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高等数学在经济中的应用 大纲要求 了解 导数的经济意义（含边际与弹性的概念）. 会利用定积分求解简单的经济应用问题， 用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题 一、极限在经济中的应用 1.复利. 一笔 P 元的存款，以年复利方式计息，年利率为 r，在 t 年后的将来，余额为 B 元，那么有 .)1 ( t rPB+= 2.连续复利 由此，我们可以得出：如果年利率为 r 的利息一年支付 n 次，以复利方式计息，那么当初始存款为 P 元时，t 年后余额为 nt n r P)1 ( + 在上式中， 令 n,得, rt Pe从而知如果初始存款为 P 元,利息水平是年率利为 r 的连续复利， 则 t 年后，余额 B 可用以下公式计算： . rt PeB = 在现实世界中，有许多事情的变化都类似连续复利.例如，放射物质的衰变；细胞的繁殖；物体被周 围介质冷却或加热；大气随地面上的高度的变化；电路的接通或切断时，直流电流的产生或消失过 程等等. 3.现值与将来值 一笔现值 P 元的存款，以年复利方式计息，年利率为 r，在 t 年后的将来，余额为 B 元，那么有 将 来值 . )1 ( )1 ( t t r B PrPB + =+=现值或 若为连续复利，. rt rt rt Be e B PPeB =或 例 7.1 你买的彩票中奖 1 百万元， 你要在两种兑奖方式中进行选择， 一种为分四年每年支付 250 000 元的分期支付方式，从现在开始支付；另一种为一次支付总额为 920000 元的一次付清方式，也就是 现在支付.假设银行利率为 6%，以连续复利方式计息，又假设不交税，那么你选择哪种兑奖方式？ 解 我们选择时考虑的是要使现在价值（即现值）最大，那么设分四年每年支付 250 000 元的支付 方式的现总值为 P，则 306. 0206. 006. 0 000250250000000250000250 +=eeeP 818208730221411235000250+.000920989915<= 因此，最好是选择现在一次付清 920 000 元这种兑奖方式. 例 7.2 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定 t=0）就售出，总收入为 0 R（元） ，如果窖藏 起来待来日按陈酒价格出售，t年末总收入为. 5 2 0 t eRR = 假定银行的年利率为 r，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求 06. 0=r时的t值. 解 根据连续复利公式，这批酒在窖藏 t 年末售出总收入 R 的现值为 rt tA = Re)(，而 t eRR 5 2 0 =， 所以.)( 5 2 0 rtt eRtA =令. 25 1 0) 5 1 ( 2 0 5 2 0 r tr t eR dt dA rtt = ，得唯一驻点 又, 10 1 ) 5 1 ( 3 2 5 2 0 2 2 t r t eR dt Ad rtt = 则有. 0)5 .12( 3 25 1 0 2 2 0 <= = reR dt Ad r tt 于是， 2 0 25 1 r t =是极大值点即最大值点，故窖藏 2 25 1 r t =（年）售出，总收入的现值最大. 当06. 0=r时，11 9 100 =t（年）. 二、导数在经济中的应用 1. 成本函数 某产品的总成本 C 是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（如劳动力、原料、设备等） 的价格或费用的总额，它由固定成本 C1与可变成本 C2组成，平均成本C是生产一定量产品，平均每 单位产品的成本. 2. 收益函数 总收益 R 是企业出售一定量产品所得到的全部收入. 平均收益 p 是企业出售一定量产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品的价格，用 p 表示.p 与 q 有关，因此，).(qpp =设总收益为 R，则).(qqpqpR= 3. 利润函数 设利润为 L，则利润=收入 成本，即.CRL= 4. 需求函数 “需求”指的是顾客购买同种商品在不同价格水平的商品的数量.一般来说，价格的上涨导致需求量 的下降. 设 p 表示的商品价格，q 表示需求量.需求量是由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素， 只讨论需求量与价格的关系，则)(pfq =是单调减少函数，称为需求函数（图 12-3）. 若)(pfq =存在反函数，则)( 1 qfp =也是单调减少函数，也称为需求函数. 5. 供给函数 “供给”指的是生产者将要提供的不同价格水平的商品的数量.一般说来，当价格上涨时，供给量增 加.设 p 表示商品价格，q 表示供给量，略去价格以外的其它因素，只讨论供给与价格的关系，则 )(pq=是单调增加函数，称为供给函数（图 12-3）. 若)(pq=存在反函数，则)( 1 pq =也是单调增函数. 我们常用以下函数拟合供给函数，建立经验曲线. 6边际分析 一般地，若函数)(xfy =可导，则导函数)( xf也称为边际函数. x xfxxf x y + = )()( 00 称为 )(xf在, 00 xxx+上的平均变化率， 它表示在, 00 xxx+内)(xf的平均变化速度. )(xf在点 0 x处的变化率)( 0 xf也称为)(xf在点 0 x处的边际函数值，它表示)(xf在点 0 x处的变化速度. 在点 0 x处，x从 0 x改变一个单位，y相应的改变值为()(1 000 1 xfxfy xx x += = = ，当x的一个单 位与 0 x值相比很小时，则有).( )( )() 1( 0000 1 0 1 0 1 xfdxxfdyxfxfy xx x xx dx xx x =+= = = = = = = （当1=x时，标志着x由 0 x减小一个单位）. 这说明)(xf在点 0 x处，当x产生一个单位的改变时，y近似地改变)( 0 xf个单位.在实际应用中 解释边际函数值的具体意义也略去“近似”二字. 因此， 我们称)( ),( ),( qLqRqC分别为边际成本， 边际收益， 边际利润， 而)( 0 qC称为当产量为 0 q 时的边际成本，其经济意义是当产量达到 0 q时，再生产一个单位产品所增添的成本（即成本的瞬时 变化率）.同样)( 0 qR称为当产量为 0 q时的边际收益，其经济意义是当产量达到 0 q时，再生产一个 单位产品所得到的收益（即收益的瞬时变化率）. 7最大利润 利润函数为)()()(qCqRqL=，可利用求函数最大值、最小值的方法来求最大利润. 例 7.3 一商家销售某种商品的价格 p 满足关系式xp2 . 07=，其中 x 为销售量（单位：kg） ，商 品的成本函数（单位：百元）是 C=3x+1. （1）若每销售 1kg 商品，政府要征税 t（单位：百元） ，求该商家获得最大利润时的销售量； （2）t 为何值时，政府税收总额量大. 解 （1）当销售了 x kg 商品时，总税额为.txT =商品销售总收入为xxpxR)2 . 07( =，利润 函数为 , 1)4(2 . 0 2 +=xtxTCRL tx dx dL +=44 . 0， 令0= dx dL ，解得, 0).4( 2 5 2 2 <= dx Ld tx又所以)4( 2 5 tx=为利润最大时的销售量. （2）将)4( 2 5 tx=代入txT =，得0.510, 2 5 10 2 = dt dT t dt dT ttT令，解得. 2=t又 Tt dt Td ,2, 05 2 2 时所以 =<=有唯一极大值，同时也是最大值.此时，政府税收总额最大. 例 7.4 某商品进价为 a（元/件） ，当销售价为 b（元/件）时，销售量为 c 件（a,b,c 均为正常数， 且ab 3 4 ） ，市场调查表明，销售价每下降 10%，销售量可增加 40%，现决定一次性降价.试问，当 销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润. 解 设 p 表示降价后的销售价，x 为增加的销售量，L(x)为总利润，那么, 1 . 0 4 . 0 b c pb x = 则. 4 x c b bp=从而).)( 4 ()(xcax c b bxL+= 对 x 求导，得0)( . 4 3 2 )( =+=xLabx c b xL令，得惟一驻点. 2 )43( 0 b cab x = 由问题的实际意义或0 2 )( 0 = = a dq dR qq ， 收益对价格的边际效应为0 0 =。 解 因为收益pqR =，所以有), 1 1 ()( 1 p pp q p dp dq p dq dp qp dq dR = +=+= 于是. 1 ,) 1 1 ( 00 0 = = b ab pa b p dq dR qq 解得 又),1 ()( p qq q p dp dq q dp dq pq dp dR =+= 于是有. 1 ,)1 ( 00 0 b c qcq dp dR ppp = = 得 例 7.8 设某商品需求量 Q 是价格 p 的单调减少函数；)(pQQ =， 其中需求弹性. 0 192 2 2 2 = p p （1）设 R 为总收益函数，证明);1 (= Q dp dR （2）求6=p时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义. 解 （1）).()(ppQpR=上式两边对p求导数，得 )1 ( dp dQ Q p Q dp dQ pQ dp dR +=+=).1 (= Q （2）)1 (=Q pQ p dp dR R p Ep ER . 192 3192 192 2 11 2 2 2 2 P P P P = = .54. 0 13 7 6192 63192 2 2 6 = = =p Ep ER 经济意义：当6=p时，若价格上涨 1%，则总收益将增加 0.54%. 三、偏导数在经济中的应用 例 7.9 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 21 pp 和，销售量分别为 21 qq 和， 需求函数分别为,05. 0102 . 024 2211 pqpq=和总成本函数为),(4035 21 qqC+= 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？ 解法一 总收入函数为.05. 0102 . 024 2 22 2 112211 ppppqpqpR+=+= 总利润函数为 2 2 2 2 11 12139505. 02 . 032ppppCRL+= 由极值的必要条件，得方程组 = = . 0 1 . 012 , 04 . 032 2 2 1 1 p p L p p L 解此方程组得 120,80 21 =pp 由问题的实际含义可知，当120,80 21 =pp时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为 .605 120,80 21 = =pp L 解法二 两个市场的价格函数分别为,20200,5120 2211 qpqp=和 总收入函数为 ,)20200()5120( 22112211 qqqqqpqpR+=+= 总利润函数为)(4035)20200()5120( 212211 qqqqqqCRL+= .3520160580 2 22 2 11 +=qqqq 由极值的必要条件，得方程组 = = . 0 40160 , 01080 2 2 2 1 1 1 q q L q q L 解方程组得4. 8 21 =qq由问题的实际含义可知，当120,80, 4, 8 2121 =ppqq即时，厂家 所获得的总利润最大，共最大利润为.6054, 8. / 21 =qqL 四、差分方程 函数)(ty的自变量 t 只取整数值，简记为 t y，方程)( 1 tfpyy tt =+ + 称为一阶常系数线性差分方程，其中0p是常数，)(tf为 t 的已知函数，t 取整数值。 若0)(tf，称为一阶常系数齐次差分方程，若0)(tf，称为一阶常系数非齐次差分方程， 方程0 1 =+ +tt pyy，对应的方程0=+ p称为齐次差分方程对应的特征方程，p=称为特征根. ()t t t pCCY=为齐次差分方程的通解，其中 C 为任意常数. 若 t y 为非齐次差分方程的一个特 解, t Y为对应的齐次差分方程的通解, 则 ttt yYy +=为非齐次方程的通解. 对于一些特殊的( )tf, t y 可用待定系数法求之如下: 1 设( )(tPtf m =为 t 的 m 次已知多项式. 则令),( tRty m k t =其中)(tRm为 t 的 m 次多项式, 系数 待定; 当 1 不是特征根, 即p1时, 取0=k; 当1=p时, 取1=k. 2设( ) t m atPtf)(=，其中)(tPm的意义同上，a 为常数，则令,)( t m k t atRty =其中)(tRm的意义 同上；当 a 不是特征根，即pa时，取0=k; 当pa=时, 取1=k. 3设,sincos)( 21 tbtbtf +=其中, 21 bb为常数， 21,b b不同时为零，0. 则令 ),sincos( 21 tBtBty k t +=其中 21,B B为待定常数. 当pei 取0=k; 当pei= 时,取1=k.其中 sincosiei+= 例 7.10 求差分方程05102 1 =+ + tyy tt 的通解。 解 原方程化为tyy tt 5102 1 =+ + ，该方程所对应的齐次差分方程为05 1 =+ +tt yy， 其特征方程为, 05=+即. 5=其通解 t t cY)5(=. 由 1 不是特征根，且 5t 是一次多项式，故 设特解batyt+= 代入原方程，得 tbaattbatbta512212510102) 1(2=+=+， 比较系数可知, 72 5 , 12 5 =ba故), 6 1 ( 12 5 =tyt从而原差分方程的通解为 ). 6 1 ( 12 5 )5( +=+=tcyYy t ttt 例 7.11 求差分方程tyy tt sin2 1 = + 的通解。 解 对应的齐次差分方程的特征方程为, 02 =即. 2=知齐次差分方程的通解为.2t t cY =由 , 1, 2=p 知, 2 i e设tBtAytsincos +=代入原方程得 ttBtAtBtAsinsin2cos2) 1sin() 1cos(=+，利用三角公式，比较两边tcos和tsin的系 数得 =+ =+ . 1)21(cos1sin , 01sin)21(cos BA BA 解得 1cos45 21cos , 1cos45 1sin = =BA。故原方程的通解为 .sin)21(coscos1sin 1cos45 1 2ttcy t t + += 五、常微分方程与差分方程在经济中的应用 例 7.12 已知某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性 2 3p=，而市场对该商品的最大需求量为 1（万 件）.求需求函数. 解 根据弹性的定义，有.3,3 32 dpp x dx p p dp x dx =由此得 3 p Cex =，C 为待定常数. 由 题设知0=P时，x=1，从而 C=1.于是，所求的需求函数为. 3 p ex = 例 7.13 已知某商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 p 的函数； ,)(,)( 2 bppSS p a pDD=其中 a0,和 b0 为常数；价格 p 是时间 t 的函数且满足方程 )()(pSpDk dt dp = （k 为正的常数）. 假设当 t=0 时价格为 1，试求 （1）需求量等于供给量时的均衡价格 e P； （2）价格函数)(tp； （3）极限).( lim tp t 解 （1）当需求量等于供给量时，有, 3 2 b a pbp p a =因此均衡价格为.)( 3/1 b a pe= （2）由条件知 ).()()( 3 22 p b a p kb bp p a kpSpDk dt dp = = 因此有.),( 33 2 32 2 kbdt pp dpp pp p kb dt dp e e = =即 在该式两边同时积分，得. 333kbt e Cepp += 由条件 3 1, 1)0( e pCp=可得.于是价格函数为.)1 ()( 3/1333kbt ee epptp += （3）.)1 (lim)( 3/1333lim e kbt eet pepptp=+= 例 7.14 某公司每年的工资总额在比上一年增加 20%的基础上再追加 2 百万元，若以 Wt表示七年的 工资总额（单位：百万元） ，求 Wt所满足的方程，并求解。 解 22 . 122 . 1 11 =+= +tttt WWWW即。由特征方程为, 2 . 1, 02 . 1=得故对应的齐次 差分方程的通解为,)2 . 1 ( t C由于, 2 . 11设特解bWt=代入有10, 22 . 1=bbb得， 所以差分方 程的通解为.10)2 . 1 (= t t CW
