2023届高考数学易错题专项突破——易错点3 函数的性质（Word版含解析）.docx
易错点3 函数的性质一、单项选择题1. 形如y=bxcc>0,b>0的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数fx=ax2+x+1 (a>0且a1)有最小值，则当c=1,b=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为( )A. 1B. 2C. 4D. 62. 函数f(x)=2x2mx+3，在(,2上单调递减，在(2,+)上单调递增，则f(1)=()A. 3B. 7C. 13D. 不能确定3. 函数fx=ax2a1x3在区间1,+上是增函数，则实数a的取值范围是( )A. ,13B. ,0C. 0,13D. 0,134. 已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x(0,1)时，f(x)=3x，则f(log312)=A. 43B. 43C. 34D. 34二、多项选择题5. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asint，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数fx=sinx+12sin2x，则下列结论正确的是()A. 2是fx的一个周期；B. fx在0,2上有3个零点；C. fx的最大值为334；D. fx在0,2上是增函数6. 下列命题中，真命题的是()A. y=sinx的图象与y=sinx的图象关于y轴对称B. y=cosx的图象与y=cosx的图象相同C. y=sinx的图象与y=sinx的图象关于x轴对称D. y=cosx的图象与y=cosx的图象相同7. 已知函数f(x)=(sinx+cosx)223cos2x+3，则下列结论正确的是( )A. 函数的最小正周期为B. 函数的最大值是3C. 函数的单调增区间为k12,k+512(kZ)D. (6,0)是函数的一个对称中心8. 已知函数，给出下述论述，其中正确的是( )A. 当a=0时，fx的定义域为B. fx一定有最小值；C. 当a=0时，fx的值域为R；D. 若fx在区间上单调递增，则实数a的取值范围是a|a49. 已知函数fx=sin2x+32xR，则下列结论正确的是( )A. 函数fx的最小正周期为B. 函数fx是偶函数C. 函数fx的图象关于直线x=4对称D. 函数fx在区间0,2上是增函数10. 下列命题中正确的是()A. 命题“x00,x0<sinx0”的否定是“x0,xsinx”B. 若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx>0在区间a,b上恒成立C. “x<0”是“不等式1x<1成立”的必要不充分条件D. 若对任意x1,x2Rx1x2都满足fx2fx1x2x1>0，则函数fx是R上的增函数11. 下列说法正确的是()A. 分针每小时旋转2弧度B. 在ABC中，若sinA=sinB，则A=BC. 在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点D. 函数f(x)=sinx1+cosx是奇函数12. 函数f(x)在a,b上有定义，若对任意x1,x2a,b，有f(x1+x22)12f(x1)+f(x2)则称f(x)在a,b上具有性质P.设f(x)在1,3上具有性质P，则下列说法错误的是：( )A. f(x)在1,3上的图像是连续不断的；B. f(x2)在1,3上具有性质P；C. 若f(x)在x=2处取得最大值1，则f(x)=1，x1,3；D. 对任意x1,x2,x3,x41,3，有f(x1+x2+x3+x44)14f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)三、填空题13. 已知函数fx=12x22x+1，则gx=fx+1是_函数(从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空)，不等式fx2x+f4x102的解集为_14. 已知f(x)是定义在(,+)上的偶函数，且在(,0上是增函数，设a=f(log47)，b=f(log123)，c=f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是_15. 下列几个命题方程x2+(a3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a<0；函数y=x21+1x2是偶函数，但不是奇函数；命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x1”；命题“xR，使得x2+x+1<0”的否定是“xR，都有x2+x+10”；“x>1”是“x2+x2>0”的充分不必要条件正确的是_16. 设函数f(x)=ex+ex1lg(x2+1)，则使得f(2x+1)<f(x2)成立的x的取值范围是_.四、解答题17. 设f(x)=loga(1+x)+loga(3x)(a>0且a1)，f(1)=2(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0,32上的最大值18. 已知二次函数(1)若f(x)+t0对于xR恒成立，求t的取值范围；(2)若g(x)=f(x)+mx，当x1,2时，若g(x)的最大值为2，求m的值19. 己知函数fx=sinx+m>0,2<<0满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：=32；周期T=；过点0,0；f3=32。(1)写出所满足的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求fx的解析式；(2)求函数fx的图像与直线y=1相邻两个交点间的最短距离20. 已知幂函数f(x)=(2m26m+5)xm+1为偶函数(1)求f(x)的解析式；(2)若函数y=f(x)2(a1)x+1在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围21. 已知函数f(x)=ax+12x，且f(1)=52(1)求a的值；(2)判定f(x)的奇偶性，并说明理由；(3)令g(x)=f(x)m，若y=g(x)有两个不同的零点，写出实数m的值(此问不需要写过程)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x1<x2时，(x1x2)f(x1)f(x2)>0，设p：“f(m2+3)+f(128m)<0”(1)若p为真，求实数m的取值范围；(2)设q：集合A=x|(x+1)(4x)0与集合B=x|x<m的交集为x|x1，若pq为假，pq为真，求实数m的取值范围一、单项选择题1. 形如y=bxcc>0,b>0的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数fx=ax2+x+1 (a>0且a1)有最小值，则当c=1,b=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为( )A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】函数fx=ax2+x+1a>0,a1有最小值，a>1，当c=1,b=1时，y=bxc=1x1，画出函数y=1x1与y=logax的图象在同一坐标系数内的图象：结合图形，得到交点个数有4个故选C2. 函数f(x)=2x2mx+3，在(,2上单调递减，在(2,+)上单调递增，则f(1)=()A. 3B. 7C. 13D. 不能确定【答案】C【解析】 函数f(x)=2x2mx+3在(,2上单调递减，在(2,+)上单调递增，所以对称轴为x=m4=2，所以m=8，所以f(x)=2x2+8x+3，所以f(1)=2+8+3=13故选C3. 函数fx=ax2a1x3在区间1,+上是增函数，则实数a的取值范围是( )A. ,13B. ,0C. 0,13D. 0,13【答案】D【解析】当a=0时，y=x3符合题意，当a0时，函数f(x)=ax2(a1)x3是二次函数，对称轴为x=a12a，二次函数f(x)=ax2(a1)x3在1,+)上是增函数，a>0a12a1解得：0<a13则a的范围为0,13故选D4. 已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x(0,1)时，f(x)=3x，则f(log312)=A. 43B. 43C. 34D. 34【答案】B【解析】2<log312<3，0<log3122<1，f(log312)=f(log3122+2)=f(2log312)=f(log3122)=3log3122=129=43，故选B二、多项选择题5. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asint，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数fx=sinx+12sin2x，则下列结论正确的是()A. 2是fx的一个周期；B. fx在0,2上有3个零点；C. fx的最大值为334；D. fx在0,2上是增函数【答案】ABC【解析】f(x+2)=sin(x+2)+12sin2(x+2)=sinx+12sin2x，A正确；由f(x)=0得到sinx+sinxcosx=0，sinx=0或1+cosx=0，x=k，或x=+2k，kZ，函数f(x)在0,2上有三个零点0，2，B正确；f'(x)=cosx+cos2x，当时，f'(x)=0，且当时f'(x)>0，当时，f'(x)<0，f(x)在时取得最大值，C正确，由上述求解知函数在上一定递减，D错误故选ABC6. 下列命题中，真命题的是()A. y=sinx的图象与y=sinx的图象关于y轴对称B. y=cosx的图象与y=cosx的图象相同C. y=sinx的图象与y=sinx的图象关于x轴对称D. y=cosx的图象与y=cosx的图象相同【答案】BD【解析】对于A，是偶函数，而为奇函数，故与的图象不关于y轴对称，故A错误；对于B，即其图象相同，故B正确；对于C，当x<0时，即两图象相同，故C错误；对于D，故这两个函数图象相同，故D正确，故选BD7. 已知函数f(x)=(sinx+cosx)223cos2x+3，则下列结论正确的是( )A. 函数的最小正周期为B. 函数的最大值是3C. 函数的单调增区间为k12,k+512(kZ)D. (6,0)是函数的一个对称中心【答案】ABC【解析】因为函数f(x)=(sinx+cosx)223cos2x+3=sin2x+cos2x+2sinxcosx23cos2x+3=2sinxcosx23cos2x+3+1=sin2x3cos2x+1=2sin(2x3)+1，对A，它的周期为22=，故A正确；对B，计算得f(x)=2sin(2x3)+1，所以函数的最大值为3，故B正确；对C，函数的单调增区间为，即，故C正确；对D，令，计算得f(x)=1，故D错误，故选：ABC8. 已知函数，给出下述论述，其中正确的是( )A. 当a=0时，fx的定义域为B. fx一定有最小值；C. 当a=0时，fx的值域为R；D. 若fx在区间上单调递增，则实数a的取值范围是a|a4【答案】AC【解析】对A，当a=0时，解x21>0有，故A正确；对B，当a=0时，fx=lgx21，此时，x210,+，此时fx=lgx21值域为R，故B错误；对C，同B，故C正确；对D，若fx在区间上单调递增，此时y=x2+axa1对称轴.解得a4但当a=4时fx=lgx24x+3在x=2处无定义，故D错误故选AC9. 已知函数fx=sin2x+32xR，则下列结论正确的是( )A. 函数fx的最小正周期为B. 函数fx是偶函数C. 函数fx的图象关于直线x=4对称D. 函数fx在区间0,2上是增函数【答案】ABD【解析】f(x)=sin(2x+32)=cos2x，函数f(x)的最小正周期为，A正确；函数f(x)是偶函数B正确；f(0)=1，f(2)=1，f(0)f(2)，函数f(x)的图象关于直线x=4对称是错误的，故C错，0x2，故02x，而y=cosx在0,单调递减，f(x)=cos2x在区间0,2上是增函数，故D正确故选ABD10. 下列命题中正确的是()A. 命题“x00,x0<sinx0”的否定是“x0,xsinx”B. 若函数fx在区间a,b上单调递增，则f'x>0在区间a,b上恒成立C. “x<0”是“不等式1x<1成立”的必要不充分条件D. 若对任意x1,x2Rx1x2都满足fx2fx1x2x1>0，则函数fx是R上的增函数【答案】AD【解析】对A.命题“x00,x0<sinx0”的否定是“x0,xsinx”，正确； 对B.函数y=x3在区间1,1上单调递增，但在区间a,b上f'(x)0，故B不正确；对C.不等式1x<1x1x>0x(x1)>0x<0或x>1，所以“x<0”是“不等式1x<1成立”的充分不必要条件，故 C不正确；D.若对任意x1,x2Rx1x2都满足fx2fx1x2x1>0，则，即若x2>x1，则f(x2)>f(x1)，所以函数fx是R上的增函数，D正确故选AD11. 下列说法正确的是()A. 分针每小时旋转2弧度B. 在ABC中，若sinA=sinB，则A=BC. 在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点D. 函数f(x)=sinx1+cosx是奇函数【答案】BD【解析】A选项中，分针为顺时针旋转，每小时应旋转2弧度，故A错误;B选项中，由正弦定理asinA=bsinB可知，若sinA=sinB，则a=b，所以A=B，故B正确;C选项中，设f(x)=sinxx，f'(x)=cosx10，f(x)在R单调递减，则函数f(x)在R上最多只有一个零点，故函数y=sinx的图象和函数y=x的图象至多有一个交点，故C错误D选项中，cosx1，x(2k+1)，kZ，f(x)的定义域关于原点对称，又，f(x)为奇函数，故D正确故选BD12. 函数f(x)在a,b上有定义，若对任意x1,x2a,b，有f(x1+x22)12f(x1)+f(x2)则称f(x)在a,b上具有性质P.设f(x)在1,3上具有性质P，则下列说法错误的是：( )A. f(x)在1,3上的图像是连续不断的；B. f(x2)在1,3上具有性质P；C. 若f(x)在x=2处取得最大值1，则f(x)=1，x1,3；D. 对任意x1,x2,x3,x41,3，有f(x1+x2+x3+x44)14f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)【答案】AB【解析】对于A、反例fx=x2,1x<310,x=3，此函数满足性质P但不连续，因此A错误；对于B、函数fx=x具有该性质，但是函数fx2=x2不具有该性质，因此B错误；对于C、因为对于任意x1,3，则4x1,3，而函数f(x)在1,3上具有性质P，所以f2=fx+4x212fx+f4x又因为函数f(x)在x=2处取得最大值1，所以fx+f4x2fxfxmax=1f4xfxmax=1，所以fx=1，因此C正确；对于D、因为对任意x1,x2,x3,x41,3，所以12x1+x21,3，12x3+x41,3又因为函数f(x)在1,3上具有性质P，所以f(x1+x2+x3+x44)=f12x1+x2+12x3+x4212fx1+x22+fx3+x421212f(x1)+f(x2)+12f(x3)+f(x4)14f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)，因此D正确故选AB三、填空题13. 已知函数fx=12x22x+1，则gx=fx+1是_函数(从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空)，不等式fx2x+f4x102的解集为_【答案】奇；5,2【解析】函数y=12x,y=22x+1单调递增，故fx=12x22x+1单调递增；gx=fx+1=12x22x+1+1=12x+2x12x+1，函数单调递增；gx=12x+2x12x+1=12x2x12x+1=gx，故gx是奇函数；fx2x+f4x102，即gx2xg4x10=g104x故x2x104x，解得5x2故答案为奇；5,214. 已知f(x)是定义在(,+)上的偶函数，且在(,0上是增函数，设a=f(log47)，b=f(log123)，c=f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是_【答案】c<b<a【解析】解：f(x)是定义在(,+)上的偶函数，且在(,0上是增函数，故f(x)在0,+)上是减函数，a=f(log47)，b=f(log123)，c=f(0.20.6)，log47=log27>2，log123=log23=log49<1，0.20.6>1，|log47|>|log23|>|0.20.6|>0，f(0.20.6)<f(log123)<f( log47)，即c<b<a，故答案为：c<b<a15. 下列几个命题方程x2+(a3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a<0；函数y=x21+1x2是偶函数，但不是奇函数；命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x1”；命题“xR，使得x2+x+1<0”的否定是“xR，都有x2+x+10”；“x>1”是“x2+x2>0”的充分不必要条件正确的是_【答案】【解析】方程x2+(a3)x+a=0的有一个正实根，一个负实根，根据韦达定理，得a<0，命题正确；要使函数y=x21+1x2有意义，x2101x20,解得x=±1，y=0(x=±1)，函数既是偶函数，又是奇函数，故命题错误；命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x21，则x1”，故命题错误；全称命题的否定为特称命题，命题“xR，使得x2+x+1<0”的否定是“xR，都有x2+x+10”，故命题错误；x2+x2>0的解为x<2或x>1，“x>1”是“x2+x2>0”的充分不必要条件，故命题正确正确的命题为故答案为16. 设函数f(x)=ex+ex1lg(x2+1)，则使得f(2x+1)<f(x2)成立的x的取值范围是_.【答案】(3,12)(12,13)【解析】f(x)=ex+ex1lg(x2+1)，故x0，f(x)=f(x)即f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)单调递增，由f(2x+1)<f(x2)可得|2x+1|<|x2|且2x+10，x20，所以|2x+1|<|x2|且x2，x12，所以4x2+4x+1<x24x+4且x2，x12，解可得，3<x<13且x12故答案为：(3,12)(12,13)四、解答题17. 设f(x)=loga(1+x)+loga(3x)(a>0且a1)，f(1)=2(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0,32上的最大值【答案】(1)f(1)=2，loga(1+1)+loga(31)=loga4=2，解得a=2(a>0,a1)，由1+x>03x>0，得x(1,3)，函数f(x)的定义域为(1,3)；(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3x)=log2(1+x)(3x)=log2x12+4当x0,1时，f(x)是增函数；当x(1,32时，f(x)是减函数所以函数f(x)在0,32上的最大值是f(1)=log24=218. 已知二次函数(1)若f(x)+t0对于xR恒成立，求t的取值范围；(2)若g(x)=f(x)+mx，当x1,2时，若g(x)的最大值为2，求m的值【答案】解：(1)f(x)+t0对于xR恒成立，即2x23x+t0对于xR恒成立，=(3)28t0，解得t98；(2)若g(x)=f(x)+mx=2x2+(3+m)x，二次函数开口向下，对称轴x=3+m4，在x1,2时，g(x)的最大值为2，当3+m41，即m1时，g(x)max=g(1)=2+3+m=2，解得m=1；当1<3+m4<2，即1<m<5时，g(x)max=g(3+m4)=m2+6m+98=2，解得m=1(舍)或m=7(舍)；当3+m42，即m5时，g(x)max=g(2)=8+2m+6=2，解得m=2(舍)；综上所述，m的值为1，即m=119. 己知函数fx=sinx+m>0,2<<0满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：=32；周期T=；过点0,0；f3=32。(1)写出所满足的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求fx的解析式；(2)求函数fx的图像与直线y=1相邻两个交点间的最短距离【答案】解：(1)所满足的三个条件是：，f(x)的周期T=，=2，f(x)=sin(2x+)+m，又过点(0,0)，且f3=32，sin+m=0，sin23+m=32，sin23+sin=32，32cos12sinsin=32，312cos32sin=32，sin6=32，又2<<0，=6，又sin+m=0，12+m=0，m=12，f(x)=sin2x6+12注：如果学生选取条件，并往下做：=32，f(x)=sin32x+m，又过点(0,0)，且f3=32，sin+m=0，sin2+m=32，sin2+sin=32，cossin=32，2sin4=32，又2<32，故此种选择不满足；(2)由f(x)=sin2x6+12=1，得sin2x6=12，2x6=2k+6，或2x6=2k+56，kZ，x=k+6，或x=k+2，kZ，所以，函数f(x)的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离为26=320. 已知幂函数f(x)=(2m26m+5)xm+1为偶函数(1)求f(x)的解析式；(2)若函数y=f(x)2(a1)x+1在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围【答案】解：(1)由f(x)为幂函数知2m26m+5=1，即m23m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，f(x)=x2，符合题意；当m=2时，f(x)=x3，为奇函数，不合题意，舍去f(x)=x2;(2)由(1)得y=f(x)2(a1)x+1=x22(a1)x+1，即函数的对称轴为x=a1，由题意知函数在(2,3)上为单调函数，对称轴a12或a13，即a3或a421. 已知函数f(x)=ax+12x，且f(1)=52(1)求a的值；(2)判定f(x)的奇偶性，并说明理由；(3)令g(x)=f(x)m，若y=g(x)有两个不同的零点，写出实数m的值(此问不需要写过程)【答案】解：(1)因为f1=52，所以52=a+12， 所以a=2； (2)由(1)得f(x)=2x+12x， 所以 f(x)的定义域为(,+)， f(x)=2x+12x=12x+2x， 所以 f(x)=f(x)， 所以f(x)为偶函数； (3)g(x)=f(x)m，因为y=g(x)有两个不同的零点，即gx=0，即fx=m，设y=fxy=m,即y=fx图象与y=m有两个不同的交点，由(2)得f(x)=2x+12x为偶函数，由2x+12x22x12x=2，等号当且仅当x=0时取等号，作出函数图象：由图得m>2时，恰有两个交点，即有两个不同的零点22. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x1<x2时，(x1x2)f(x1)f(x2)>0，设p：“f(m2+3)+f(128m)<0”(1)若p为真，求实数m的取值范围；(2)设q：集合A=x|(x+1)(4x)0与集合B=x|x<m的交集为x|x1，若pq为假，pq为真，求实数m的取值范围【答案】解：(1)函数f(x)是奇函数，f(x)+f(x)=0，当x1<x2时，(x1x2)f(x1)f(x2)>0，函数f(x)为R上的增函数f(m2+3)+f(128m)<0，f(m2+3)<f(128m)=f(8m12)，m2+3<8m12，若p为真，则m28m+15<0，解得3<m<5(2)A=x|x1或x4，若q为真，则1<m4pq为假，pq为真，p、q一真一假若p真q假，则4<m<5；若p假q真，则1<m3综上，实数m的取值范围是(1,3(4，5)
