思想方法 第1讲 函数与方程思想.docx

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等第1讲函数与方程思想思想概述函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决方法一运用函数相关概念的本质解题在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质例1若函数f(x)(a>0且a1)是R上的减函数，则实数a的取值范围为()A(0,1) B.C. D.思路分析先求出f(x)ax是减函数时a的范围满足03aa0时a的范围取交集答案B解析函数f(x)是R上的减函数，解得a<1.实数a的取值范围为.故选B.批注在函数的第一段中，虽然没有x0，但当x0时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值f(0)，这是解题的一个易忽视点究其原因，就是未把分段函数看成是一个函数，一个整体解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视方法二利用函数性质求解方程问题函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题例2(1)(2020全国)若2alog2a4b2log4b，则()Aa>2b Ba<2b Ca>b2 Da<b2答案B解析由指数和对数的运算性质可得2alog2a4b2log4b22blog2b.令f(x)2xlog2x，则f(x)在(0，)上单调递增，又22blog2b<22blog2b122blog22b，2alog2a<22blog22b，即f(a)<f(2b)，a<2b.(2)设x，y为实数，满足(x1)32 020(x1)1，(y1)32 020(y1)1，则xy_.思路分析观察两方程形式特征借助函数f(t)t32 020t的单调性、奇偶性f(x1)f(1y)求出xy答案2解析令f(t)t32 020t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数由f(x1)1f(y1)f(1y)，可得x11y，xy2.批注通过方程的特征构造函数，利用函数性质寻求变量间的关系 函数与方程的相互转化：对于方程f(x)0，可利用函数yf(x)的图象和性质求解问题.方法三构造函数解决一些数学问题在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果.例3求使不等式2x1>m(x21)对于|m|2的一切实数m都成立的x的取值范围思路分析恒成立问题函数最值问题构造关于m的一次函数解构造函数f(m)(x21)m(2x1)，m2,2，f(m)<0在m2,2上恒成立<x<.所以x的取值范围是.例4如图，已知在ABC中，C90，PA平面ABC，AEPB于点E，AFPC于点F，APAB2，AEF，当变化时，求三棱锥PAEF体积的最大值思路分析求VPAEF的最值用表示VPAEF，构造函数求函数的最值解因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，又BCAC，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BC平面PAC，而AF平面PAC，所以BCAF.又因为AFPC，PCBCC，PC，BC平面PBC，所以AF平面PBC，而EF平面PBC，所以AFEF.所以EF是AE在平面PBC内的射影因为AEPB，所以EFPB，又AEEFE，AE，EF平面AEF，所以PB平面AEF，所以PE平面AEF.在RtPAB中，因为APAB2，AEPB，所以PE，AE，AFsin ，EFcos .VPAEFSAEFPEsin cos sin 2.因为0<<，所以0<2<.所以当2，即时，sin 2取得最大值1，则VPAEF取得最大值.批注的变化是由AC，BC的变化引起的三棱锥PAEF的高PE为定值，只要SAEF最大即可在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系，使问题明晰化.