题型18 求极值及最值（解析版）.doc

秒杀高考数学题型之求极值或最值【秒杀题型六】：求函数在某区间的极值、最值。【题型1】：极值或最值存在且可求。秒杀策略：关键是求出的单调区间，进而求出极值或最值。求函数的极大(小)值规范答题模板：Step1：求导数；Step2：求方程的所有实数根；Step3：考察在每个根附近从左到右导函数的符号如何变化，如果的符号由正变负，则 是极大值，如果由负变正，则是极小值，如果在=0的根的左、右两侧，的符号不变，则不是极值。可导函数在点取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧，符号不同，是为极值点的必要条件，并非充分条件。如，但不是极值点。求函数在的最大(小)值规范答题模板：Step1：求在开区间内所有的极值；Step2：求函数端点的函数值，极值与端点值进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值，若最大值或最小值不确定，则一般要采用作差、构造新函数判断。 1.(2014年新课标全国卷II)函数在处导数存在，若；是的极值 点,则 ( ) A.是的充分必要条件 B.是的充分条件,但不是的必要条件 C.是的必要条件，但不是的充分条件 D.既不是的充分条件，也不是的必要条件【解析】：，选C。若函数在处导数存在这一条件去掉，则选D。2.(2017年新课标全国卷II11)若是函数的极值点，则的极小值为 ( )A. B. C. D.1【解析】：由得，的极小值为，选A。3.(高考题)设函数的定义域为,是的极大值点，以下结论一定正确的是 ( ) A. B.是的极小值点 C.是的极小值点 D.是的极小值点 【解析】:极值是一个局部概念，选项A错误；与关于轴对称，是的极大值点，选项B错误；与关于轴对称，是否是的极值点不确定，选项C错误；与关于原点对称，是的极小值点，选D。4.(2018年新课标全国卷I16)已知函数，则的最小值是 。【解析】：最小正周期为，令,即，或，当为函数的极小值点，即或,当即时，比较得。5.(2015年新课标全国卷II21)设函数。 （1）证明:在单调递减，在单调递增； （2）若对于任意，都有，求的取值范围。【解析】：（1）Step1：（超越函数），当时，设，则，在上单调递增，当时，当时，当时，单调递减，当时，单调递增。（2） Step2：可知，而恒成立，只需，Step3：（最大值不确定，所以均代入。）需：，设，在单调递增，在单调递减，而，同理由得，。6.(高考题)设函数(其中)。 （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求函数在上的最大值。【解析】:（1）Step1：当时，导函数为超越函数可分解因式型，令，得，类比于开口向上的二次函数，函数的递减区间为，递增区间为，。（2）Step2：，令，得，函数的递减区间为，递增区间为，Step3：（最大值不确定，需作差构造函数比较。），和大小不确定，作差比较：令，导函数为超越函数可分解因式型，令，则，在上递减，而，存在使得（存在隐零点，设而不求。），且当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上恒成立，当且仅当时取得“”。7.(2012年新课标全国卷21)已知函数满足。（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。【解析】:（1）Step1：，令，得：，令，得，导函数为超越函数可代特值型，令，在上单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增。（2）Step2：，得，导函数为纯指数型，当时，在上单调递增，时，与矛盾；当时，得，当时，单调递减，当时，单调递增，不等式等价于，即，。Step3：（最大值不确定，需构造函数比较。）设，设，导函数为超越函数可分解因式型，导函数的符号由确定，当时，单调递减，当时，单调递增，的最大值是，当且仅当，时取到最大值。【题型2】：极值或最值存在但不可求。秒杀策略：存在隐极值，根据导数存在隐零点，确定其大致区间，代入，确定极值的范围；或根据条件或所求范围确定隐零点的范围，代入，确定极值的范围。1.(2017年新课标全国卷II21)已知函数，且。（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.解析：（1）因为，令，则，,当时,单调递减,但,时,（舍去）；当时,令,得.当时，单调减；当时，单调增若，则在上单调减，；若，则在上单调增，；若，则，综上，。法二：由，而，即，。法三：分离变量法：，讨论，利用洛必达法则可得。（2），.令，则，令得，当时，单调递减；当时，单调递增所以，因为，所以在和上，即各有一个零点设在和上的零点分别为，因为在上单调减，所以当时，单调增；当时，单调减因此，是的极大值点因为，在上单调增，所以当时，单调减，时，单调增，因此是的极小值点所以，有唯一的极大值点由前面的证明可知，则(或利用直接证明。)因为(设而不求整体代换法)，所以，则又，因为,所以因此，