2023届高考数学一轮复习计划第三节　三角恒等变换 学案.doc

第三节三角恒等变换第一课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式(1)经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；(2)能推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换 重点一两角和与差的余弦、正弦、正切公式1cos() _ _ _ _ (C()2cos() _ _ _ _ (C()3sin() _ _ _ _ (S()4sin() _ _ _ _ (S()5tan()(T()6tan()(T()逐点清1(必修第一册219页例4改编)计算：sin 108°cos 42°cos 72°sin 42°_解析：原式sin(180°72°)cos 42°cos 72°sin 42°sin 72°cos 42°cos 72°sin 42°sin(72°42°)sin 30°答案：2(易错题)若tan ，tan 是方程x26x70的两个根，则tan()_解析：由于tan ，tan 是方程x26x70的两个根，所以tan tan 6，tan ·tan 7，所以tan()1答案：1重点二二倍角公式1基本公式(1)sin 2 _ _ ；(2)cos 2 ；(3)tan 22公式变形(1)降幂公式：cos2；sin2；sin cos sin 2；(2)升幂公式：cos 2 ；1sin 2；1sin 2逐点清3(多选)(2022·南京月考)下列各式中，值为的是()A2sin 15°cos 15°Bcos215°sin215°C12sin215°D解析：BCDA项，2sin 15°cos 15°sin 30°；B项，cos215°sin215°cos 30°；C项，12sin215°cos 30°；D项，×tan 30°×故选B、C、D4(2020·江苏高考)已知sin2，则sin 2的值是_解析：因为sin2，所以，得sin 2答案：记结论1公式的常用变式：tan ±tan tan(±)(1tan tan )；tan ·tan 112常用拆角、拼角技巧：例如，2()()；()()；(2)()；()()；等提速度1(1tan 1°)(1tan 2°)(1tan 3°)(1tan 44°)()A222B223C211D212解析：A由结论1知tan 1°tan 44°1tan 1°tan 44°，(1tan 1°)(1tan 44°)1tan 1°tan 44°tan 1°tan 44°11tan 1°tan 44°tan 1°tan 44°2所以(1tan 1°)·(1tan 2°)(1tan 3°)(1tan 44°)222故选A2(2022·烟台三模)已知tan()，tan()，则tan(2)_解析：由结论2可知：2()()，tan(2)tan 2，tan 21，tan(2)1答案：1和、差、倍角公式的直接应用1(2021·全国乙卷)cos2cos2()ABCD解析：D法一(通解)：因为cos sin sin ，所以cos2cos2cos2sin2coscos故选D法二(优解)：因为cos，cos，所以cos2cos222故选D2(2021·全国甲卷)若，tan 2，则tan ()ABCD解析：A因为，所以tan 22cos214sin 2sin22sin22cos214sin sin tan 3已知sin 10°mcos 10°2cos 140°，则m_解析：由题可得m答案：应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用 和、差、倍角公式的逆用及变形用1(2022·T8联考)已知tan 20°cos 70°3，则的值为()AB2 C3D4解析：D由已知，sin 20°3，则sin 20°sin 20°cos 20°3cos 20°，从而sin 40°3cos 20°sin 20°2sin(60°20°)2sin 40°，所以4，故选D2在ABC中，若tan A tan Btan Atan B1，则cos C_解析： 由tan A tan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，又因为AB(0，)，所以AB，则C，cos C答案：3若sin xcos x，则tan_解析：由sin xcos x，得2sin，即sin，所以cos±，所以tan ±，即tan tan±答案：±和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sin sin cos()cos cos ；cos sin sin()sin cos ；tan ±tan tan(±)·(1tan ·tan )；(3)倍角公式变形：降幂公式注意tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题 简单的三角恒等变换考向1角的变换(2020·全国卷)已知sin sin1，则sin()ABCD解析sin sinsin cos sin1，sin，故选B答案B三角函数公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角” 考向2名的变换(2022·广州月考)已知sin，则cos()ABCD解析由题sin，cos12sin2，coscoscos故选A答案A三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦 1(2022·六安期末)已知sin sin 1，cos cos ，则cos()()ABCD解析：A由题(sin sin )2，(cos cos )2，故两式相加有22(sin sin cos cos )2，故cos()，故选A2若，为锐角，且cos()，cos(2)，则cos _解析：因为，为锐角，cos()，cos(2)，所以0<<，0<2<，则sin()，sin(2)，cos cos(2)()cos(2)cos()sin(2)sin()××答案：课时过关检测A级基础达标1在ABC中，cos Acos B>sin Asin B，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形解析：C依题意可知cos Acos Bsin Asin Bcos(AB)>0，所以cos C>0，所以cos C<0，所以C为钝角故选C2(2022·临汾质检)已知sin，则cos()ABCD解析：Bcoscoscos12sin212×2故选B3已知满足sin，则()A3B3CD解析：Dsin(sin cos )，即sin cos ，平方可得12sin cos ，sin 2，故×sin 2，故选D4已知sin()，sin()，则()ABC3D3解析：D由题意可得，sin cos cos sin ，sin cos cos sin ，所以sin cos ，cos sin ，所以3故选D5(2022·本溪一模)角和满足sin()2sin()，则tan·tan ()ABCD3解析：A因为sin()2sin()，所以sin ·cos cos ·sin 2sin ·cos 2cos ·sin ，所以sin ·cos 3cos ·sin ，故tan·tan ·故选A6(多选)(2022·南京月考)下列说法正确的是()Acos2B1sin 2Csin cos sinD解析：ABDcos 22cos21，cos2，故A正确；1sin sin2cos22sin cos 2，故B正确；sin cos sin，故C错误；tan(45°15°)tan 30°，故D正确故选A、B、D7(多选)若sin ，(0，)，则()Acos Bsin CsinDsin解析：ACsin ，(0，)，cos 则cos 12sin212×2，故A正确；sin 2sin cos 2××，故B错误；sinsin cos cos sin ××，故C正确；sinsin cos cos sin ××，故D错误故选A、C8若cos 2x，则sin x_解析：cos 2x12sin2x，可得sin2x，故sin x±答案：±9(2022·北京模拟)已知tan 2，则cos_解析：cossin 22sin cos 答案：10已知，为锐角，tan ，cos()(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值解：(1)因为tan ，tan ，所以sin cos 因为sin2cos21，所以cos2，因此cos 22cos21(2)因为，为锐角，所以(0，)又因为cos()，所以sin()，因此tan()2因为tan ，所以tan 2，因此tan()tan 2()B级综合应用11(2022·厦门模拟)函数f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零点个数为()A1B2C3D4解析：B因为f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|2(1cos x)sin x2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数ysin 2x与y|ln(x1)|图象的交点的个数，作出函数ysin 2x与y|ln(x1)|图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点12(多选)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方(即CD10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)试问水深、芦苇的长度各是多少？假设BAC，现有下述四个结论，其中正确的是()A水深为12尺B芦苇长为15尺Ctan Dtan解析：ACD设BCx，则ACx1，AB5，52x2(x1)2，x12，即水深为12尺，A正确；芦苇长为13尺，B错误；tan ，由tan ，解得tan (负值已舍去)，C正确；tan ，tan，D正确故选A、C、D13(2022·运城模拟)已知，tan tan 3，则cos()_解析：由tan tan 3，得3，即3sin()3cos cos 又知，cos cos 而cos()cos cos sin sin ，sin sin cos()cos cos sin sin 答案：14如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知SOAM，点B的纵坐标是(1)求cos()的值；(2)求2的值解：(1)由题意知，|OA|OM|1，因为SOAM|OA|·|OM|sin ，所以sin ，又为锐角，所以cos 因为点B是钝角的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，所以sin ，cos ，所以cos()cos cos sin sin ××(2)因为sin ，cos ，sin ，cos ，cos()，sin()sin cos cos sin ××，所以sin(2)sin()sin cos()cos sin()，因为为锐角，sin >，所以，所以2，又，所以2，所以2C级迁移创新15在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，Psin(AB)，Qsin Asin B，Rcos Acos B(1)当A30°，B30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；(2)当A30°，B45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；(3)由(1)，(2)你能得到什么结论，并证明你的结论；(4)已知A，B，C是ABC的三个内角，ytan ，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论解：(1)当A30°，B30°时，Psin(30°30°)sin 60°，Qsin 30°sin 30°2sin 30°1，Rcos 30°cos 30°2cos 30°，P<Q<R(2)当A30°，B45°时，Psin(30°45°)sin 30°cos 45°cos 30°sin 45°××，Qsin 30°sin 45°，Rcos 30°cos 45°，PQ<0，P<Q，QR<0，Q<R，P<Q<R(3)由(1)，(2)猜想P<Q<R证明如下：C为钝角，0<AB<，A<B，B<A，cos A>cossin B，cos B>cossin A，RQcos Acos Bsin Asin B>sin Bsin Asin Asin B0，即R>QPQsin(AB)sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin Asin Bsin A(cos B1)sin B(cos A1)<0，P<Q综上可得P<Q<R(4)任意交换两个角的位置，y的值不变证明如下：A，B，C是ABC的三个内角，ABC，ytan tan tan tan tan tan ，因此任意交换两个角的位置，y的值不变