高三寒假讲义第22讲　坐标系与参数方程.docx

第二十二讲坐标系与参数方程高考考点考点解读参数方程1.直线、圆、椭圆、抛物线的参数方程2参数方程与普通方程的互化极坐标1.常见的直线及圆的极坐标方程2极坐标方程与直角坐标方程的互化备考策略本部分内容在备考时应注意以下知识点：一是参数方程、极坐标与曲线的关系；二是由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与直角坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题的应用等，考查知识点较为简单和稳定，这也为大家的备考指明了方向Z 1直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则2圆的极坐标方程(1)若圆心为M(0，0)，半径为r，则圆的方程为：220cos(0)r20.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程当圆心位于极点，半径为r：r；当圆心位于M(a,0)，半径为a：2acos；当圆心位于M(a，)，半径为a：2asin.3直线的极坐标方程(1)若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)(2)几个特征位置的直线的极坐标方程直线过极点：0和0；直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cosa；直线过M(b，)且平行于极轴：sinb.4几种常见曲线的参数方程(1)圆以O(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中是参数当圆心在(0,0)时，方程为其中是参数(2)椭圆椭圆1(a>b>0)的参数方程是其中是参数椭圆1(a>b>0)的参数方程是其中是参数(3)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程是其中t是参数5直线参数方程中参数t的几何意义过定点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数).通常称为直线l的参数方程的“标准式”，其中参数t的几何意义是：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t|.当0<<时，sin>0，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上此时，若t>0，则的方向向上；若t<0，则的方向向下；若t0，则点M与点M0重合，即当点M在M0上方时，有t|；当点M在M0下方时，有t|.Y 1极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位2在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性1(2018全国卷，22)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30.(1)求C2的直角坐标方程(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解析(1)由xcos，ysin，x2y22得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上可得，k，C1的方程为：y|x|2.2(2018全国卷，22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (为参数)，直线l的参数方程为 (t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解析(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2.3(2018全国卷，22)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为 (为参数)，过点且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解析(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tank，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当<1，解得k<1或k>1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数，<<)设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin10.于是tAtB2sin，tPsin.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是(为参数，<<)4(2018江苏卷，21C)在极坐标系中，直线l的方程为sin 2，曲线C的方程为4cos，求直线l被曲线C截得的弦长解析因为曲线C的极坐标方程为4cos ，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆因为直线l的极坐标方程为sin2，则直线l过A(4,0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点设另一个交点为B，则OAB.连结OB，因为OA为直径，从而OBA，所以AB4cos2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2. 例1 (2018江苏一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos()2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解析(1)224，所以x2y24；因为22cos()2，所以22(coscossinsin)2，所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1，化为极坐标方程为cossin1，即sin().规律总结直角坐标与极坐标方程的互化及应用(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将xcos，ysin代入即可(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造2，sin，cos，常用的技巧有式子两边同乘以，两角和与差的正弦、余弦展开等G (2017全国卷，22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为(2，)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解析设P的极坐标为(，)(>0)，M的极坐标为(1，)(1>0)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos(>0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B>0)由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos|sin()|2|sin(2)|2.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2. 例2 (2018衡水一模)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于，求实数m的取值范围；(2)若点A的坐标为(2,0)，动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的抛迹方程解析(1)直线l的参数方程为(t为参数)，普通方程为ymx，圆C的参数方程为(为参数)，普通方程为x2(y1)21，圆心到直线l的距离d，相交弦长2，所以2，所以m1或m1.(2)设P(cos，1sin)，Q(x，y)，则x(cos2)，y(1sin)，消去，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程(x1)2(y)2.规律总结参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法(2)三角恒等式法：利用sin2cos21消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法(3)常见消参数的关系式：t1；(t)2(t)24；()2()21.G (2017全国卷，22)在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解析(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，(，)(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos，sin)到l的距离为d.当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a8；当a<4时，d的最大值为.由题设得，所以a16.综上，a8或a16. 例3 在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0<.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：2cos.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和(，)(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0<.因此A的极坐标为(2sin，)，B的极坐标为(2cos，)所以|AB|2sin2cos|4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.规律总结解决极坐标方程、参数方程综合问题的方法与极坐标方程、参数方程相关的问题往往涉及直线、圆、椭圆，处理的基本思路是把它们化为直角坐标方程或普通方程，利用直角坐标方程或普通方程解决实际问题，另外若涉及有关最值或参数范围问题时可利用参数方程，化为三角函数的最值问题处理G 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin()4.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标解析(1)对于曲线C1有则()2y2cos2sin21，即C1的普通方程为y21.对于曲线C2有sin()(cossin)4cossin8xy80，所以C2的直角坐标方程为xy80.(2)显然椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上点P(cos，sin)到直线xy80的距离为d，当sin()1时，d取最小值为3，此时点P的坐标为(，)A组1在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系xOy中相同)的极坐标系中，曲线C的方程为2acos(a>0)，l与C相切于点P.(1)求C的直角坐标方程；(2)求切点P的极坐标解析(1)l表示过点(3,0)倾斜角为120的直线，曲线C表示以C(a,0)为圆心，a为半径的圆l与C相切，a(3a)，a1.于是曲线C的方程为2cos，22cos，于是x2y22x，故所求C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)POCOPC30，OP.切点P的极坐标为(，)2已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径解析以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin2cos40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.3在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为(为参数)(1)求过椭圆的右焦点，且与直线m：(t为参数)平行的直线l的普通方程(2)求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值分析(1)由直线l与直线m平行可得l的斜率，将椭圆C的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得l方程(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解解析(1)由C的参数方程可知，a5，b3，c4，右焦点F2(4,0)，将直线m的参数方程化为普通方程：x2y20，所以k，于是所求直线方程为x2y40.(2)由椭圆的对称性，取椭圆在第一象限部分(令0)，则S4|xy|60sincos30sin2，当2时，Smax30，即矩形面积的最大值为30.4(2018邯郸一模)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为2sin，cos().(1)求C1和C2交点的极坐标；(2)直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|PB|.解析(1)C1，C2极坐标方程分别为2sin，cos()，化为直角坐标方程分别为x2(y1)21，xy20.得交点坐标为(0,2)，(1,1)即C1和C2交点的极坐标分别为(2，)，(，)(2)把直线l的参数方程：(t为参数)，代入x2(y1)21，得(t)2(t1)21，即t24t30，t1t24，t1t23，所以|PA|PB|4.B组1(2017全国卷，22)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cossin)0，M为l3与C的交点，求M的极径解析(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)，所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(0<<2，)，联立得cossin2(cossin)故tan，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为.2在平面直角坐示系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a>0)(1)若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，求a的值；(2)当a3时，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求A，B两点的距离解析(1)曲线C1：的普通方程为y32x.曲线C1与x轴的交点为(，0)曲线C2：的普通方程为1.曲线C2与x轴的交点为(a,0)，(a,0)由a>0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，知a.(2)当a3时，曲线C2：为圆x2y29.圆心到直线y32x的距离d.所以A，B两点的距离|AB|22.3(2016全国卷，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos.()说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；()直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解析()消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin1a20.()曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sincos1a20，由已知tan2，可得16cos28sincos0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上所以a1.4(2018邵阳三模)在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos()(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为(1,0)，试求当时，|PA|PB|的值解析(1)曲线C：2cos()，可以化为22cos()，22cos2sin，因此，曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y0.它表示以(1，1)为圆心，为半径的圆(2)当时，直线的参数方程为(t为参数)点P(1,0)在直线上，且在圆C内，把代入x2y22x2y0中得t2t10.设两个实数根为t1，t2，则A，B两点所对应的参数为t1，t2，则t1t2，t1t21.所以|PA|PB|t1t2|.