《解题达人》（2022）高三二轮小题专练__——解三角形B.docx

解题达人（2022）高三二轮小题专练解三角形B一、单选题1已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，则的最小值为（ ）AB2CD2如图所示，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（ ）ABCD3已知双曲线的左右顶点分别是，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD4在中，分别是边，的中点，与交于点，若，则面积的最大值为（ ）ABCD5已知球内接正四面体，为棱的中点，是棱上的一点，且，则球与四面体的体积比为（ ）ABCD6在中，点在边上，且，设，则当取最大值时，（ ）ABCD7设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）A(1，9B(3，9C(5，9D(7，98如图所示，在直三棱柱中，P是上的一动点，则的最小值为（ ）ABCD39已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ）A3BCD10已知三棱锥中，二面角的余弦值为，点在棱上，且，过作三棱锥外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ）ABCD11设锐角的三个内角.的对边分别为.，且，则周长的取值范围为（ ）ABCD12已知分别为椭圆：的左右顶点，为椭圆上一动点，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，则的最小值为（ ）ABCD第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13在中，记角所对的边分别是，面积为，则的最大值为_.14有一解三角形的题，因纸团破损有一个条件不清，具体如下：在中，已知，_求角经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示，试将条件补充完整.15在中，是上的点，平分，若，则的面积为_.16设抛物线C()的焦点为，第一象限内的A，B两点都在C上，O为坐标原点，若，则点A的坐标为_.试卷第3页，共3页参考答案：1C【解析】【分析】由已知得，所以点在的平分线上，即为的角平分线，利用正弦定理得，可知，结合三角函数的性质可求最小值.【详解】表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，的分向与的平分线一致，所以点在的平分线上，即为的角平分线，在中，利用正弦定理知：同理，在中，其中分析可知当时，取得最小值，即故选：C2B【解析】【分析】过作垂足为，过作垂足为，将平移到处，连接、，易知为二面角的平面角，设，进而求、，在中应用余弦定理并结合三角函数的性质判断与的大小关系.【详解】过作垂足为，过作垂足为，将平移到处，连接、，则为二面角的平面角，即，又，即，故，易知，则，设，则，在中，在中，在中，平面，则平面，则，在中：，（当且仅当时等号成立），.故选：B.【点睛】关键点点睛：应用二面角的定义，通过作辅助线确定二面角的平面角，再根据目标角、相关线段所在三角形求、，进而在中应用余弦定理并结合三角函数的性质判断角大小关系.3C【解析】【分析】设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，利用两角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【详解】根据双曲线的对称性不妨设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值， ，当且仅当，即当 时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，点的坐标为，代入，可得 ，即，即 所以双曲线的渐近线方程为：故选：C【点睛】方法点睛：本题考查了求双曲线渐近线方程，及利用基本不等式求最值，解题时先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c及渐近线之间的关系，求出的值即可，考查学生的计算能力和转化化归能力，属于中档题4C【解析】【分析】设，由三角形中的中位线的性质和比例的性质可得出，再设，根据余弦定理得，再得出，由三角形的面积公式表示的面积，根据二次函数的最值可得选项.【详解】因为分别是边，的中点，所以，所以，又，设，则，又因为，所以，设，所以在中，所以，所以，当时，面积取得最大值，故选：C. 【点睛】本题考查三角形的面积的最值求解，关键在于运用三角形的中位线性质和比例性质得出线段间的关系，再运用余弦定理和三角形的面积公式表示三角形的面积为一个变量的函数，属于较难题.5D【解析】【分析】作出正四面体与球，顶点在底面的射影为，球心在上.设正四面体的棱长为，令，由，可得的关系，再分别求出体积，即可得答案；【详解】如图，正四面体中，顶点在底面的射影为，球心在上.设正四面体的棱长为，则正四面体高.设外接球半径为，在直角三角形中，即，解得.令，在中，由余弦定理得，同理，在中，由余弦定理得.由题设，解得.由于到平面的距离与到平面的距离相等，都等于，故，.所以.故选：D.【点睛】本题考查棱锥、球等几何体的空间想象、推理论证及运算求解能力.6B【解析】【分析】根据，利用两角和与差的正弦公式化简得到，进而求得A，根据点在边上，且，得到，再由余弦定理结合两边平方，得到，令，得到，用导数法求得最大值时a，b，c的关系，再利用正弦定理求解.【详解】因为，所以，即，因为，所以，因为，所以，因为点在边上，且，所以，设，则，在中，由余弦定理得，所以，即，即，所以，令，得，则，令，解得，当时，当时，所以当时，取得最大值，此时，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到，然后利用余弦定理表示BC，利用平面向量表示AD而得解.7D【解析】【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.【详解】因为，由正弦定理可得，则有，由的内角为锐角，可得， 由余弦定理可得因此有 故选：D.【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.8B【解析】【分析】连接，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，判断出当三点共线时，则即为的最小值.分别求出,利用余弦定理即可求解.【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面， 设点的新位置为，连接，则有.当三点共线时，则即为的最小值.在三角形ABC中，由余弦定理得：,所以，即在三角形中，由勾股定理可得：,且.同理可求：因为，所以为等边三角形，所以，所以在三角形中，,由余弦定理得：.故选B.【点睛】（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.9D【解析】【分析】设，由题设条件得到的关系：，由是三角形的外心可得，对，消去AO，利用基本不等式求得m的范围.【详解】如图所示：设，由得，化简得，由是三角形的外心可知，是三边中垂线交点，得，代入上式得，.根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，代入得，当且仅当“”时，等号成立.故选：D.10B【解析】【分析】可证三棱锥为正四面体，将其补充正方体，结合正方体的外接球可求截面面积的最小值.【详解】解：由已知可得，都是边长为4的正三角形，取的中点为，连接，则，故为二面角的平面角，而，故，故三棱锥是棱长为4的正四面体.将该三棱锥放置在如图所示的棱长为的正方体中，则正四面体的外接球即正方体的外接球，其半径为，故，过且垂直于的平面截球面的面积最小.又，则截面圆的半径，截面面积的最小值为故选：B【点睛】方法点睛：与空间几何体的外接球有关的计算问题，可根据几何体的特征把几何体补成规则的几何体，从而便于球的半径的计算.11C【解析】由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围【详解】为锐角三角形，且，又，又，由，即，令，则，又函数在上单调递增，函数值域为，故选：C【点睛】本题考查三角形的正弦定理和运用，考查三角函数的恒等变换，以及余弦函数的性质，考查化简变形能力，属于难题12A【解析】容易知道，设：，：，求出，两点坐标，则，设与的外接圆的半径分别为，由正弦定理得：，可知，再利用基本不等式求值.【详解】由已知得、，设椭圆上动点，则利用两点连线的斜率公式可知，设直线方程为：，则直线方程为：，根据对称性设，令得，即，则设与的外接圆的半径分别为，由正弦定理得：，又，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为故选：A【点睛】结论点睛：本题考查椭圆的基本性质，解题的关键是要熟记椭圆的基本性质：若、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一动点，则直线与直线的斜率之积为定值，即，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于较难题.13【解析】【分析】根据面积公式及基本不等式可得，利用辅助角公式可求的最大值，从而可得的最大值.【详解】，令，则，故，故，又，故，当且仅当满足时等号成立，此时，故的最大值为.故答案为：【点睛】方法总结：对于形如的函数的值域，可以用导数或辅助角公式来处理，后者实际上是把函数的值域问题归结三角方程的有解问题.14【解析】【分析】先由给定等式求出角B，再由答案提示及一解的条件借助正弦定理计算并判断即得.【详解】在中，由得，即，得，解得，而，则，由答案提示得，由正弦定理得：，于是有，若破损处的条件为，则由正弦定理得，又，则或，有两解，不符合要求，若破损处的条件为，则由余弦定理、正弦定理得，又，则，有一解，符合要求，所以破损处的条件为.故答案为：15【解析】【分析】由正弦定理可得、，即有，而，可得，结合余弦定理求，再应用三角形面积公式求的面积即可.【详解】由正弦定理，即，而，即，即，又由余弦定理知：，即，令，即（舍去），.故答案为：.【点睛】关键点点睛：应用正余弦定理，列方程求，根据三角形面积公式求面积.16【解析】【分析】根据所给条件，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，设，由且，结合抛物线焦半径公式可得，从而求得，再解即可得解.【详解】如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，设，由且，所以，所以 ，所以，所以，同理，故在中，解得，所以，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线上的点的问题，考查了抛物线焦半径公式以及解三角形，要求较高的计算量，属于较难题.解此类问题的方法有：（1）利用几何关系结合抛物线的性质进行计算；（2）联立形成方程，利用韦达定理进行计算.答案第17页，共17页