专题三 第1讲 等差数列与等比数列.docx
第1讲等差数列与等比数列考情分析1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点考点一等差数列、等比数列的基本运算核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(nN*)(1)等差数列的通项公式：ana1(n1)d；(2)等比数列的通项公式：ana1qn1.(3)等差数列的求和公式：Snna1d；(4)等比数列的求和公式：Sn例1(1)周髀算经中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为()A15.5尺 B12.5尺 C10.5尺 D9.5尺答案A解析从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a1，a2，a3，a12，由题意，有a1a4a737.5，根据等差数列的性质，得a412.5，而a124.5，设公差为d，则解得所以冬至的日影长为15.5尺(2)已知点(n，an)在函数f(x)2x1的图象上(nN*)数列an的前n项和为Sn，设bn，数列bn的前n项和为Tn.则Tn的最小值为_答案30解析点(n，an)在函数f(x)2x1的图象上，an2n1(nN*)，an是首项为a11，公比q2的等比数列，Sn2n1，则bn2n12(nN*)，bn是首项为10，公差为2的等差数列，Tn10n2n211n2.又nN*，Tn的最小值为T5T6230.规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Snan2bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为anpqn1(p，q0)的形式的数列为等比数列(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算跟踪演练1(1)(2020全国)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak1021525，则k等于()A2 B3 C4 D5答案C解析a12，amnaman，令m1，则an1a1an2an，an是以a12为首项，2为公比的等比数列，an22n12n.又ak1ak2ak1021525，21525，即2k1(2101)25(2101)，2k125，k15，k4.(2)(多选)(2020威海模拟)等差数列an的前n项和记为Sn，若a1>0，S10S20，则()Ad<0Ba16<0CSnS15D当且仅当n32时，Sn<0答案ABC解析设等差数列an的公差为d，由S10S20，得10a1d20a1d，化简得a1d.因为a1>0，所以d<0，故A正确；因为a16a115dd15dd，又d<0，所以a16<0，故B正确；因为a15a114dd14dd>0，a16<0，所以S15最大，即SnS15，故C正确；Snna1dd，若Sn<0，又d<0，则n>30，故当且仅当n31时，Sn<0，故D错误考点二等差数列、等比数列的性质核心提炼1通项性质：若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则对于等差数列，有amanapaq2ak，对于等比数列有amanapaqa.2前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列；对于等比数列有Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列(q1且m为偶数情况除外)(2)对于等差数列，有S2n1(2n1)an.例2(1)已知正项等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，若a5a7a0，则S11的值为()A11 B12 C20 D22答案D解析结合等差数列的性质，可得a5a72a6a，又该数列为正项数列，可得a62，所以由S2n1(2n1)an1，可得S11S25111a622.(2)已知函数f(x)(xR)，若等比数列an满足a1a2 0201，则f(a1)f(a2)f(a3)f(a2 020)等于()A2 020 B1 010 C2 D.答案A解析a1a2 0201，f(a1)f(a2 020)2，an为等比数列，则a1a2 020a2a2 019a1 010a1 0111，f(a2)f(a2 019)2，f(a1 010)f(a1 011)2，即f(a1)f(a2)f(a3)f(a2 020)21 0102 020.规律方法等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题跟踪演练2(1)(2020全国)设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8等于()A12 B24 C30 D32答案D解析设等比数列an的公比为q，则q2，所以a6a7a8(a1a2a3)q512532.(2)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S1010，S30130，则S40等于()A510 B400C400或510 D30或40答案B解析正项等比数列an的前n项和为Sn，S10，S20S10，S30S20，S40S30也成等比数列，10(130S20)(S2010)2，解得S2040或S2030(舍)，故S40S30270，S40400.考点三等差数列、等比数列的探索与证明核心提炼等差数列等比数列定义法an1andq(q0)通项法ana1(n1)dana1qn1中项法2anan1an1(n2)aan1an1(n2，an0)前n项和法Snan2bn(a，b为常数)Snkqnk(k0，q0,1)证明数列为等差(比)数列一般使用定义法例3(2019全国)已知数列an和bn满足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式(1)证明由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)因为a1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)解由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n(nN*)，bn(anbn)(anbn)n(nN*)易错提醒aan1an1(n2，nN*)是an为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.跟踪演练3已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是不是等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列理由如下：由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1(nN*)专题强化练一、单项选择题1在等比数列an中，若a32，a78，则a5等于()A4 B4 C4 D5答案A解析数列an为等比数列，且a32，a78，aa3a72816，则a54，等比数列奇数项的符号相同，a54.2(2020全国)记Sn为等比数列an的前n项和若a5a312，a6a424，则等于()A2n1 B221nC22n1 D21n1答案B解析方法一设等比数列an的公比为q，则q2.由a5a3a1q4a1q212a112得a11.所以ana1qn12n1，Sn2n1，所以221n.方法二设等比数列an的公比为q，则得q2.将q2代入，解得a34.所以a11，下同方法一3已知等差数列an和等比数列bn的各项都是正数，且a1b1，a11b11.那么一定有()Aa6b6 Ba6b6 Ca12b12 Da12b12答案B解析因为等差数列an和等比数列bn的各项都是正数，且a1b1，a11b11，所以a1a11b1b112a6，所以a6b6.当且仅当b1b11时，取等号，此时数列bn的公比为1.4在数列an中，a12，ln，则an等于()A2nln n B2n(n1)ln nC2nnln n D1nnln n答案C解析由题意得ln(n1)ln n，n分别用1,2,3，n1(n2)取代，累加得ln nln 1，即2ln n，即an2nnln n(n2)，又a12符合上式，故an2nnln n.5已知数列an的前n项和为Sn，a11，a22，且对于任意n>1，nN*，满足Sn1Sn12(Sn1)，则()Aa917 Ba1019 CS981 DS1091答案D解析对于任意n>1，nN*，满足Sn1Sn12(Sn1)，Sn1SnSnSn12，an1an2.数列an在n>1，nN*时是等差数列，公差为2，又a11，a22，an2(n2)22n2(n>1，nN*)，a929216，a10210218，S9182273，S10192291.故选D.6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则()ASn无限大 BSn<3(3)mCSn3(3)m DSn可以取100m答案B解析由题意可得，外围第2个正方形的边长为m；外围第3个正方形的边长为m；外围第n个正方形的边长为n1m.所以蜘蛛网的长度Sn4m4m<4m3(3)m.故选B.二、多项选择题7(2020厦门模拟)记Sn为等差数列an的前n项和，若a13a5S7，则以下结论一定正确的是()Aa40 BSn的最大值为S3CS1S6 D|a3|<|a5|答案AC解析设等差数列an的公差为d，则a13(a14d)7a121d，解得a13d，则ana1(n1)d(n4)d，所以a40，故A正确；因为S6S15a40，所以S1S6，故C正确；由于d的取值情况不清楚，故S3可能为最大值也可能为最小值，故B不正确；因为a3a52a40，所以a3a5，即|a3|a5|，故D错误8已知等比数列an的各项均为正数，公比为q，且a1>1，a6a7>a6a71>2，记an的前n项积为Tn，则下列选项中正确的是()A0<q<1 Ba6>1CT12>1 DT13>1答案ABC解析由于等比数列an的各项均为正数，公比为q，且a1>1，a6a7>a6a71>2，所以(a61)(a71)<0，由题意得a6>1，a7<1，所以0<q<1，A，B正确；因为a6a71>2，所以a6a7>1，T12a1a2a11a12(a6a7)6>1，T13a<1，所以满足Tn>1的最大正整数n的值为12，C正确，D错误三、填空题9(2020江苏)设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列已知数列anbn的前n项和Snn2n2n1(nN*)，则dq的值是_答案4解析由题意知q1，所以Sn(a1a2an)(b1b2bn)na1dn2nn2n2n1，所以解得d2，q2，所以dq4.10(2020北京市顺义区质检)设Sn为公比q1的等比数列an的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q_，_.答案310解析设等比数列的通项公式ana1qn1，又因为3a1,2a2，a3成等差数列，所以22a23a1a3，即4a1q3a1a1q2，解得q3或q1(舍)，10.11(2020潍坊模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏在某种玩法中，用an表示解下n(n9，nN*)个圆环所需移动的最少次数，an满足a11，且an则解下5个圆环需最少移动_次答案16解析因为a52a422(2a31)24a3，所以a54a34(2a22)8a288(2a11)816a116，所以解下5个圆环需最少移动的次数为16.12已知等比数列an的首项为，公比为，前n项和为Sn，且对任意的nN*，都有A2SnB恒成立，则BA的最小值为_答案解析等比数列an的首项为，公比为，Sn1n，令tn，则t，Sn1t，Sn，2Sn的最小值为，最大值为，又A2SnB对任意nN*恒成立，BA的最小值为.四、解答题13(2020聊城模拟)在a5b3b5，S387，a9a10b1b2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答设等差数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn，_，a1b6，若对于任意nN*都有Tn2bn1，且SnSk(k为常数)，求正整数k的值解由Tn2bn1，nN*得，当n1时，b11；当n2时，Tn12bn11，从而bn2bn2bn1，即bn2bn1，由此可知，数列bn是首项为1，公比为2的等比数列，故bn2n1.当a5b3b5时，a132，a520，设数列an的公差为d，则a5a14d，即20324d，解得d3，所以an323(n1)353n，因为当n11时，an>0，当n>11时，an<0，所以当n11时，Sn取得最大值因此，正整数k的值为11.当S387时，a132,3a287，设数列an的公差为d，则3(32d)87，解得d3，所以an323(n1)353n，因为当n11时，an>0，当n>11时，an<0，所以当n11时，Sn取得最大值，因此，正整数k的值为11.当a9a10b1b2时，a132，a9a103，设数列an的公差为d，则d3，解得d3，所以an323(n1)353n，因为当n11时，an>0，当n>11时，an<0，所以当n11时，Sn取得最大值，因此，正整数k的值为11.14已知等比数列an的公比q>1，a12，且a1，a2，a38成等差数列，数列anbn的前n项和为.(1)分别求出数列an和bn的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，任意nN*，Snm恒成立，求实数m的最小值解(1)因为a12，且a1，a2，a38成等差数列，所以2a2a1a38，即2a1qa1a1q28，所以q22q30，所以q3或q1，又q>1，所以q3，所以an23n1(nN*)因为a1b1a2b2anbn，所以a1b1a2b2an1bn1(n2)，两式相减，得anbn2n3n1(n2)，因为an23n1，所以bnn(n2)，当n1时，由a1b12及a12，得b11(符合上式)，所以bnn(nN*)(2)因为数列an是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以Sn<.因为任意nN*，Snm恒成立，所以m，即实数m的最小值为.
