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第八章 拉格朗日动力学第八章 拉格朗日动力学 第八章拉格朗日动力学第八章拉格朗日动力学 有势系的拉格朗日方程有势系的拉格朗日方程 广义动量积分和广义能量积分广义动量积分和广义能量积分 广义动量积分和广义能量积分广义动量积分和广义能量积分 一般形式的拉格朗日方程一般形式的拉格朗日方程 多自由度系统在稳定平衡位置附近的小振动多自由度系统在稳定平衡位置附近的小振动 对称性与守恒律对称性与守恒律对称性与守恒律对称性与守恒律 广义势带电粒子的拉格朗日方程耗散函数广义势带电粒子的拉格朗日方程耗散函数 相对论力学中质点的拉格朗日函数相对论力学中质点的拉格朗日函数 拉格朗日方法的特点和意义拉格朗日方法的特点和意义拉格朗日方法的特点和意义拉格朗日方法的特点和意义 8-1 有势系的拉格朗日方程8-1 有势系的拉格朗日方程 1 t 0d),( 1 0 = t ttqqLS & ),(tqqLVTL &= 0 d d = q L q L t& s , 2 , 1L= 例题1例题1 1 mgzzmVTL+=)( 2 1 2222 & & & 1 cot=z ( 2 1 22 222 mL+= & & cot)cot 22 mg + & 8-1 有势系的拉格朗日方程8-1 有势系的拉格朗日方程 dLL = d 0 d d LL LL t& =+0cossinsin 22 && & & & &g = 0 d d LL t & =+02 & & & & 常量= & 2 =+ = 0cossin tan 222 22 gzz z & & & & 常量 +0cossingzz = & & & 2 cos)(Fm N = = ）常量（由初始条件确定 & & & 2 sinmgFzm N cot=z =）常量（由初始条件确定 例题例题2 2 )( 1 222 & &rrmT+= 2 )( 1 coslrkmgrV+= 例题例题 )( 2 rrmT+= 0) ( 2 coslrkmgrV+= 8-1 有势系的拉格朗日方程8-1 有势系的拉格朗日方程 )( 0 llkmg= k mg ll= 0 2222 )( 2 1 cos)( 2 1 k mg lrkmgrrrmL+= & & = 0 d d r L r L t& = 0 d d d LL t rrt & dt =+0)(cos 2 mg lrkmgmrrm & & & =+ + 0sin2 0)(cos grr k lrkmgmrrm & & & & 8-1 有势系的拉格朗日方程8-1 有势系的拉格朗日方程 很小sin1cos k =+ 02 0)( 2 k mg lrkmgmrrm & & & & & & &0=+ m k & & =+02grr& llr/ )( = lr) 1(+= 02)1 (=+gll & & & & 0=+ g & & l T2=0+ lg 8-1 有势系的拉格朗日方程8-1 有势系的拉格朗日方程 在近似条件下在近似条件下 固定摆长的单摆方向l 在近似条件下在近似条件下 一维弹簧谐振子方向 固定摆长的单摆方向 l 用拉格朗日方法建立完整有势系的运动微分方程的基用拉格朗日方法建立完整有势系的运动微分方程的基 本步骤本步骤: :本步骤本步骤: : (1)判断自由度, 选择合适的广义坐标.(1)判断自由度, 选择合适的广义坐标. (2)(2)通过坐标变换方程通过坐标变换方程, , 将拉格朗日函数写成将拉格朗日函数写成, & (2)(2)通过坐标变换方程通过坐标变换方程, , 将拉格朗日函数写成将拉格朗日函数写成, , , , 的函数, 即.的函数, 即. (3)(3)将拉格朗日函数代入拉格朗日方程中将拉格朗日函数代入拉格朗日方程中, , 得到得到个个 q q & t ),(tqqLVTL &= (3)(3)将拉格朗日函数代入拉格朗日方程中将拉格朗日函数代入拉格朗日方程中, , 得到得到个个 二阶微分方程, 这就是系统的运动微分方程. 二阶微分方程, 这就是系统的运动微分方程. s