《圆与方程》专题3 圆交线、圆切线 学案（Word版含答案）.docx

圆与方程专题3-1 圆交线、圆切线（4套，6页，含答案）知识点：直线与圆相交：（1） 求弦长及弦长的应用问题，常用垂径定理及勾股定理，即一出现线圆相交，马上构造钻石三角形，如右图，知道其中两个量，求第三个量。 （2） 知道交线长度求直线方程：构造直角三角形，计算圆心到直线的距离d；直线过定点，设点斜式方程，代入点线距离公式，令其距离等于d，解出k即可。（3） 弦长公式：（暂作了解，无需掌握）（3）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. 典型例题1：1. 直线xy30被圆（x2）²（y2）²2截得的弦长等于（ 答案：D； ）A. B. C.2 D.2. 已知直线L：kxy3k0与圆M：x²y²8x2y90.（1）求证：直线L与圆M必相交； （2）当圆M截直线L所得弦长最小时，求k的值. （配方：(x4)²(y1)²8； 答案：直线yk(x3)过（3，0）；yx3；） 随堂练习1：1. 圆x²y²4截直线所得的弦长是（ 答案：A； ） A.2 B.1 C. D.2. 直线截圆(x1)²y²4得的劣弧所对的圆心角是（ 答案：C； ）A. B. C. D.3. 已知直线x2y30与圆(x2)²(y3)²9相交于E，F两点，圆心为点C，则CEF的面积等于_ 答案：2；解析圆心C(2，3)到直线的距离为d，又R3，|EF|24.SCEF|EF|·d2._4. 直线ykx1与圆x²y²2y0的位置关系是（ 答案：A；） A.相交B相切 C相离 D取决于k的值 （配方得：x²(y1)²1；）典型例题2：1. 若点P(1，1)为圆(x3)²y²9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( 答案：D；解析圆心C(3,0)，kPC，又点P是弦MN的中点，PCMN，kMNkPC1，kMN2，弦MN所在直线方程为y12(x1)，即2xy10.)A2xy30 Bx2y10 Cx2y30 D2xy102. 求过点P（6，4）且被圆x²y²20截得长为的弦所在的直线方程（ 答案：； ；） 3. 过点M(0，4)，且被圆(x1)²y²4截得的线段长为2的直线方程为_ 答案：x0或15x8y320；解析设直线方程为x0或kxy40当直线方程为x0时，弦长为2符合题意；当直线方程为kxy40时，d1，解得k，因此直线方程为15x8y320_随堂练习2：1. 设直线L截圆x²y²2y0所得弦AB的中点为(，)，则直线L的方程为_；|AB|_ 答案：xy20；解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xy2y10，xy2y20，两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)2(y1y2)0，kAB1.故L的方程为y1·(x)，即xy20.又圆心为(0,1)，半径r1，故|AB|._.2. 过点且被圆x²y²25截得弦长为8的直线的方程为 答案：x30或3x4y150； .3. 已知直线L：x2yk10被圆C：x²y²4所截得的弦长为4，则k是（ 答案：A； ） A1 B2 C 0 D2知识点3：圆切线：切线条数：点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无求切线方程的方法及注意点如定点，圆：，点P在圆外第一步：设切线L方程第二步：通过dr 得到k，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上千万不要漏了！如：过点P（1，1）作圆x²y²4x6y120的切线，求切线方程.答案：3x4y10和x1求切线长：利用基本图形，求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 典型例题3：1. 圆(xa)²(yb)²r²(r0)与两坐标轴都相切的条件是（ 答案：C； ）A、a²b²r² B、abr C、a²b²r² D、|a|r或 |b|r2. 过点P(1，6)且与圆(x3)²(y2)²4相切的切线长为 ；切线方程是 答案：4；x1，3x4y270； ；随堂练习3：1. 若直线3x4yk0与圆x²y²6x50相切，则k的值等于（ 答案：C； ）A、1 B、±10 C、1或19 D 1或19（配方：(x3)²y²2²） 2. 已知圆方程是(xa)²(yb)²r²，分别根据下列条件，写出a、b、r满足的条件：(1)若圆与y轴相切，则 .(2)若圆与两坐标轴都相切，则 答案：(1) .(2)； . 3. 自点A(1，4)作圆(x2)²(y3)²1的切线，则切线长为（ ），切线方程为： 答案：3； 。4. 过点P(2，3)引圆x²y²2x4y40的切线，其方程是( 答案：D；解析点P在圆外，故过P必有两条切线，选D.)Ax2 B12x5y90 C5x12y260 Dx2和12x5y90典型例题4：1. 由动点P向圆x²y²1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且APB60°，则动点P的轨迹方程为_ 答案：x2y24；_随堂练习4：1. 过直线xy20上点P作圆x²y²1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是_ 答案：(，)；解析本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，由|PO|2，由可得._2. 过原点O作圆x²y²6x8y200的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为_ 答案：4；_圆与方程专题3-2 圆交线、圆切线 1. 直线3x4y40被圆(x3)²y²9截得的弦长为（ 答案：C； ） (A) (B)4 (C) (D)2 2. 若P（2，1）为(x1)²y²25圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ 答案：A； ） A. xy30B. 2xy30 C. xy10 D. 2xy503. 设直线yx2a与圆C：x²y²2ay20相交于A，B两点，若，则圆C的面积为 答案：；解析：此题考察直线与圆的位置关系，点到直线的距离等公式；直线方程的一般式可以写作：，圆的标准方程为：，则圆心到直线的距离为：，利用勾股定理有：，解得，所以半径为，所以面积为 4. 某圆拱桥的示意图如下图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长(精确到0.01 m) 答案：1224；分析建系求点的坐标求圆的方程求A2P2的长解析如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(18,0)，(18,0)，(0,6)设圆拱所在的圆的方程是x2y2DxEyF0.因为A，B，P在此圆上，故有解得故圆拱所在的圆的方程是x2y248y3240.将点P2的横坐标x6代入上式，解得y2412.答：支柱A2P2的长约为1224.点评在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建立坐标系，利用坐标法解决建立适当的直角坐标系应遵循三点：若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知点位于坐标轴上建立适当的直角坐标系，会简化运算过程5. 过点(1，2)的直线L被圆x²y²2x2y10截得的弦长为，则直线L的斜率为_ 答案：1或 ；【解析】由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k，则直线L的方程为y2k.又圆的方程为221，圆心为，半径为1，所以圆心到直线的距离d，解得k1或._6. 已知P(x，y)|xy2，Q(x，y)|x²y²2，那么PQ为_ 答案：(1,1)；解析解方程组得xy1_7. 求过点P(1，5)的圆(x1)²(y2)²4的切线方程 答案：x1或5x12y550；解当斜率k存在时，设切线方程为y5k(x1)，即kxyk50由圆心到切线的距离等于半径得2，解得k，切线方程为5x12y550当斜率k不存在时，切线方程为x1，此时与圆正好相切综上，所求圆的切线方程为x1或5x12y5508. 过原点的直线与圆x²y²4x30相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ 答案：C；）A. B. C. D.（配方：(x2)²y²1；）9. 直线L与直线3x4y150垂直，与圆x²y²18x450相切，则直线L的方程是( 答案：C；设直线方程为4x3ym0，由直线与圆相切得m6或66)A4x3y60 B4x3y660C4x3y60或4x3y660 D4x3y150圆与方程专题3-3 圆交线、圆切线1. 圆x²y²4x4y60截直线xy50所得弦长等于( 答案：A；分别求出半径r及弦心距d(圆心到直线距离)再由弦长为2，求得)A B C1 D52. 设圆x²y²4x50的弦AB的中点P(3，1)，则直线AB的方程为 答案：； ；3. 已知圆x²y²x6ym0与直线x2y30相交于P、Q两点，O为原点，且OPOQ，求实数m的值 答案：m3；解析设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)由OPOQ，得kOPkOQ1，即·1，x1x2y1y20.又(x1，y1)、(x2，y2)是方程组的实数解，即x1，x2是方程5x210x4m270的两个根，x1x22，x1x2.P、Q是在直线x2y30上，y1y2(3x1)·(3x2)93(x1x2)x1x2将代入，得y1y2.将代入，解得m3.代入方程，检验>0成立，m3.4. 一辆卡车宽27米，要经过一个半径为45米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( 答案：C；可画示意图，如图所示，通过勾股定理解得：OD36(米) A.14米 B.30米 C.36米 D.45米5. 直线L经过点P(5，5)，且和圆C：x²y²25相交，截得的弦长为4，求L的方程 答案：x2y50或2xy50；解圆心到L的距离d，显然L存在斜率设L：y5k(x5)，即kxy55k0，d，k或2L的方程为x2y50或2xy506. 若直线(1a)xy10与圆x²y²2x0相切，则a的值为（ 答案：D； ） A.1，1 B.2，2 C.1 D.1 答案：x2或3x4y100； 解：显然为所求切线之一；另设而，或为所求。7. 求过点A(2，4)向圆x²y²4所引的切线方程；切线长度。8. 将圆x²y²1沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是_，若过点（3，0）的直线L和圆C相切，则直线L的斜率为_.（ 答案：； ）9. 已知A（4，0），B（2，0）以AB为直径的圆与y轴的负半轴交于C，则过C点的圆的切线方程为 答案：； .圆与方程专题3-4 圆交线、圆切线1. 设A，B为直线yx与圆x²y²1的两个交点，则|AB|等于( 答案：D；)A1 B. C. D22. 已知圆x²y²9的弦PQ的中点为M(1，2)，则弦PQ的长为_ 答案：4；_3. 圆的方程为x²y²6x8y0，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为 答案：；_ _4. 已知直线L过点P（1，1）， 并与直线L1：xy30和L2：2xy60分别交于点A、B，若线段AB被点P平分，求：（）直线L的方程；（）以O为圆心且被L截得的弦长为的圆的方程（ 答案：，；） 5. 一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( 答案：B；解析圆半径OA3.6，卡车宽1.6，AB0.8，弦心距OB3.5.) A1.4m B3.5m C3.6m D2.0m6. 将直线2xy0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²y²2x4y0 相切，则实数的值为（ 答案：A； ）（A）3或7 （B）2或8 （C）0或10 （D）1或117. 过点P(1，1)作圆x²y²4x6y120的切线，求切线方程.（ 答案：和； ）8. 已知圆x²y²1，则y轴上截距为的圆的切线方程是（ 答案：C； ）切线长等于_；A. B.C.或 D.或9. 与圆x²y²4x20相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有( 答案：C；需画图探索，注意直线经过原点的情形设ykx或1，由dr求得k±1，a4)A1条 B2条 C3条 D4条