9.2.3　向量的数量积 讲义（word版含解析）.doc

92.3向量的数量积学习指导核心素养1.理解平面向量数量积的含义并会计算2.理解向量a在向量b上的投影向量的概念3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用1.数学抽象、数学运算：向量数量积的相关概念2.数学运算、逻辑推理：向量数量积的运算探究点1平面向量的数量积运算 (1)已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60°，求(a2b)·(a3b).(2)如图，在ABCD中，|4，|3，DAB60°，求：·；·.【解】(1)(a2b)·(a3b)a·a5a·b6b·b|a|25a·b6|b|2|a|25|a|b|cos 60°6|b|2625×6×4×cos 60°6×42192.(2)因为，且方向相同，所以与的夹角是0°.所以·|·cos 0°3×3×19.因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°.所以·|·cos 120°4×3×6.变问法若本例(2)的条件不变，求·.解：因为，所以·()·()229167.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算 1已知菱形ABCD的边长为a，ABC60°，则·_解析：··()·()2·a2a2 cos 60°a2.答案：a22已知|a|10，|b|4，a与b的夹角为120°.求：(1)a·b；(2)(a2b)·(ab)；(3)(ab)2.解：(1)a·b|a|b|cos 120°10×4×20.(2)(a2b)·(ab)a2a·b2a·b2b2a2a·b2b2|a|2|a|b|cos 120°2|b|210010×4×2×4288.(3)(ab)2a22a·bb2|a|22|a|b|cos 120°|b|21002×10×4×421004016156.探究点2向量模与夹角的有关计算 (1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|2，|b|4，则|a4b|()A10B2C10D4(2)(2020·高考全国卷)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，a·b6，则cos a，ab()ABCD【解析】(1)|a4b| 2.(2)由题意，得a·(ab)a2a·b25619，|ab|7，所以cos a，ab，故选D【答案】(1)B(2)D(1)求向量的模的常见思路及方法求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方a·aa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(2)求向量a与b夹角的思路求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos ，最后借助 0，求出的值在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos 的值 1已知向量a与b的夹角为120°，且|a|4，|b|2，则|ab|_，|3a4b|_解析：由已知得a·b|a|b|cos 4×2×cos 120°4，a2|a|216，b2|b|24.因为|ab|2(ab)2a22a·bb2162×(4)412，所以|ab|2.因为|3a4b|2(3a4b)29a224a·b16b29×1624×(4)16×4304，所以|3a4b|4.答案：242已知向量a，b满足|a|b|1，|ab|1，则|ab|_解析：方法一：由|ab|1得a22a·bb21，所以|a|22a·b|b|21.所以2a·b1.所以|ab|.方法二：如图，因为|a|b|ab|1，所以AOB是正三角形，AOB60°.所以a·b|a|b|cos 60°1×1×.所以|ab|2a22a·bb212×13.所以|ab|.答案：探究点3与垂直有关的计算角度一证明两向量垂直 已知a，b是非零向量，当atb(tR)的模取最小值时，求证：b(atb).【证明】因为|atb|，所以当t时，|atb|有最小值此时b·(atb)b·atb2a·b·|b|2a·ba·b0.所以b(atb).角度二利用夹角和垂直求参数 (1)已知ab，|a|2，|b|3且向量3a2b与kab互相垂直，则k的值为()ABC±D1(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_【解析】(1)因为3a2b与kab互相垂直，所以(3a2b)·(kab)0.所以3ka2(2k3)a·b2b20.因为ab，所以a·b0，又|a|2，|b|3，所以12k180，解得k.(2)由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26a·b，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos ，即23400，解得8或5.【答案】(1)B(2)8或5与垂直有关的计算主要是利用aba·b0这个公式，要熟练掌握这个公式 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，cta(1t)b，若b·c0，则t_解析：由b·c0可得，ta·b(1t)20，所以tcos 60°(1t)·20，即10，所以t2.答案：21已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且a·b2，则a与b的夹角为()ABCD解析：选C由题意，知a·b|a|b|cos 4cos 2，所以cos .又0，所以.2向量a，b满足|a|1，|ab|，a与b的夹角为60°，则|b|()ABCD解析：选B因为|ab|，所以a22a·bb2，所以|a|22|a|b|cos 60°|b|2，所以12×|b|×|b|2，所以|b|.3(2020·新高考卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则·的取值范围是()A(2，6) B(6，2)C(2，4) D(4，6)解析：选A·|·|·cos PAB2|cos PAB，又|cos PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小又·2×2×cos 30°6，·2×2×cos 120°2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·(2，6)，故选A4已知|a|3，|b|5，a·b12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为_解析：设a与b的夹角为，则cos ，所以a在b上的投影向量为|a|cos ·e3×ee.答案：e5已知|a|1，|b|.(1)若ab，求a·b；(2)若a，b的夹角为60°，求|ab|；(3)若ab与a垂直，求a与b的夹角解：设向量a与b的夹角为.(1)当a，b同向，即0°时，a·b；当a，b反向，即180°时，a·b.(2)|ab|2|a|22a·b|b|23，|ab|.(3)由(ab)·a0，得a2a·b，cos ，又0，180°，故45°.A基础达标1已知单位向量a，b，则(2ab)·(2ab)的值为()ABC3D5解析：选C由题意得(2ab)·(2ab)4a2b2413.2已知向量a，b的夹角为60°，a·b，3，则()AB1 C3D2解析：选Ba·b|a|b|cos 60°，又|b|3，所以|a|1.故选B3已知平面向量a，b满足a·(ab)3且|a|2，|b|1，则向量a与b的夹角为()AB CD解析：选C因为a·(ab)a2a·b42cos a，b3，所以cos a，b.又因为a，b0，所以a，b.4已知非零向量m，n满足43，cos m，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A4B4 CD解析：选B因为n(tmn)，所以n·(tmn)0，所以tn·mn20，则t|n|m|cos m，n|n|20，因为4|m|3|n|，cos m，n，所以t|n|·|n|·|n|20，解得t4.故选B5P是ABC所在平面内一点，若···，则P是ABC的()A外心B内心 C重心D垂心解析：选D由··得，·()0，即·0，所以PBCA.同理，PABC，PCAB，所以P是ABC的垂心6(2021·铜仁期末)已知向量e1，e2的模分别为1，2，e1，e2的夹角为，则向量(e2e1)·e2的值为_解析：由题意可知，(e2e1)·e2ee1·e2|e2|2|e1|e2|cos 221×2×cos 3.答案：37已知在ABC中，ABAC4，·8，则ABC的形状是_解析：因为·|cos BAC，即84×4cos BAC，于是cos BAC，所以BAC60°.又ABAC，故ABC是等边三角形答案：等边三角形8已知平面向量a，b 满足·b2，且1，2，则_解析：因为|a|1，|b|2，·ba·bb2a·b222，所以a·b2，所以|ab|22a22a·bb2122×221，因此，|ab|1.答案：19已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)·(ab)，且a·b.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解：(1)因为(ab)·(ab)，所以a2b2，即|a|2|b|2，又|a|1，所以|b|.设向量a，b的夹角为，因为a·b，所以|a|b|cos ，所以cos ，因为0°180°，所以45°，所以向量a，b的夹角为45°.(2)因为|ab|2(ab)2|a|22a·b|b|2，所以|ab|.10已知|a|2|b|2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为e.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)·b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解：(1)由题意知|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影向量为|a|cos ee，所以cos ，所以.(2)由题意易知a·b|a|b|cos 1，所以(a2b)·ba·b2b2123.(3)因为ab与a3b互相垂直，所以(ab)·(a3b)a23a·bb·a3b24313740.所以.B能力提升11若|ab|ab|2|a|，则向量ab与b的夹角为()AB CD解析：选D由|ab|ab|可得a·b0，由|ab|2|a|可得3a2b2，所以|b|a|，设向量ab与b的夹角为，则cos ，又0，所以.12(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1，则下列结论正确的有()A·BC··D在向量上的投影向量的模为解析：选AB题图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|1，对于A：·1×1×cos ，故正确对于B：，故正确对于C：因为|，|，但对应向量的夹角不相等，所以不成立故错误对于D：在向量上的投影向量的模为|cos |，故错误故选AB13在ABC中，BAC120°，AB2，AC1，D是边BC上一点，2，则·_解析：由2，所以，故·()··()·()·22|cos 120°|2|2×2×1××1×22.答案：14在ABC中，满足，M是BC中点(1)若，求向量2与向量2的夹角的余弦值；(2)若O是线段AM上任意一点，且，求··的最小值解：(1)设向量2与向量2的夹角为，则cos ，令|a, cos .(2)因为|，所以|1，设|x，则|1x.而2，所以·2· 2|·|cos 2x22x22.当且仅当x时取得最小值， ··的最小值是.C拓展探究15在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·6，求与夹角的余弦值解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以·0.由2，得，.···2·236×8118.(2)由题意，所以·()·()2·236·1818·.又·6，所以18·6.所以·36.设与的夹角为，又·|·|cos 9×6×cos 54cos ，所以54cos 36，即cos .所以与夹角的余弦值为.