陕西省西安市2021--2022学年八年级下学期期末考试数学试卷（pdf解析版）.pdf

第 1页（共 24页）西安市西安市 2021-2022 学年八年级下学期期末考试数学试卷学年八年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的）1（3 分）下列几何图形是中心对称图形的是（）ABCD2（3 分）若 xy，则这下列各式中一定正确的是（）Ax5y5B4x4yC2x2yD2x+12y+13（3 分）下列从左至右的变形是因式分解的是（）Ax（x+y）x2+xyB（a+b）（ab）a2b2Ca2+2a+1（a+1）2Dx2+2x+9x（x+2）+94（3 分）在ABC 中，A 所对的边为 a，B 所对的边为 b，C 所对的边为 c，下列选项中不能判定ABC 为直角三角形的是（）Aa2+b2c2BA+BCCa6，b8，c10DA：B：C3：4：55（3 分）在平面直角坐标系中，将线段 AB 平移至线段 AB，若点 A（0，2）对应点为 A（2，0），则点 B（2，3）的对应点 B的坐标为（）A（4，1）B（0，3）C（4，3）D（2，5）6（3 分）如图，已知在ABC 中，ABAC，A40，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 BD，则DBC 的度数为（）A30B32C34D36第 2页（共 24页）7（3 分）如图，直线 yx+1 与直线 ymx+n 相交于点 P（a，2），则关于不等式 x+1mx+n的解集是（）Ax1B0 x1Cx1Dx18（3 分）已知关于 x 的方程有增根，则 m 的值为（）A3B1C1 或 0D3 或59（3 分）如图，在ABCD 中，DAB45，DAB 的角平分线与 DC 边交于点 E，连接 EB，过点 E 向 AD 的延长线作垂线，垂足为 F，若 DF，EC1，则ABE 的面积为（）A2BC2D310（3 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+8 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A和点 B，以 AB 为边在直线右侧作正方形 ABCD，连接 BD，过点 C 作 CFx 轴，垂足为点 F，交 BD 于点 E，连接 AE，则三角形 AFE 的周长为（）A14B16C21D22第 3页（共 24页）二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分）11（3 分）分式的值为 0，则 x12（3 分）正六边形的每个内角的度数是度13（3 分）若关于 x 的不等式 5xk4+4x 的解集是非负数，则 k 的值为14（3 分）如图，ABCD，BAC 和ACD 的角平分线交于点 E，F 为 AC 中点，若 AE5，CE10，则 FE 的长为15（3 分）已知 a、b、c 为ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2a4b4，则ABC 为三角形16（3 分）已知：APD 中，PA3，PD6，以 AD 为边向下作矩形 ABCD，对角线 AC与 BD 相交于点 O，且AOB60，连接 PO，则 PO 最大值为三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 52 分）分）17（7 分）因式分解：（1）a32a2+a；（2）y29（x+y）218（5 分）解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：19（8 分）（1）计算：；（2）解分式方程：第 4页（共 24页）20（6 分）如图，已知在 RtABC 中，A30，C90（1）请用尺规在 AC 边上找一点 P，使得 PC+PBAC（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，若 AC6，则 PC21（8 分）如图，在ABCD 中，过 B 点作 BMAC 于点 E，交 CD 于点 M，过 D 点作 DNAC 于点 F，交 AB 于点 N（1）求证：四边形 BMDN 是平行四边形；（2）已知 AF12，MC13，求 FN 的长22（8 分）某工厂计划招聘甲、乙两种工人生产同一种零件，每小时甲种工人比乙种工人多生产 10 个零件，甲种工人生产 150 个这种零件所用时间与乙种工人生产 120 个这种零件所用时间相等（1）甲、乙两种工人每小时各生产多少个这种零件？（2）若该工厂计划招聘 90 名工人，且甲种工人人数不超过乙种工人人数的 2 倍，如何招聘才能在 10 小时内生产最多的这种零件？最多能生产多少个这种零件？23（10 分）如图 1，矩形 ABCD 中，AB2，AD4，点 E 是 BC 的中点，将ABE 向左平移到DCF 的位置，得到四边 ADFE（1）四边形 ADFE 是形；（2）如图 2，将图（1）中的DCF 绕点 D 旋转至DMA，连接 ME，求线段 ME 的长；（3）如图 3，在上述四边形 ADFE 中，连接 DE，点 M 是射线 EF 上一动点，将DMF绕着点 D 旋转至DNA，P、O 分别是 DE，DN 的中点，连接 QP，求 QP 的最小值第 5页（共 24页）第 6页（共 24页）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的）1（3 分）下列几何图形是中心对称图形的是（）ABCD【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此判断即可【解答】解：A不是中心对称图形，故本选项不合题意；B是中心对称图形，故本选项符合题意；C不是中心对称图形，故本选项不合题意；D不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：B【点评】本题主要考查了中心对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键2（3 分）若 xy，则这下列各式中一定正确的是（）Ax5y5B4x4yC2x2yD2x+12y+1【分析】根据不等式的性质分析即可【解答】解：A、不等式的两边都减去 5，不等号的方向不变，原变形错误，故该选项不符合题意；B、不等式的两边都乘 4，不等号的方向不变，原变形错误，故该选项不符合题意；C、不等式的两边都乘2，不等号的方向改变，原变形错误，故该选项不符合题意；D、不等式的两边都乘 2 再加上 1，不等号的方向不变，原变形正确，故该选项符合题意故选：D【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键3（3 分）下列从左至右的变形是因式分解的是（）Ax（x+y）x2+xyB（a+b）（ab）a2b2第 7页（共 24页）Ca2+2a+1（a+1）2Dx2+2x+9x（x+2）+9【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此解答即可【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、是因式分解，故此选项符合题意；D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意故选：C【点评】本题考查因式分解的定义，因式分解的公式、记住因式分解的定义以及因式分解的公式是解决问题的关键，属于基础题4（3 分）在ABC 中，A 所对的边为 a，B 所对的边为 b，C 所对的边为 c，下列选项中不能判定ABC 为直角三角形的是（）Aa2+b2c2BA+BCCa6，b8，c10DA：B：C3：4：5【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算即可解答【解答】解：A、a2+b2c2，能判定ABC 为直角三角形，故 A 不符合题意；B、A+BC，A+B+C180，2C180，C90，能判定ABC 为直角三角形，故 B 不符合题意；C、a2+b262+82100，c2102100，a2+b2c2，能判定ABC 为直角三角形，故 C 不符合题意；D、A：B：C3：4：5，A+B+C180，C18075，第 8页（共 24页）不能判定ABC 为直角三角形，故 D 符合题意；故选：D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键5（3 分）在平面直角坐标系中，将线段 AB 平移至线段 AB，若点 A（0，2）对应点为 A（2，0），则点 B（2，3）的对应点 B的坐标为（）A（4，1）B（0，3）C（4，3）D（2，5）【分析】根据点 A 到 A确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点 B的坐标【解答】解：点 A（0，2）对应点为 A（2，0），向右平移了 2 个单位，向下平移了 2 个单位，B（2，3）的对应点 B的坐标为（2+2，32），即（4，1）故选：A【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键6（3 分）如图，已知在ABC 中，ABAC，A40，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 BD，则DBC 的度数为（）A30B32C34D36【分析】根据等腰三角形的性质可得ABC 的度数，根据线段垂直平分线的性质可得 DADB，可得DBA 的度数，进一步即可求出DBC 的度数【解答】解：在ABC 中，ABAC，A40，ABCACB70，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，DADB，第 9页（共 24页）DBAA40，DBC30，故选：A【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键7（3 分）如图，直线 yx+1 与直线 ymx+n 相交于点 P（a，2），则关于不等式 x+1mx+n的解集是（）Ax1B0 x1Cx1Dx1【分析】首先将已知点的坐标代入直线 yx+1 求得 a 的值，然后观察函数图象得到在点P 的右边，直线 yx+1 都在直线 ymx+n 的上方，据此求解【解答】解：直线 l1：yx+1 与直线 l2：ymx+n 相交于点 P（a，2），a+12，解得：a1，观察图象知：关于 x 的不等式 x+1mx+n 的解集为 x1，故选：C【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出两函数图象的交点坐标，根据函数图象可得答案8（3 分）已知关于 x 的方程有增根，则 m 的值为（）A3B1C1 或 0D3 或5【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母 x（x1）0，得到 x0 或 x1，然后代入化为整式方程的方程算出 m 的值【解答】解：方程两边都乘 x（1x），得 3（x1）+6xxm，化简，得第 10页（共 24页）8x3m原方程有增根，最简公分母 x（1x）0，解得 x0 或 x1，当 x0 时，m3，当 x1 时，m5故 m 的值为 3 或5故选：D【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为 0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值9（3 分）如图，在ABCD 中，DAB45，DAB 的角平分线与 DC 边交于点 E，连接 EB，过点 E 向 AD 的延长线作垂线，垂足为 F，若 DF，EC1，则ABE 的面积为（）A2BC2D3【分析】过 E 作 EGAB 交 AB 的延长线于 G，由角平分线的性质得 EGEF，再证DEF 是等腰直角三角形，得 EFDF，DEDF2，则 ABCDDE+EC3，EG，然后由三角形面积公式即可得出结论【解答】解：如图，过 E 作 EGAB 交 AB 的延长线于 G，DAB 的角平分线与 DC 边交于点 E，EFAD，EGEF，EFD90，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ABCD，EDFDAB45，DEF 是等腰直角三角形，EFDF，DEDF2，ABCDDE+EC3，EGEF，第 11页（共 24页）SABEABEG3，故选：B【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键10（3 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+8 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A和点 B，以 AB 为边在直线右侧作正方形 ABCD，连接 BD，过点 C 作 CFx 轴，垂足为点 F，交 BD 于点 E，连接 AE，则三角形 AFE 的周长为（）A14B16C21D22【分析】根据题意求出 A、B 两点的坐标，根据已知条件先证CBNABO，即可求得BNBO8，CNOA6，进一步求得 C 点的坐标，再证得CDEADE，得到 AECE，即可得到 AE+EFCE+EFCF，即可根据AEF 周长AE+EF+AFCF+AF 求出周长即可【解答】解：一次函数 yx+8 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点 B，当 x0，则 y8，故 B（0，8），当 y0，则 x6，故 A（6，0），AO6，BO8，第 12页（共 24页）过点 B 作 BN 平行于 OF，交 CF 于 N，NBO90，ABO+ABN90，CBN+ABN90，CBNABO，在CBN 和ABO 中，CBNABO（AAS），BNBO8，CNOA6，BNOF，BOFCFO90，四边形 OBNF 为正方形，CNOA6，BNBO8，C（8，14），CF14，OF8，AF862，四边形 ABCD 是正方形，CDAD，BD 是正方形的对角线，CDEADE，在CDE 和ADE 中，CDEADE（SAS），AECE，AE+EFCE+EFCF，AEF 周长AE+EF+AFCF+AF14+216故选：B第 13页（共 24页）【点评】本题主要考查了一次函数、正方形、全等三角形、三角形的周长、勾股定理等知识点，构造全等三角形利用等量代换求解是解答本题的关键二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分）11（3 分）分式的值为 0，则 x2【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零解答即可【解答】解：分式的值为 0，则 2x40 且 x+50，x2故答案为：2【点评】本题考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零注意：“分母不为零”这个条件不能少12（3 分）正六边形的每个内角的度数是120度【分析】利用多边形的内角和为（n2）180求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解【解答】解：根据多边形的内角和定理可得：正六边形的每个内角的度数（62）1806120【点评】本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和公式即可解决问题13（3 分）若关于 x 的不等式 5xk4+4x 的解集是非负数，则 k 的值为k4【分析】将 k 看作已知数，求出不等式的解集，根据解集是非负数即可确定出 k 的范围【解答】解：5xk4+4x，移项得：5x4x4+k第 14页（共 24页）合并得：x4+k，根据题意得：4+k0，解得：k4故答案为：k4【点评】此题考查了解一元一次不等式，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变14（3 分）如图，ABCD，BAC 和ACD 的角平分线交于点 E，F 为 AC 中点，若 AE5，CE10，则 FE 的长为【分析】利用平行线的性质判定是直角三角形，再利用勾股定理求斜边长，再求 EF【解答】解：ABCD，BAC+ACD180，BAC 和ACD 的角平分线交于点 E，CAEBAC，ACEACD，CAE+ACE90，AEC90，由勾股定理得：AC5，F 为 AC 中点，EFAC故答案为：【点评】本题考查了平行线的性质，结合角平分线，直角三角形的性质是解题的关键15（3 分）已知 a、b、c 为ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2a4b4，则ABC 为等腰或直角三角形【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可【解答】解：a2c2b2c2a4b4，c2（a+b）（ab）（a2+b2）（a+b）（ab），第 15页（共 24页）当 ab，则ABC 是等腰三角形；当 ab，则 c2（a2+b2），故ABC 是直角三角形，当 ab，且 c2（a2+b2），故ABC 是等腰直角三角形，ABC 为等腰三角形或直角三角形故答案为：等腰或直角【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确将原式利用平方差公式分解因式得出是解题关键16（3 分）已知：APD 中，PA3，PD6，以 AD 为边向下作矩形 ABCD，对角线 AC与 BD 相交于点 O，且AOB60，连接 PO，则 PO 最大值为3【分析】如图，在 AP 的右侧取一点 J，使得 JAJP，AJP120连接 AJ，JP，OJ，过点 J 作 JHAP 于点 H求出 PJ，证明PADJAO，推出，推出 JO2，根据 OPJP+OJ+23，可得结论【解答】解：如图，在 AP 的右侧取一点 J，使得 JAJP，AJP120连接 AJ，JP，OJ，过点 J 作 JHAP 于点 HJAJP，JHAP，AHPH，AJP120，JAPJPA30，PJ2JH，第 16页（共 24页）PJ，JH，四边形 ABCD 是矩形，OAOD，AOB60，AOD120，OADODA30，PAJDAO，PADJAO，PADJAO，JO2，OPJP+OJ+23，OP 的最大值为 3故答案为：3【点评】本题考查等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 52 分）分）17（7 分）因式分解：（1）a32a2+a；（2）y29（x+y）2【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可【解答】解：（1）原式a（a22a+1）a（a1）2；（2）原式y+3（x+y）y3（x+y）（3x+4y）（3x2y）（3x+4y）（3x+2y）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本第 17页（共 24页）题的关键18（5 分）解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：【分析】分别解两个不等式，求出解集的公共部分即可【解答】解：解不等式 5x+24x1 得：x3，解不等式得：x6故不等式组的解集为3x6数轴表示为：【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟知求不等式组解集的方法19（8 分）（1）计算：；（2）解分式方程：【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：（1）原式；（2）去分母得到：2（x1）+2x1，解得：x，检验：把 x代入得：（x+1）（x1）0，第 18页（共 24页）分式方程的解为 x【点评】此题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键20（6 分）如图，已知在 RtABC 中，A30，C90（1）请用尺规在 AC 边上找一点 P，使得 PC+PBAC（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，若 AC6，则 PC2【分析】（1）作 AB 的垂直平分线得到 PAPB，则 PC+PBAC；（2）由 PAPB 得到PBAA30，所以BPC60，利用含 30 度角的直角三角形三边的关系得到 PB2PC，所以 PCAC【解答】解：（1）如图，点 P 为所作；（2）PC+PBAC，PC+PAAC，PAPB，PBAA30，BPCA+PBA60，在 RtPBC 中，PB2PC，2PC+PCAC，PCAC62故答案为：2【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了含 30 度角的直角三角形三边的关系第 19页（共 24页）21（8 分）如图，在ABCD 中，过 B 点作 BMAC 于点 E，交 CD 于点 M，过 D 点作 DNAC 于点 F，交 AB 于点 N（1）求证：四边形 BMDN 是平行四边形；（2）已知 AF12，MC13，求 FN 的长【分析】（1）只要证明 DNBM，DMBN 即可；（2）只要证明CEMAFN，可得 ANMC13，根据勾股定理可求 FN5【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB，BMAC，DNAC，DNBM，四边形 BMDN 是平行四边形；（2）解：四边形 BMDN 是平行四边形，DMBN，CDAB，CDAB，CMAN，MCENAF，CEMAFN90，在CEM 和AFN 中，CEMAFN（AAS），CMAN13，在 RtANF 中，FM5第 20页（共 24页）【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型22（8 分）某工厂计划招聘甲、乙两种工人生产同一种零件，每小时甲种工人比乙种工人多生产 10 个零件，甲种工人生产 150 个这种零件所用时间与乙种工人生产 120 个这种零件所用时间相等（1）甲、乙两种工人每小时各生产多少个这种零件？（2）若该工厂计划招聘 90 名工人，且甲种工人人数不超过乙种工人人数的 2 倍，如何招聘才能在 10 小时内生产最多的这种零件？最多能生产多少个这种零件？【分析】（1）根据“甲加工 150 个零件所用的时间与乙加工 120 个零件所用时间相等”可得出相等关系，求出答案；（2）设 A 工种的工人为 a 人，则 B 工种的工人为（120a）人，根据题意建立不等式组，然后求出其解就可以得出结论【解答】解：（1）设乙每小时加工零件 x 个，则甲每小时加工零件（x+10）个，由题可得：，解得：x40，经检验：x40 是原方程的解，则 x+1050，答：甲每小时加工零件 50 个，乙每小时加工零件 40 个；（2）设甲种工人为 a 人，则乙种工人为（90a）人，生产的这种零件为 y 个，由题意，得a2（90a），解得：a60，y50a+40（90a）10a+3600，k100，y 随 x 的增大而增大，当 x60 时，y 最大，最大值为 4200 个，第 21页（共 24页）招聘甲种工人 60 人，乙种工人 30 人，才能在 10 小时内生产最多的这种零 4200 个【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等式是解题的关键23（10 分）如图 1，矩形 ABCD 中，AB2，AD4，点 E 是 BC 的中点，将ABE 向左平移到DCF 的位置，得到四边 ADFE（1）四边形 ADFE 是菱形；（2）如图 2，将图（1）中的DCF 绕点 D 旋转至DMA，连接 ME，求线段 ME 的长；（3）如图 3，在上述四边形 ADFE 中，连接 DE，点 M 是射线 EF 上一动点，将DMF绕着点 D 旋转至DNA，P、O 分别是 DE，DN 的中点，连接 QP，求 QP 的最小值【分析】（1）根据矩形的性质、平移的性质得到 BCAD4，CDAB2，ADBC，AEDF，即可判定四边形 ADFE 是平行四边形，根据勾股定理求出 AE4，则 ADAE，即可判定四边形 ADFE 是菱形，（2）连接 DE，根据矩形、菱形的性质、直角三角形的性质推出ADE 是等边三角形，进而推出MDE90，根据勾股定理求解即可；（3）DFE 逆时针旋转 120后对应的是DAE，取 DE的中点 Q，AE 的中点 T，作射线 QT，则点 Q 在射线 QT 上运动，进一步可求得 PQ 的最小值【解答】解：（1）如图 1，四边形 ABCD 是矩形，BCAD4，CDAB2，ADBC，由平移可知 AEDF，FDCBAE，四边形 ADFE 是平行四边形，E 是 BC 的中点，BEBC2，AE4，第 22页（共 24页）ADAE，四边形 ADFE 是菱形，故答案为：菱；（2）如图 2，连接 DE，四边形 ABCD 是矩形，BAD90，四边形 ADFE 是菱形，DFADAE4，由旋转可知：DMCD2，ADMFDC，在 RtABE 中，AE4，BE2，BEAE，BAE30，DAEBADBAE903060，ADE 是等边三角形，ADE60，DEAE4，FDCBAE，ADMFDC，BAE30，ADM30，MDEADM+ADE30+6090，ME2；（3）如图 3，第 23页（共 24页）DFE 逆时针旋转 120后对应的是DAE，取 DE的中点 Q，AE 的中点 T，作射线 QT，则点 Q 在射线 QT 上运动，作 PQQT 于 Q，则 PQ 的长是所求的最小值，作 TRDE 于 R，可得 PQTRETsinAED4sin6042，则 PQ最小2【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是找出点 Q 的运动轨迹第 24页（共 24页）