第11章 解三角形章末复习提升课学案.doc
章末复习提升课主题1利用正、余弦定理解三角形(2020·高考江苏卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a3，c，B45°.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos ADC，求tan DAC 的值【解】(1)在ABC中，因为a3，c，B45°， 由余弦定理b2a2c22ac cos B，得b29 22×3×cos 45°5，所以b.在ABC中，由正弦定理，得，所以sin C.(2)在ADC中，因为cos ADC，所以ADC为钝角，而ADCCCAD 180°，所以C为锐角故cos C，则tan C.因为cos ADC，所以sin ADC，tanADC，从而tan DACtan (180°ADCC)tan (ADCC).解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. 1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()ABCD 解析：选C根据题意及三角形的面积公式知ab sin C，所以sin Ccos C，所以在ABC中，C.2在ABC中，已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A30°，B120°，b5，则c_解析：因为A30°，B120°，所以C180°(AB)30°，由正弦定理得，c.答案：3已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积解：(1)因为mn，所以a sin Bb cos A0，由正弦定理，得 sin A sin Bsin B cos A0.又sin B0，从而tan A，由于0<A<，所以A.(2)方法一：由余弦定理a2b2c22bc cos A，a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因为c>0，所以c3.故ABC的面积为bc sin A.方法二：由正弦定理，得，从而sin B.又由a>b，知A>B，所以cos B.故sin Csin (AB)sin (B)sin B cos cos B sin .所以ABC的面积为ab sin C.主题2判断三角形的形状 在ABC中，若已知b2sin2Cc2sin2B2bc cosB·cos C，试判断三角形的形状【解】由正弦定理的推论，得2R，则已知条件转化为4R2sin2B sin2C4R2sin2C sin2B8R2sinB sin C cos B cos C因为sin B sin C0，所以sin B sin Ccos B cos C，所以cos (BC)0.因为0°<BC<180°，所以BC90°，所以A90°，所以ABC为直角三角形判定三角形形状的两种途径(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a2R sin A，a2b2c22ab cos C等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin Asin BAB，sin (AB)0AB，sin 2Asin 2BAB或AB等(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A，cos A等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断 在ABC中，若lg sin Alg cos Blg sin Clg 2，则该三角形的形状是()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析：选A因为lg sin Alg cos Blg sin Clg 2，所以2，由正弦定理可得，所以.所以cos B.所以cos B.整理得c2b2，cb.所以ABC的形状是等腰三角形，故选A主题3正、余弦定理的实际应用 已知海岛A周围8 n mile内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20 n mile后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【解】如图所示，在ABC中，依题意得BC20 n mile，ABC90°75°15°，BAC60°ABC45°.由正弦定理，得，所以AC10()(n mile).过点A作ADBC.故A到航线的距离为ADAC sin 60°10()×(155)(n mile).因为155>8，所以货轮无触礁危险正、余弦定理在实际应用中应注意的问题(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位 1高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水如图所示，B，E，F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为30°，60°，45°，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC，DE，EF三段线段的长度分别为3，1，2.(1)求出线段AE的长度；(2)求出隧道CD的长度解：(1)由已知可得EF2，F45°，EAF60°45°15°，在AEF中，由正弦定理得，即，解得AE2.(2)由已知可得BAE180°30°60°90°，在RtABE 中，BE2AE4，所以隧道长度CDBEBCDE4.2.如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10 n mile/h的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛(1)求A，C两岛之间的直线距离；(2)求BAC的正弦值解：(1)在ABC中，由已知得AB10×550，BC10×330，ABC180°75°15°120°.根据余弦定理，得AC25023022×50×30cos 120°4 900，所以AC70.故A，C两岛之间的直线距离是70 n mile.(2)在ABC中，由正弦定理，得，所以sin BAC.故BAC的正弦值是.主题4正、余弦定理与三角函数的综合应用 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值【解】(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为a<c，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1，所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B××.正、余弦定理与三角函数综合应用的求解策略(1)首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的(2)利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用，难度较小，易于化简 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)求cos Acos C的最大值解：(1)由余弦定理及题设，得cos B.又因为0<B<，所以B.(2)由(1)知AC，则cos Acos Ccos Acos cos Acos Asin Acos Asin Acos .因为0<A<，所以当A时，cos Acos C取得最大值1.1在ABC中，B45°，C60°，c1，则最短边长为()ABCD解析：选BA180°(60°45°)75°，故最短边为b，由正弦定理可得，即b，故选B2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22B1C22D1解析：选B根据正弦定理，解得c2，A，且sin ，所以SABCbc sin A1.3在ABC中，已知sin2Asin2Bsin2C，且sinA2sin B cos C，则ABC的形状是()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析：选D由sin2Asin2Bsin2C及正弦定理可知a2b2c2，所以A为直角；而由sinA2sin B cos C，可得sin (BC)2sin B cos C, 整理得sin B cos Ccos B sin C，即sin (BC)0，故BC.综合上述，BC，A.即ABC为等腰直角三角形4在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边若2a sin Bb，bc5，bc6，则a_解析：因为2a sin Bb，所以2sin A sin Bsin B所以sin A.因为ABC为锐角三角形，所以cos A.因为bc6，bc5，所以b2，c3或b3，c2.所以a2b2c22bc cos A22322×6×7.所以a.答案：5在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cos A的值；(2)求c的值解：(1)因为a3，b2，B2A，所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故cos A.(2)由(1)知cos A，所以sin A.又因为B2A，所以cosB2cos2A1.所以sinB.在ABC中，sinCsin (AB)sin A cos Bcos A sin B.所以c5.6设ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos B，b2.(1)当A时，求a的值； (2)若ABC的面积为3，求ac的值解：(1)因为cos B>0，所以B，所以sin B.由正弦定理，得，解得a.(2)由ABC的面积Sac sin B，得ac×3，得ac10.由余弦定理b2a2c22ac cos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220，所以(ac)22ac20，即(ac)240，所以ac2.A基础达标1在ABC中，B45°，C60°，c1，则最短边长为()ABCD解析：选BA180°(60°45°)75°，故最短边为b，由正弦定理可得，即b，故选B2若三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x27x60的根，则该三角形的面积是()A6BC8D10解析：选A解方程5x27x60，得x或x2(舍去).设三角形边长为3，5的两边的夹角为，则cos ，sin ，故该三角形的面积S×3×5×6.3(多选)若ABC的面积为，且b2，c，则A的值为()A30°B60°C150°D120°解析：选BD由SABCbc sin A，得sin A，sin A，由0°<A<180°，知A60°或A120°.4在ABC中，已知sin2Asin2Bsin2C，且sinA2sin B cos C，则ABC的形状是()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析：选D由sin2Asin2Bsin2C及正弦定理可知a2b2c2A为直角；而由sinA2sin B cos C，可得sin (BC)2sin B cos C, 整理得sin B cos Ccos B sin C，即sin (BC)0，故BC.综合上述，BC，A.即ABC为等腰直角三角形5飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的距离为()A5 000米B5 000米C4 000米D4 000米解析：选B如图，在ABC中，AB10 000米，A30°，C75°30°45°.根据正弦定理得，BC5 000 (米).6设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2，cos C，3sin A2sin B，则c_解析：因为3sin A2sin B，所以3a2b.又a2，所以b3.由余弦定理可知c2a2b22ab cos C，所以c222322×2×3×16，所以c4.答案：47在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边若2a sin Bb，bc5，bc6，则a_解析：因为2a sin Bb，所以2sin A sin Bsin B因为0<B<，所以sin B0，所以sin A，因为ABC为锐角三角形，所以cos A，因为bc6，bc5，所以b2，c3或b3，c2.所以a2b2c22bc cos A22322×6×7，所以a.答案：8在ABC中，已知A60°，ABAC85，面积为10，则其周长为_解析：设AB8k，AC5k，k>0，所以SABCAB·AC sin A10k210.所以k1，AB8，AC5.由余弦定理得BC2AB2AC22AB·AC cos A82522×8×5×49，所以BC7.所以ABC的周长为ABBCAC20.答案：209.如图，在ABC中，点P在边BC上，C，AP2，AC·PC4.(1)求APB；(2)若ABC的面积为，求sin PAB.解：(1)在APC中，设ACx, 因为AC·PC4，所以PC，又因为C，AP2，由余弦定理得，AP2AC2PC22·AC·PC·cos ，即22x222·x··cos ，解得x2，所以ACPCAP，所以APC为等边三角形，所以APB.(2)由SABCAC·BC·sin ，解得BC5，则BP3，作ADBC交BC于D，如图所示：由(1)知，在等边APC中，AD，PD1，在RtABD 中，AB.在ABP中，由正弦定理得，所以sin PAB.10已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B，且(abc)(abc)bc.(1)求cos C的值；(2)若a5，求ABC的面积解：(1)由(abc)(abc)bc，得a2(bc)2bc，即a2b2c2bc，由余弦定理，得cos A，所以sin A.又因为B，所以cos Ccos (AB)cos A cos Bsin Asin B.(2)由(1)得sin C.在ABC中，由正弦定理，得.所以c8，所以Sac sin B×5×8×sin 10.B能力提升11如图，在四边形ABCD中，BC120°，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于()AB5C6D7解析：选B连接BD，在BCD中，由已知条件，知DBC30°，所以ABD90°.在BCD中，由余弦定理得BD2BC2CD22BC·CD cos C，知BD222222×2×2cos 120°12，所以BD2，所以S四边形ABCDSABDSBCD×4×2×2×2×sin 120°5.12某船在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到B处，测得灯塔在其北偏东60°方向上，然后该船向东偏南30°方向行驶2海里到C处，此时船到灯塔D的距离为()A 海里B 海里C6海里D5海里解析：选A根据题意可画图形如图所示，因为在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向，即BAD60°，船继续向正南方向行驶5海里到B处，即AB5，在B处测得灯塔在其北偏东60°方向上，即ABD60°，所以ABD为一个等边三角形，即ABBD5，船向东偏南30°方向行驶2海里到C处，根据图形可得DBC60°且BC2，在BCD中，由余弦定理可得，CD2BD2BC22BD·BC·cos DBC2542×5×2×19，解得CD，故选A13ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_解析：因为bsin Ccsin B4asin Bsin C，所以由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C又sin Bsin C>0，所以sin A.由余弦定理得cos A>0，所以cos A，bc，所以SABCbcsin A××.答案：14(2021·徐州高一期末)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos Ccb.(1)求角A的大小；(2)若a3，求ABC的周长的取值范围解：(1)由a cos Ccb及正弦定理，得sin A cos Csin Csin B又因为ABC，所以sin Bsin (AC)sin A cos Ccos A sin C，所以sin Ccos A sin C因为C(0，)，所以sin C0，所以cos A.又因为A(0，)，所以A.(2)由正弦定理，得b2sin B，c2sin C，所以abc32(sin Bsin C)323232sin .因为A，所以B，B.所以sin .所以ABC的周长的取值范围为(6，32.C拓展探究15在cos 2Bsin B20；2b cos C2ac；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_，且2bac，则ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由解：选择cos 2Bsin B20，证明：由余弦降幂公式可得12sin 2Bsin B20，即0，由0<B<，即0<sin B1可得sin B，又因为2bac，则B为锐角，B，由余弦定理可知b2a2c22ac cos B，代入可得b223ac，即b2ac，则2ac，化简可得20，即ac，又因为B，所以ABC为等边三角形选择2b cos C2ac.由正弦定理得2sin B cos C2sin Asin C，故2sin B cos C2sin (BC)sin C，整理得2cos B sin Csin C0，因为0<C<，所以sin C>0，即cos B，因为0<B<，所以sin C>0，即cos B，因为0<B<，所以B.又因为2bac，由余弦定理b2a2c22ac cos B，得a2c22ac0，即ac，故ABC为等边三角形选择.由正弦定理得，因为sin A0，所以sin Bcos B1，即sin (B)，因为0<B<，所以<B<，即B，得B，由余弦定理可得a2c22ac0，即ac，故ABC为等边三角形
