 M 对称，求直线 L 的方程 38. 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 4x+3y-29=0 相切（1）求圆的方程；（2）设直线 ax-y+5=0a>0 与圆相交于 A，B 两点，求实数 a 的取值范围；（3）在 的条件下，是否存在实数 a，使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P-2,4，若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由 39. 已知直线 C1:x=1+tcos,y=tsint为参数，圆 C2:x=cos,y=sin为参数（1）当 =3 时，求 C1 与 C2 的交点坐标；（2）过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线 40. 已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x-3y=0 上，且被直线 y=x 截得的弦长为 27，求圆 C 的方程 41. 如图，直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A（1）求实数 b 的值；（2）求以 A 点为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程 42. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x+62+y2=25（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的参数方程是 x=tcos,y=tsin,（t 为参数），直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，AB=10，求 l 的斜率 43. 已知双曲线与椭圆 x29+y225=1 有公共焦点 F1，F2，它们的离心率之和为 245（1）求双曲线的标准方程；（2）设 P 是双曲线与椭圆的一个交点，求 cosF1PF2 44. 抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线 x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为 32,6，求抛物线与双曲线方程 45. 已知曲线 C 上任一点 P 到点 F1,0 的距离比它到直线 l：x=-2 的距离少 1（1）求曲线 C 的方程；（2）过点 Q1,2 作两条倾斜角互补的直线与曲线 C 分别交于点 A，B，试问：直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由 46. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 x=2cos,y=2sin（ 为参数），直线 l 过点 0,2 且倾斜角为 3（1）求圆 C 的普通方程及直线 l 的参数方程；（2）设直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求弦 AB 的长 47. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的一个长轴顶点为 A2,0，离心率为 22，直线 y=kx-1 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N（1）求椭圆 C 的方程；（2）当 AMN 的面积为 103 时，求 k 的值 48. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点为 F1，F2，A 点在椭圆上，离心率是 22，AF2 与 x 轴垂直，且 AF2=2（1）求椭圆的方程；（2）若点 A 在第一象限，过点 A 作直线 l，与椭圆交于另一点 B，求 AOB 面积的最大值 49. 已知点 1,22 在椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上，椭圆离心率为 22（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于两点 A，B，在 x 轴上是否存在点 M，使得 MAMB 为定值?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由参考答案，仅供参考1. 若命题 p：方程 x22m+y29-m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆为真命题；则 9-m>2m>0，解得 0<m<3，则命题 p 为假命题时，m0 或 m3，若命题 q：双曲线 y25-x2m=1 的离心率 e62,2 为真命题；则 5+m562,2，即 5+m532,2，即 52<m<5，则命题 q 为假命题时，m52 或 m5，因为命题 p，q 中有且只有一个为真命题，当 p 真 q 假时，0<m52，当 p 假 q 真时，3m<5，综上所述，实数 m 的取值范围是：0<m52 或 3m<52. （1） C1:x=3cos,y=sin（ 为参数）的直角坐标方程是：x23+y2=1， C2 的直角坐标方程：sin+4=22，整理得，22sin+22cos=22，x+y=4（2） 设 x+y=4 的平行线为 l1:x+y+c=0，当 l1:x+y+c=0 且 c<0 和 C1 相切时 PQ 距离最小，联立直线和椭圆方程得 x23+x+c2-1=0，整理得 4x23+2cx+c2-1=0，需要满足 =-4c23+163=0，求得 c=2，当直线为 l1:x+y-2=0 时，满足题意，此时 PQ=2，此时直线 l1 和椭圆交点即是 P 点坐标 32,123. （1） C1:cos=-2，C2:2-2cos-4sin+4=0（2） C3:y=x，圆 C2 的圆心 C2 到 y=x 的距离 d=2-12=22， MN=212-222=2， SC2MN=12MNd=12222=124. （1） 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x=-1，所以 p2=1，p=2所以抛物线的标准方程为 y2=4x（2） 设 l:my=x-1，与 y2=4x 联立，得 y2-4my-4=0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，所以 y1+y2=4m，y1y2=-4，所以 OAOB=x1x2+y1y2=m2+1y1y2+my1+y2+1=-3.（3） 假设直线 l 过定点，设 l:my=x+n，my=x+n,y2=4x, 得 y2-4my+4n=0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，所以 y1+y2=4m，y1y2=4n由 OAOB=-4=m2+1y1y2-mny1+y2+n2=n2+4n, 解得 n=-2，所以 l:my=x-2 过定点 2,05. （1） 联立方程有，x-2y+4=0,y2=2px, 有 y2-22py+8p=0，由于直线与抛物线相切，得 =8p2-32p=0，所以 p=4，所以 y2=8x（2） 假设存在满足条件的点 Mm,0m>0，直线 l:x=ty+m，有 x=ty+m,y2=8x, y2-8ty-8m=0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，有 >0，y1+y2=8t，y1y2=-8m，AM2=x1-m2+y12=t2+1y12，BM2=x2-m2+y22=t2+1y22， 1AM2+1BM2=1t2+1y12+1t2+1y22=1t2+1y12+y22y12y22=1t2+14t2+m4m2, 当 m=4，满足 >0 时，1AM2+1BM2 为定值，所以 M4,06. （1） 设动点 A 的直角坐标为 x,y，则 x=2-3sin,y=3cos-2, 所以动点 A 的轨迹方程为 x-22+y+22=9，其轨迹是半径为 3 的圆（2） 直线 C 的极坐标方程 cos-4=a 化为直角坐标方程是 2x+2y=2a，由 22-22-2a2=3，得 a=3 或 a=-37. （1） 因为椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 63且过点 3,-1，所以 9a2+1b2=1,c2a2=a2-b2a2=632, 解得 a2=12，b2=4，所以椭圆 C 的方程为 x212+y24=1（2） 因为直线 l 的方程为 x=-22，设 P-22,y0，y0-233,233，当 y00 时，设 Mx1,y1，Nx2,y2，由题意知 x1x2，联立 x1212+y124=1,x2212+y224=1, 所以 x12-x2212+y12-y224=0，所以 y1-y2x1-x2=13x1+x2y1+y2，又因为 PM=PN，所以 P 为线段 MN 的中点，所以直线 MN 的斜率为 -13-22y0=223y0，又 lMN，所以 l 的方程为 y-y0=-3y022x+22，即 y=-3y022x+423，所以 l 恒过定点 -423,0当 y0=0 时，直线 MN 为 x=-22，此时 l 为 x 轴，也过点 -423,0，综上，l 恒过定点 -423,08. （1） 由 x=t,y=kt-1, 可得其普通方程为 y=kx-1，它表示过定点 1,0，斜率为 k 的直线由 2+10cos-6sin+33=0 可得其直角坐标方程为 x2+y2+10x-6y+33=0，整理得 x+52+y-32=1，它表示圆心为 -5,3，半径为 1 的圆（2） 因为圆心 -5,3 到直线 y=kx-1 的距离 d=-6k-31+k2=6k+31+k2，故 PQ 的最小值为 6k+31+k2-1，故 6k+31+k2-1=2，得 3k2+4k=0，解得 k=0 或 k=-439. （1） 根据 c=a2-b2 及题设知 Mc,b2a，F2-c,0，由斜率公式并化简整理易得 2b2=3ac将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac，解得 ca=12 或 ca=-2（舍去）故 C 的离心率为 12（2） 由题意，得原点 O 为 F1F2 的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D0,2 是线段 MF1 的中点，故 b2a=4，即 b2=4a. 由 MN=5F1N 得 DF1=2F1N设 Nx1,y1，由题意知 y1<0，则 2-c-x1=c,-2y1=2, 即 x1=-32c,y1=-1. 代入 C 的方程，得 9c24a2+1b2=1. 将 及 c=a2-b2 代入 得 9a2-4a4a2+14a=1解得 a=7，b2=4a=28，故 a=7，b=2710. （1） 将 y=kx+2 代入 x2=2py，得 x2-2pkx-4p=0其中 >0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1+x2=2pk，x1x2=-4p 所以 OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+x122px222p=-4p+4由已知，-4p+4=2，解得 p=12，所以抛物线 E 的方程为 x2=y（2） 由（1）知，x1+x2=k，x1x2=-2 k1=y1+2x1=x12+2x1=x12-x1x2x1=x1-x2，同理 k2=x2-x1，k=y1-y2x1-x2=x12-x22x1-x2=x1+x2，所以 k12+k22-2k2=-8x1x2=16.11. （1） 依题意可设椭圆方程为 x2a2+y2=1，则右焦点 Fa2-1,0，由题设 a2-1+222=3，解得 a2=3，故所求椭圆的方程为 x23+y2=1（2） 设 P 为弦 MN 的中点，由 y=kx+m,x23+y2=1, 得 3k2+1x2+6mkx+3m2-1=0，由于直线与椭圆有两个交点，所以 >0，即 m2<3k2+1, 所以 xP=xM+xN2=-3mk3k2+1，从而 yP=kxP+m=m3k2+1，所以 kAP=yP+1xP=-m+3k2+13mk，又 AM=AN，所以 APMN，则 -m+3k2+13mk=-1k，即 2m=3k2+1, 把 代入 得 2m>m2 解得 0<m<2，由 得 k2=2m-13>0，解得 m>12故所求 m 的取值范围是 12,212. 设双曲线方程为 x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由椭圆 x28+y24=1，求得两焦点为 -2,0，2,0，所以对于双曲线 C：c=2又 y=3x 为双曲线 C 的一条渐近线，所以 ba=3，解得 a=1，b=3所以双曲线 C 的方程为 x2-y23=113. （1） 因为直线 l 与圆 x2+y-12=5 相切，所以 51+a2=5，因为直线 l 不过第二象限，所以 a=2，所以直线 l 的方程为 2x-y-4=0（2） 因为直线 l1 过点 3,-1 且与直线 l 平行，所以设直线 l1 的方程为 2x-y+b=0，因为直线 l1 过点 3,-1，所以 b=-7，则直线 l1 的方程为 2x-y-7=0，因为直线 l2 与 l1 关于 y=1 对称，所以直线 l2 的斜率为 -2，且过点 4,1，所以直线 l2 的方程为 y-1=-2x-4，即化简得 2x+y-9=014. （1） 圆 C 的参数方程 x=1+cos,y=sin（ 为参数）消去参数可得：x-12+y2=1把 x=cos，y=sin 代入化简得：=2cos，即为此圆的极坐标方程（2） 如图所示，由直线 l 的极坐标方程是 sin+3cos=33，射线 OM：=3可得普通方程：直线 l：y+3x=33，射线 OM：y=3x联立 y+3x=33,y=3x, 解得 x=32,y=332, 即 Q32,332联立 y=3x,x-12+y2=1, 解得 x=0,y=0 或 x=12,y=32. 所以 P12,32来自QQ群284110736所以 PQ=12-322+32-3322=215. 由共同的焦点 F10,-5，F20,5，可设椭圆方程为 y2a2+x2a2-25=1，双曲线方程为 y2b2-x225-b2=1，点 P3,4 在椭圆上，16a2+9a2-25=1，解得 a2=40，双曲线的过点 P3,4 的渐近线为 y=43x，故 b225-b2=169，解得 b2=16所以椭圆方程为：y240+x215=1；双曲线方程为：y216-x29=116. 设点 Pt,4t2，点 P 到直线 y=4x-5 的距离为 d，则 d=4t-4t2-517=4t-122+417当 t=12 时，d 取得最小值，此时 P12,1 为所求的点，最短距离为 4171717. 当 x=2 时 y=2，所以过定点 A2,2，因为 A 在直线上，所以 2m+2n=1，且 mn>0，所以 1m+1n=1m+1n2m+2n=2+2+2mn+2nm4+24=8，即 1m+1n 的最小值为 818. （1） 设 Ax1,y1，Bx2,y2 y=x+m,y2=8xx2+2m-8x+m2=0=2m-82-4m2>0,x1+x2=8-2m,x1x2=m2. AB=2x1-x2=2x1+x22-4x1x2=10, m=716，因为 m<2，所以 m=716（2） 因为 OAOB，所以 x1x2+y1y2=0， x1x2+x1+mx2+m=0，2x1x2+mx1+x2+m2=0 2m2+m8-2m+m2=0，m2+8m=0，m=0 或 m=-8，经检验 m=-819. 因为椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，所以 b=c，a=2b，又焦点到同侧长轴端点距离为 2-1，即 a-c=2-1，即 a-b=2-1，解得 a=2，b=c=1，所以当焦点在 x 轴时，椭圆的方程为：x22+y2=1；当焦点在 y 轴时，椭圆的方程为 y22+x2=120. 由方程组 y=kx+1,x2-y2=1 消去 y，得 1-k2x2-2kx-2=0，当 1-k2=0，即 k=1 时，有一个交点当 1-k20，即 k1 时， =-2k2+421-k2=8-4k2由 >0，即 8-4k2>0，得 -2<k<2，此时有两个交点由 =0，即 8-4k2=0，得 k=2，此时有一个交点由 <0，即 8-4k2<0，得 k<-2 或 k>2，此时没有交点综上知，当 k-2,-1-1,11,2 时，直线 l 与曲线 C 有两个交点；当 k=2 时，直线 l 与曲线 C 切于一点；当 k=1 时，直线 l 与曲线 C 交于一点；当 k-,-22,+ 时，直线 l 与曲线 C 没有交点21. （1） 由已知方程 x2m+3-y22m-1=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 m+3<0,1-2m>0, 得 m<-3,m<12, 得 m<-3，即 q：m<-3（2） 若方程 x2+2mx+m+2=0 有两个不等的正根，则 =4m2-4m+2>0,-2m>0,m+2>0, 解得 -2<m<-1，即 p：-2<m<-1因 p 或 q 为真，所以 p，q 至少有一个为真又 p 且 q 为假，所以 p，q 至少有一个为假因此，p，q 两命题应一真一假，当 p 为真，q 为假时，-2<m<-1,m-3, 解得 -2<m<-1；当 p 为假，q 为真时，m-2或m-1,m<-3, 解得 m<-3综上，-2<m<-1 或 m<-322. 根据题意，c=3，ba=2，所以 a=1，b=2所以双曲线的方程是：x2-y22=1过点 B1,1 的直线方程为 y=kx-1+1 或 x=1当 k 存在时，联立方程可得 2-k2x2+2k2-2kx-k2+2k-3=0当直线与双曲线相交于两个不同点，可得 =2k2-2k2-42-k2-k2+2k-3>0，k<32，又方程的两个不同的根是两交点 M，N 的横坐标，所以 x1+x2=2k-k22-k2又因为 B1,1 是线段 MN 的中点，所以 2k-k22-k2=2，解得 k=2所以 k=2，使 2-k20 但使 <0因此当 k=2 时，方程 2-k2x2+2k2-2kx-k2+2k-3=0 无实数解，故过点 B1,1 与双曲线交于两点 M，N 且 B 为线段 MN 中点的直线不存在当 x=1 时，直线经过点 B 但不满足条件综上所述，符合条件的直线 l 不存在23. （1） 由于圆 C：x2+y2-6x+4y+4=0 的圆心 C3,-2，半径为 3，CP=5，而弦心距 d=5，所以 d=CP=5，所以 P 为 MN 的中点，所以所求圆的圆心坐标为 2,0，半径为 12MN=2，故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 x-22+y2=4；（2） 把直线 ax-y+1=0 即 y=ax+1 代入圆 C 的方程，消去 y，整理得 a2+1x2+6a-1x+9=0由于直线 ax-y+1=0 交圆 C 于 A，B 两点，故 =36a-12-36a2+1>0，即 -2a>0，解得 a<0则实数 a 的取值范围是 -,0设符合条件的实数 a 存在，由于 l2 垂直平分弦 AB，故圆心 C3,-2 必在 l2 上所以 l2 的斜率 kPC=-2，所以 kAB=a=12，由于 12-,0，故不存在实数 a，使得过点 P2,0 的直线 l2 垂直平分弦 AB24. （1） 直线 l:x=1+22ty=2+22tt为参数，消去参数 t 可得普通方程 l:x-y+1=0曲线 C:21+sin2=2，可得 2+sin2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即 C:x22+y2=1（2） 把 l:x=1+22ty=2+22t 代入 x22+y2=1 中，整理得 3t2+102t+14=0，设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，所以 t1t2=143，点 M 在直线上由 t 的几何意义可知，MAMB=t1t2=14325. （1） 由题得：ca=32，4a=8，所以 a=2，c=3又 b2=a2-c2，所以 b=1，即椭圆 C 的方程为 x24+y2=1（2） 由题意知，m1当 m=1 时，切线 l 的方程 x=1，点 A，B 的坐标分别为 1,32，1,-32，此时 AB=3；当 m=-1 时，同理可得 AB=3当 m>1 时，设切线 l 的方程为 y=kx-mk0，由 l 与圆 x2+y2=1 相切，得 kmk2+1=1，即 m2k2=k2+1得 k2=1m2-1由 y=kx-m,x24+y2=1 得 1+4k2x2-8k2mx+4k2m2-4=0设 A，B 两点的坐标分别为 x1,y1，x2,y2，则 =64k4m2-41+4k24k2m2-4=48k2>0，x1+x2=8k2m1+4k2，x1x2=4k2m2-41+4k2所以 AB=x2-x12+y2-y12=1+k264k4m21+4k22-44k2m2-41+4k2=43mm2+3. 因为 m1，所以 AB=43mm2+3=43m+3m2，且当 m=3 时，AB=2，由于当 m=1 时，AB=3，所以 AB 的最大值为 226. （1） 当 n2 时，Sn+1=qSn+1, Sn=qSn-1+1, - 得 an+1=qan，即从第二项开始，数列 an 为等比数列，公比为 q ，当 n=2 时，S2=qS1+1，即 a1+a2=qa1+1，可得 a2=a1q，所以数列 an 是以 1 为首项，q 为公比的等比数列，