第10章　三角恒等变换章末复习提升课 学案.doc

章末复习提升课主题1三角函数式的求值 已知，为锐角，tan ，cos ().(1)求cos 2的值；(2)求tan ()的值【解】(1)因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2.所以cos22cos21.(2)因为，为锐角，所以(0，).又因为cos ()，所以sin ().因此tan()2.因为tan ，所以tan 2.所以tan ()tan 2().三角函数式求值的三种常见类型(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角当然在这个过程中要注意角的范围(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围 已知sin cos ，(0，)，sin ()，(，).(1)求sin 2和tan 2的值；(2)求cos (2)的值解：(1)由题意得(sin cos )2，即1sin 2，所以sin 2.又2(0，)，所以cos 2，所以tan2.(2)因为(，)，(0，)，所以cos ()，于是sin 2()2sin ()cos ().又sin 2()cos 2，所以cos 2.又2(，)，所以sin 2.又cos2，(0，)，所以cos ，sin ，所以cos (2)cos cos 2sin sin 2×()×.主题2三角函数式的化简与证明 化简：.【解】原式.三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路：(1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系(2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来(3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一 1化简_解析：.答案：2求证：··tan .证明：左边··tan 右边所以等式成立主题3三角函数公式的综合应用 已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间【解】(1)由sin x0得xk(kZ)，故f(x)的定义域为xR|xk，kZ因为f(x)(sin xcos x)2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1sin 1，所以f(x)的最小正周期T.(2)函数ysin x的单调递减区间为(kZ).由2k2x2k，xk(kZ)，得kxk(kZ).所以f(x)的单调递减区间为(kZ).解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用 已知函数f(x)cos ·cos sin x cos x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)在0，上的单调递减区间解：(1)因为f(x)cos cos sin 2xsin 2xcos2xsin2xsin2xsin 2x(cos 2xsin 2x)cos ，所以函数f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递减区间为，kZ.又因为x0，则f(x)在0，上的单调递减区间为，.1已知tan ，tan 是一元二次方程x22x50的两实根，则tan ()()ABCD解析：选D因为tan ，tan 是一元二次方程x22x50的两实根，故可得tan tan 2，tan tan 5，故可得tan ().故选D2已知sin cos ，则sin 2的值为()AB CD解析：选C因为sin cos ，两边同时平方得sin22sincos cos2，所以1sin2，所以sin 2，故选C3函数f(x)2sin ·sin 的最大值是()AB CD解析：选Af(x)2sin ·sin 2×·cos cos cos 1，即f(x)的最大值为.故选A4计算：的结果为()A1B2 C1D2解析：选B2.故选B5已知，cos ，cos .(1)求sin 2的值；(2)求cos ()的值解：(1)sin 2cos cos 12cos212×.(2)由于，所以，所以sin，sin，所以cos()cos cos cos sin sin ××.6已知函数f(x)cos x sin cos 2x，xR.(1)求f(x)单调递增区间；(2)求f(x)在的最大值和最小值解：(1)f(x)cos x·cos 2xcos x sin xcos2xcos2xsin 2x(cos 2x1)cos 2xsin 2xcos 2xsin .由2k2x2kkxk，所以f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)因为x2x，所以sin ，所以f(x)max，f(x)min.A基础达标1sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°()ABCD解析：选D原式sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin 30°，故选D2在ABC中，若sin B2sin A cos C，那么ABC一定是()A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形解析：选B因为sin B2sin A cos C，所以sin (AC)2sin A cos C，所以sin A cos Ccos A sin C2sin A cos C，所以sin A cos Ccos A sin C0，所以sin (AC)0，所以AC0，所以AC.所以三角形是等腰三角形故选B3已知角，均为锐角，且cos ，tan ()，则tan ()AB CD3解析：选D因为角，均为锐角，且cos ，所以sin ，tan，又tan ()，所以tan 3，故选D4函数f(x)sin xcos x的最大值是_解析：f(x)sin xcos x2sin ，故函数的最大值为2.答案：25(tan 10°)sin 40°_解析：(tan 10°)sin 40°()·sin 40°×sin 40°2××sin 40°2××sin 40°×sin 40°1.答案：16若0<<，0<<，且tan ，tan ，则的值为_解析：由tan ，tan 得tan ()1，因为0<<，0<<，所以0<<，则.答案：7已知tan 2，其中.(1)求的值；(2)求cos的值解：(1)由于tan 2，其中，所以.(2)由于tan2，其中，可得cos ，sin，coscos sin ××.8已知A，B，C是ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x28x10的两个实根，求tan C解：因为tan A，tan B是方程3x28x10的两个实根，所以tan Atan B，tan A tan B，所以tan (AB)2.又ABC，所以tan Ctan (AB)tan (AB)2.9已知，且sin .(1)求tan 的值；(2)求的值解：(1)因为，且sin ，所以cos .所以tan.所以tan 7.(2)由(1)知，sin 22sin cos ，1cos 22cos2.所以.B能力提升10(多选)已知sin ，且cos >0，则()Atan <0Btan2>Csin2>cos2Dsin2>0解析：选AB因为sin ，且cos >0，所以cos ，tan ，A正确；tan2>，B正确；sin2，cos2，sin2<cos2，C不正确；sin22sin ·cos <0，D不正确；故选AB11(多选)(2021·新高考卷)已知O为坐标原点，点P1(cos ，sin )，P2(cos ，sin )，P3(cos ()，sin ()，A(1，0)，则()A|OP1|OP2|B|AP1|AP2|C·3OP1·OP2D·OP1OP2·OP3解析：选AC由题可知，|OP1|1，|OP2|1，所以|OP1|OP2|，故A正确；取，则P1，取，则P2，则|AP1|AP2|，故B错误；因为·OP3cos ()，OP1·OP2cos cos sin sin cos ()，所以·OP3OP1·OP2，故C正确；因为·OP1cos ，OP2·OP3cos cos ()sin sin ()cos (2)，取，则·OP1，OP2·OP3cos ，所以·OP1OP2·OP3，故D错误故选AC12求值：_解析：tan 60°.答案：C拓展探究13化简：(0<<)_解析：，因为0<<，所以0<<，所以cos >0，则cos .答案：cos 14设函数f(x)sin x cos xcos2x，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若x，求函数f(x)的最值解：(1)因为f(x)sinx cos xcos2xsin2xsin 1，xR.所以T.(2)因为x，所以2x，所以sin ，所以函数f(x)maxf0，f(x)minf(0)，所以函数f(x)在区间上的最大值为0，最小值为.