二重积分的概念.pdf
二重积分的概念二重积分的概念和性质和性质 1. 1.定积分的概念。定积分的概念。 曲边梯形的面积曲边梯形的面积： 1 x i x 1i xa y o 1 1 , iii iii xx xxx i 分分割割、 ( ) ii fx 1 n i 0 lim 近似、近似、 求和、 求和、 取极限取极限 1 max i i n x 1. 1.二重积分的概念。二重积分的概念。 2. 2.二重积分和定积分的区别和联系。二重积分和定积分的区别和联系。 3.3.通过学习，进一步加深对积分概念的理通过学习，进一步加深对积分概念的理 解。解。 类比学习类比学习 4 一、二重积分的一、二重积分的概念概念 二重积分的概念和性质 二二、二重积分的性质、二重积分的性质 : : 类似定积分解决问题的思想: 给定曲顶柱曲顶柱体体: 底：底： xoy 面上的闭区域 D 顶顶: 连续曲面 侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其求其体积？体积？ D “分割分割, ,近似近似 , ,求和求和, ,取极限取极限 ” 曲顶柱体的体积 一、二重积分的概念一、二重积分的概念 类似曲边梯形 x y z O ),(yxfz 1)对 D 进行分割： ),2, 1(ni i D 小曲顶柱体 i （） D y O x z i ii , ii ii Vf, 小平顶柱体小平顶柱体体积体积 小曲顶柱体的体积小曲顶柱体的体积Vi iiii fV),( 2. 取近似 ii f , iiii fV),( ),( kk f k ),( kk 1 (,) n iii i Vf 3. 求和 令令 n k kkk fV 1 0 ),(lim ),( kk f k ),( kk 定义的区域定义的区域Di 的的直径为直径为: : （类似圆的直径定义类似圆的直径定义） 取极限逼近，得曲顶柱取极限逼近，得曲顶柱 体体积的精确值体体积的精确值 最大的直径最大的直径 4. 求极限 1212 max ii P PP ,PD 1 max i k n 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为(,) 0, 设D 的面积为 , 则 M 若 是变量， 仍可用 其面密 “分割，近似，求和，取极限” 解决. 1)“分割” 用任意曲线网分区域D 为 n 个小区域 , 21n 相应把薄片也分为小区域 . D y x 平面薄片的质量 2)“近似” 在每个中任取一点 (,) , 3)“求和” 4)“取极限” i ),( ii 则第 小块的质量 y x 令令 是所有小区域是所有小区域 ( = ,)直径的最大值直径的最大值 (,) ( = ,) = = (,) = = (,) = (1) (1) 解决问题的解决问题的步骤相同步骤相同 (2) (2) 所求量的所求量的结构式相同结构式相同 “分割，近似，求和，取极限分割，近似，求和，取极限” n k kkk fV 1 0 ),(lim n k kkk M 1 0 ),(lim 曲顶柱体体积曲顶柱体体积: : 平面薄片的质量平面薄片的质量: : 两个问题的共性 ),(yxf设 将区域将区域 D D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域 任取任取一点一点 若存在一个常数若存在一个常数 I I , , 使使 可积可积 , , ),(yxf则称),(yxfI为称 在在D D上的上的二重积分二重积分. . ,x y 积分和积分和 积分区域积分区域 被积函数被积函数 积分表达式积分表达式 面积元素面积元素 记作记作 是定义在是定义在有界闭区域有界闭区域 D D上的上的有界函数有界函数 , , 定义定义 称为积分变量称为积分变量 ( , ) D f x y d D yxfVd),( 引例1中曲顶柱体体积: D yxMd),( 引例2中平面薄板的质量: 如果 在D上可积, ),(yxf 也常 ,ddyx 二重积分记作 ( , )d d . D f x yx y 这时 分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 D yxyxfdd),( D yxyxdd),( 若函数 (证明略，了解) 在D上可积可积. 限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 二重积分存在定理二重积分存在定理 定理定理1 1 定理定理2 2 则 在D上可积可积. . 若函数若函数 在在DD上上可积可积. . 在在有界闭区域有界闭区域 DD上上连续连续, , 则则 二重积分存在定理二重积分存在定理 定理定理1 1 二重积分几何意义二重积分几何意义 （参照定积分的几何意义） 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值 ( , )d D k f x y ( k 为常数) 12 ( , )d( , )d( , )d DDD f x yf x yf x y DD dd1 为D 的面积, 则 D yxfkd),( 二、二重积分的性质二、二重积分的性质 性质性质1 1 性质性质2 2 性质性质3 3 性质性质4 4 重积分的重积分的区域区域可加性可加性 定积分的定积分的区间区间可加性可加性 定积分这定积分这 里是什么？里是什么？ 无公共内点) k=0？ ( 假设下列所有积分都存在) ()1 bb aa badxdx 特别, 由于 ),(),(),(yxfyxfyxf D yxfd),( 则 D yxfd),( D yxd),( 若在D上 ),(yxf, ),(yx D yxfd),( 设 D 的面积为 , Myxfm D d),( 则有 性质性质5 5 性质性质6 6 ),(),(fdyxf D 由性质6可知, Myxfm D d),( 1 由连续函数介值定理, 至少有一点 D yxff d),( 1 ),( 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使 因此 性质性质7 7 二重积分的中值定理二重积分的中值定理 设函数 在闭区域D上 连续, ( , )f x y 积分中值积分中值 定理是什定理是什 么样子？么样子？ ( )( )(), b a f x dxfba ( , )a b 利用重积分的性质比较下列积分的大小: 2 () d,()d DD xyxy 其中 三条直线围成 :0,0,1D xyxy 对任意的 ，有 1 yx 2 ()()xyxy 01,xy 从而，利用性质5 2 () d()d DD xyxy 1 y xo 1 D ( , )x yD (与定积分性质相似) 1 1、二重积分的定义、二重积分的定义 思思 想想 分割分割 取近似取近似 求求 和和 取极限取极限 2 2、二重积分的性质、二重积分的性质 = (,) = ,
