考前解析几何题型总结 讲义（PDF版含答案）.pdf

第1页，共14页 解析几何专题解析几何专题 题题型型一一:直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系问题问题 点圆位置关系点圆位置关系 点(0,0)与圆:()2+()2=2的位置关系：圆外 圆上 圆内 几何 =0 2(0)2+(0)2=2(0)2+(0)2 =0 代数 0 圆圆位置关系圆圆位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 几何 1+2=1+2|1 2|1+2=|1 2|0 0)则圆的半径为，从而圆的标准方程为()2+()2=2 因为圆过点(2,1)，所以(2 )2+(1 )2=2，即2 6+5=0，解得=1或=5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)当圆心为(1,1)时，圆心到直线2 3=0的距离为1=|2113|5=255，第3页，共14页 当圆心为(5,5)时，圆心到直线2 3=0的距离为2=|2553|5=255 综上，圆心到直线2 3=0的距离为255故选B 题型题型三三:直线与圆的直线与圆的最值问题最值问题 1直线与圆上的点的距离的最值问题 设为圆C的半径,为圆心C到直线的距离 如图,当直线与圆C相交时,圆C上的点到直线的最小距离为0,最大距离为:=+如图,当直线与圆C相切时,圆C上的点到直线的最小距离为0,最大距离为:=2 如图,当直线与圆C相离时,圆C上的点到直线的最小距离为=,最大距离为:=+2过圆内一点弦的最值问题 过圆内一点的最短弦为中点弦（即以此点为中点的弦）;最长弦为过此点的直径 3利用几何意义求解最值问题 涉及与圆有关的最值问题,可借助图形性质,考查所给式子的几何意义,利用数形结合求解,一般地:第4页，共14页(1)形如的最值问题,可转化为动直线的斜率问题；(2)形如()2+()2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方问题 例例3 3 在平面直角坐标系中，圆的方程为2+2 8+15=0，若直线=2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 【解析】解：可转化为圆的圆心到直线=2的距离不大于2圆的标准方程为(4)2+2=1，圆心为(4,0)，则|42|2+1 2，整理，得32 4 0，解得0 43故的最大值为43 题型题型四四:直线与圆的直线与圆的弦长弦长问题问题 求解圆弦长的三种方法求解圆弦长的三种方法 关系法 根据半径,弦心距,弦长构成的直角三角形,构成三者间的关系 22+24(其中为弦长,为圆的半径,为圆心到直线的距离)公式法 根据公式1+2|1 2|求解(其中为弦长,1,2为直线与 圆相交所得交点的横坐标,为直线的斜率)距离法 联立直线与圆的方程,解方程组求出两交点坐标,用两点间距离公式 例例4 4 已知直线：+3 3=0与圆2+2=12交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若|=23，则|=【解析】解：由题意知，|=23，圆心到直线的距离=3，|33|2+1=3，=33，直线的倾斜角为30 过，分别作的垂线与轴交于，两点，|=2332=4故答案为：4 题型题型五五:椭圆的的离心率问题椭圆的的离心率问题 第5页，共14页(1)(1)离心率的定义离心率的定义:把椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，用表示，即=因为 0，所以椭圆的离心率的取值范围为(0,1)(2)(2)离心率的几何意义离心率的几何意义 离心率决定了椭圆的形状：趋近于 1，椭圆越扁；趋近于 0，椭圆越圆(3)(3)离心率的其他表示方法离心率的其他表示方法 =22=22+2=()21+()2 =22=222=1 22 例例 5 5 已知1，2是椭圆：22+22=1(0)的左、右焦点，是的左顶点，点在过点且斜率为36的直线上，12为等腰三角形，12=120，则的离心率为（）A.23 B.12 C.13 D.14【解析】解：由题意可知：(,0)，1(,0)，2(,0)，直线的方程为：=36(+)，由12=120，|2|=|12|=2，得(2,3)，代入直线：3=36(2+)，整理得：=4，椭圆的离心率=14 故选：D 题型题型六六:双曲线的离心率问题双曲线的离心率问题 第6页，共14页(1)(1)离心率的定义离心率的定义:把双曲线的焦距与实轴长的比称为离心率，用表示，即=因为 0，所以双曲线的离心率的取值范围为(1,+)(2)(2)离心率的几何意义离心率的几何意义 离心率决定了双曲线的形状：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔(3)(3)离心率的其他表示方法离心率的其他表示方法 =22=222=11()2 =22=2+22=1+22 (4 4)离心率的一般求解方法离心率的一般求解方法 直接法：直接法：求出椭圆或双曲线的,，代入=构造齐次关系：构造齐次关系：从题目已知条件中，找到,的齐次关系，通过代数变换转化为=，从而求出离心率的值或范围 例例 6 6 已知双曲线：2222=1(0,0)的右焦点为，过点 且斜率为 3 的直线交于，两点若=4，则的离心率为（）A.65 B.75 C.85 D.95【解析】方法一:注意焦半径之间的关系，借助第二定义和倾斜角求解 设点1，1 分别为点，在准线上的射影，则有|=|1|，|=|1|1|1|=1(|)，借助倾斜角3与弦长和它们的关系得，|cos3=|1|1|=1(|)，|=4|，=65故选A 第7页，共14页 方法二:由题意得 22 22=22=3()2=2+2(2 42)2+62 422+4=0，设(,)，(,0)，=4，(54,4)又点，的横坐标为的两根，由根与系数的关系可得+54=6242254=4422242 =65故选A 题型题型七七:第二定义的应用第二定义的应用问题问题 1、椭圆的焦半径公式(以22+22=1(0)为例)|1|=+0,|2|=0 最小值为 ,最大值为+2、双曲线的焦半径公式（以2222=1(0,0)为例）|1|=|0+|,|2|=|0|同侧最小值为 ,异侧最小值为+.3、抛物线的焦半径与焦点弦公式（以2=2(0)为例）是抛物线的焦点弦，为抛物线的焦点，记直线的倾斜角为，(1,1)、(2,2)，则有以下结论：(1)1)坐标形式下的焦半径与焦点弦公式：坐标形式下的焦半径与焦点弦公式：焦半径公式:若(0,0)为抛物线上任意一点，则|=0+2.焦点弦公式:|=1+2+；(2)(2)倾斜角形式下的焦半径与焦点弦公式：倾斜角形式下的焦半径与焦点弦公式：焦半径公式:=1cos,=1+cos(其中在轴上方，在轴下方)第8页，共14页 焦点弦公式:|=2sin2 例例 7 7 以抛物线的顶点为圆心的圆交于、两点，交的准线于、两点已知|=42，|=25，则的焦点到准线的距离为（）A.2 B.4 C.6 D.8【解析】方法一:以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线的方程为2=2(0)，圆的方程为2+2=2，题目条件翻译如图：设(0,22)，(2,5)，点(0,22)在抛物线2=2上，8=20，点(2,5)在圆2+2=2上，5+(2)2=2，点(0,22)在圆2+2=2上，02+8=2，联立解得：=4，所以的焦点到准线的距离为=4故选B 方法二:设抛物线的方程为2=2(0)，如图：|=42，|=22，|=25，|=5，|=2，第9页，共14页 =(22)22=4，|=|，162+8=24+5，解得=4所以的焦点到准线的距离为：4故选B 题型题型八八:第三定义应用第三定义应用问题问题 1、已知点为椭圆22+22=1上不是长轴端点的任意一点,1,2分别为椭圆的长轴顶点.则有1 2=22 2、已知点为双曲线2222=1上不是长轴端点的任意一点,1,2分别为双曲线的实轴顶点.则有1 2=22 例例 8 8 已知椭圆的标准方程为24+23=1，1，2分别为椭圆的左、右焦点，为原点，是椭圆在第一象限上的点，则|1|2|的取值范围是()A.(0,12)B.(0,33)C.(0,1)D.(0,233)【解析】解：设(0,0)(0 0 2)，=12，由焦半径公式得|1|=+0，|2|=0，|=02+02=1402+3|1|2|=201402+3=01402+3=114+302 0 0 1，|1|2|的取值范围为(0,1)故选：C 题型题型九九:定点、定值定点、定值问题问题 定点问题定点问题:直接求解直线(曲线)方程,然后“提取参量,合并变量”求解定点 第10页，共14页 设直线方程=+,然后利用题设条件求解与的关系,进而求解定点 定值问题定值问题:从特殊情况入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量从而得到定值 例例 9 9 已知、分别是双曲线：2423=1的左、右顶点，动点在上且在第一象限若、的斜率分别为1、2，则以下总为定值的是（）A.1+2 B.|1 2|C.1 2 D.12+22【解析】、分别是双曲线：2423=1的左、右顶点，(2,0)、(2,0)设(0,0)，则1 2=00+2002=02024，024023=1，02=34(02 4)，1 2=02024=34(024)024=34，即1 2为定值 题型十题型十:中点弦中点弦问题问题 1.1.中点弦问题的基本解法及技巧中点弦问题的基本解法及技巧 与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。解椭圆的中点弦问题的一般方法是：（1 1）判别式法（韦达定理）：）判别式法（韦达定理）：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解。（2 2）点差法：）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为A x y11(,)、B xy22(,)，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。椭圆中的点差公式椭圆中的点差公式 第11页，共14页 设椭圆方程为22+22=1(0),弦的斜率为,且弦的中点为(0,0).点差公式:当0不为零时,有00=22;也可写为斜率积的形式:=22.双曲线中的点差公式双曲线中的点差公式 设双曲线方程为2222=1(0,0),弦的斜率为,且弦的中点为(0,0).点差公式:当0不为零时,有00=22;也可写为斜率积的形式:=22.抛物线中的点差公式抛物线中的点差公式 设抛物线方程为2=2(0),弦的斜率为,且弦的中点为(0,0).点差公式:0=.例例 1 10 0 已知直线=(+2)(0)与抛物线：2=8相交于、两点，为的焦点若|=2|，则=()A.13 B.23 C.23 D.223【解析】解：如图，过点、分别作准线的垂线，垂足分别为、根据抛物线的定义，有|=|，|=|，由题意得，直线 =(+2)过定点(2,0)，连接|=2|，|=2|，又/，|=|，又|=|，|=2|，|=|又=2，=1，=22，即(1,22)，=2201(2)=223 第12页，共14页 题型十题型十一一:双弦问题双弦问题 题中出现两条相关弦（过同一点、斜率互为相反数、垂直等关系），对其中一条弦进行相关计算后，可直接利用的关系得到另一条弦的相关结论 例例 1 11 1 若过椭圆216+24=1内一点(3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为()A.3+4 13=0 B.3 4 5=0 C.4+3 15=0 D.4 3 9=0【解析】解：设弦的两端点为(1,1)，(2,2)，由为中点得1+2=61+2=2，在椭圆上有1216+124=12216+224=1，两式相减得122216+12224=0，可得3(12)8+122=0，可得2121=34，则=34，且过点(3,1)，有 1=34(3)，整理得3+4 13=0故选：A 题型题型十二十二:坐标设元坐标设元问题问题 1圆锥曲线问题中如果没有出现直线与圆锥曲线相交于两点的条件，有时可以不设直线方程，直接设点的坐标表示其他条件，解题过程中需要注意利用圆锥曲线上点满足圆锥曲线方程这一条件 2如果题中有直线与圆锥曲线交于两点的条件，但其他条件并不是1,2的对称式，一般也不太适合利用韦达定理解题，此时也可考虑设点的方法 3与弦中点相关的问题，可以利用点差法处理 4弦的定比分点相关问题，可以利用设点法处理例如是椭圆22+22=1 第13页，共14页 的弦，在线段上满足=2,可以设(1,1)、(2,2)、(0,0)，利用122+122=1,222+222=1,0=1+223,0=1+223解决相关问题 例例 1212 过椭圆22+22=1(0)上的动点作圆2+2=22的两条切线，切点分别为和，直线与轴和轴的交点分别为和，则 面积的最小值是 【解析】设(0,0)，(1,1)，(2,2)，则直线和的方程分别为1+1=22，2+2=22因为点在和上，所以有01+01=22，02+02=22，则，两点的坐标满足方程0+0=22，所以直线的方程为0+0=22，可得(220,0)和(0,220)，所以=12|=48|00|，因为202+202=22，202+202 2|00|，所以|00|2，所以=48|00|34，当且仅当202=202=222时取“=”，故 面积的最小值为34 题型题型十三十三:点点差设元差设元问题问题 点差法的应用技巧点差法的应用技巧 若设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为(1,1)、(2,2),将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量,我们称这种代点作差的方法为“点差法”.例例 1 13 3 已知抛物线2=4，过焦点作直线与抛物线交于点，(点在轴下方)，点1与点关于轴对称，若直线的斜率为1，则直线1的斜率为()A.33 B.3 C.22 D.2【解析】解：抛物线2=4的焦点为(1,0)，设(1,1)，(2,2)，1(1,1)则可设直线的方程为=1，联立方程=12=4，可得2 6+1=0，第14页，共14页 则有1+2=6，12=1，直线1的斜率=2(1)21=2+121=1+22(1+2)2412=22，故选 C 题型题型十四十四:中垂线中垂线问题问题 1 1、弦的中垂线（或对称轴）问题、弦的中垂线（或对称轴）问题 此类问题属于弦中点问题的拓展,除了点差公式,解题时要注意对称轴条件的使用,一般来说,对称轴蕴含了两个条件:弦与对称轴垂直斜率乘积为1 中点在对称轴上中点坐标满足对称轴方程 2 2、等腰三角形问题、等腰三角形问题 当题干中出现|=|型的条件时,往往利用三线合一的性质,将之转化为“点在弦的对称轴上”.例例 1414 如果椭圆236+29=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的方程是 【解析】解:设弦的两个端点(1,1)、(2,2)，椭圆236+29=1，1236+129=12236+229=1，(1+2)(12)36+(1+2)(12)9=0，点(4,2)平分弦 1+2=81+2=4，8(12)36+4(12)9=0，解得=1212=12 弦所在的直线方程是:2=12(4)，即+2 8=0